第一講數(shù)與式

文/鄧革周

第一講數(shù)與式

文/鄧革周

數(shù)與式是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，它包括實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算、代數(shù)式、整式、因式分解、分式及二次根式等.在中考試卷中，該內(nèi)容所占的分值為18%左右.現(xiàn)以2015年中考數(shù)學(xué)試卷為例，將數(shù)與式的?？贾R(shí)點(diǎn)歸納如下，供你復(fù)習(xí)時(shí)參考.

考點(diǎn)1正、負(fù)數(shù)及其應(yīng)用

例1（1）（2015年廣州卷）四個(gè)數(shù)-3.14，0，1，2中為負(fù)數(shù)的是（）．

A.-3.14B.0C.1D.2

（2）（2015年南通卷）如果水位升高6m時(shí)，水位變化記作+6m，那么水位下降6m時(shí)，水位變化記作（）．

A.+3mB.-3mC.+6mD.-6m

解析：（1）選A．

（2）因?yàn)樯仙洖椤?”，所以下降記為“-”，水位下降6m記作-6m．選D.

溫馨小提示：大于0的數(shù)是正數(shù)，小于0的數(shù)是負(fù)數(shù)，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).在一對(duì)具有相反意義的量中，規(guī)定了其中一個(gè)量為正，則另外一個(gè)量為負(fù).

考點(diǎn)2實(shí)數(shù)的概念及分類

A.4B.2C.1D.3

考點(diǎn)3相反數(shù)、倒數(shù)和絕對(duì)值

例3（1）（2015年咸寧卷）-6的倒數(shù)是．

（2）（2015年菏澤卷）如圖1，四個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，P，N，Q，若點(diǎn)M，N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示絕對(duì)值最小的數(shù)的點(diǎn)是（）．

A.點(diǎn)MB.點(diǎn)N

C.點(diǎn)PD.點(diǎn)Q

圖1

圖2

（2）如圖2，∵點(diǎn)M袁N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，

∴原點(diǎn)的位置大約在O點(diǎn)，

∴絕對(duì)值最小的數(shù)的點(diǎn)是P點(diǎn)．選C．

考點(diǎn)4科學(xué)記數(shù)法

例4（1）（2015年長(zhǎng)沙卷）2014年，長(zhǎng)沙地鐵2號(hào)線的開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，極大地緩解了城市中心的交通壓力，為我市再次獲評(píng)“中國(guó)最具幸福感城市”提供了有力支撐，據(jù)統(tǒng)計(jì)，長(zhǎng)沙地鐵2號(hào)線每天承載人數(shù)約為185000人次，則數(shù)據(jù)185000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）．

A．1.85×105B．1.85×104C．1.8×105D．18.5×104

（2）（2015年攀枝花卷）已知空氣的單位體積質(zhì)量是0.001239g/cm3，則用科學(xué)記數(shù)法表示該數(shù)為（）．

A.1.239×10-3g/cm3B.1.239×10-2g/cm3

C.0.1239×10-2g/cm3D.12.39×10-4g/cm3

解析：（1）185000=1.85×105.選A.

（2）0.001239=1.239×10-3．選A.

溫馨小提示：科學(xué)記數(shù)法是將一個(gè)數(shù)寫成a伊10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù).（1）當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值大于或等于1時(shí)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；（2）當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)，n等于原數(shù)中左起第一位非零數(shù)字前面0的個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前的0）.另外，如果所給數(shù)含有萬(wàn)、億這樣的數(shù)字單位，應(yīng)先將數(shù)還原，再用科學(xué)記數(shù)法表示.1萬(wàn)越1×104，1億越1×108.

考點(diǎn)5平方根、算術(shù)平方根、立方根

（2）（2015年安徽卷）-64的立方根是．

（2）因?yàn)椋?4）3=-64，所以-64的立方根是-4．

溫馨小提示：解答與平方根、立方根有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)，不要出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：①27的立方根是±3；②=±8；③的平方根是±9.

考點(diǎn)6實(shí)數(shù)的大小比較（范圍估算）

例6（1）（2015年武漢卷）在實(shí)數(shù)-3，0，5，3中，最小的實(shí)數(shù)是（）．

A.-3B.0C.5D.3

A.a＞b＞cB.c＞b＞aC．b＞a＞cD．a(chǎn)＞c＞b

A．在1和2之間B．在2和3之間C．在3和4之間D．在4和5之間解析：（1）選A．

（2）將a袁b袁c變形后，根據(jù)分子相同，分母大的反而小即可得出結(jié)論．

即a＞b＞c．選A．

溫馨小提示：實(shí)數(shù)大小的比較方法有：（1）法則比較：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小.（2）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù).（3）差值比較法：設(shè)a袁b是任意實(shí)數(shù)，則a-b＞0?a躍b；a-b＜0?a約b；a-b=0?a=b.除此之外，還有商值比較法、平方法、倒數(shù)法等.

考點(diǎn)7實(shí)數(shù)的運(yùn)算

溫馨小提示：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，要明確有關(guān)概念、性質(zhì)、運(yùn)算法則和運(yùn)算律，熟練掌握運(yùn)算順序.實(shí)數(shù)運(yùn)算常常與絕對(duì)值、銳角三角函數(shù)、二次根式、指數(shù)運(yùn)算結(jié)合在一起考查.注意：可以得出

考點(diǎn)8列代數(shù)式與求代數(shù)式的值

例8（1）（2015年恩施卷）隨著服裝市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈，某品牌服裝專賣店一款服裝按原售價(jià)降價(jià)a元后，再次降價(jià)20%，現(xiàn)售價(jià)為b元，則原售價(jià)為（）元．

（2）（2015年婁底卷）已知a2+2a=1，則代數(shù)式2a2+4a-1的值為（）．

A.0B.1C.-1D.-2

解析：（1）設(shè)原售價(jià)是x元，由題意得（x-a）（1-20%）=b，解得x=a+b．選A．

（2）∵a2+2a=1，∴原式=2（a2+2a）-1=2-1=1．選B.

溫馨小提示：當(dāng)字母的值不能或不易求出時(shí)，要仔細(xì)觀察所求代數(shù)式與已知條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)所求代數(shù)式或已知條件變形，使變形后的式子可以整體代入求值.

考點(diǎn)9整式的有關(guān)概念

例9（1）（2015年通遼卷）下列說(shuō)法中，正確的是（）．

C.3ab2的系數(shù)是3aD.xy2的系數(shù)是

（2）（2015年遵義卷）如果單項(xiàng)式-xyb+1與xa-2y3是同類項(xiàng)，那么（a-b）2015=．

解析：（1）選D.

溫馨小提示：把握同類項(xiàng)的兩個(gè)“相同”和兩個(gè)“無(wú)關(guān)”：所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同；同類項(xiàng)與字母的順序無(wú)關(guān)，與系數(shù)無(wú)關(guān).

考點(diǎn)10冪的運(yùn)算性質(zhì)

例10（2015年桂林卷）下列計(jì)算正確的是（）．

A.（a5）2=a10B.x16÷x4=x4C．2a2+3a2=6a4D．b3·b3=2b3

解析：（a5）2=a10.選A.

溫馨小提示：冪的運(yùn)算性質(zhì)及整式的運(yùn)算是中考的必考知識(shí)點(diǎn).正確理解冪的運(yùn)算性質(zhì)、乘法公式是解題的關(guān)鍵.注意避免出現(xiàn)a3·a5=a15，x16÷x4=x4，（x2）3=x5，（xy）2=xy2等錯(cuò)誤.

考點(diǎn)11整式的化簡(jiǎn)與求值

例11（2015年長(zhǎng)沙卷）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+y）（x-y）-x（x+y）+2xy，其中x=（3-仔）0，y=2．

解析：（x+y）（x-y）-x（x+y）+2xy=x2-y2-x2-xy+2xy=xy-y2，

∵x=（3-仔）0=1，y=2，∴原式=2-4=-2．

溫馨小提示：整式的化簡(jiǎn)與求值，常涉及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、平方差公式、完全平方公式以及整式的加減等.掌握乘法公式是解題的前提，用整體法求值常能減少運(yùn)算量.

考點(diǎn)12與整式有關(guān)的規(guī)律探究性問(wèn)題

例12（2015年山西卷）如圖3是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相同的正方形和正三角形鑲嵌而成，第（1）個(gè)圖案有4個(gè)三角形，第（2）個(gè)圖案有7個(gè)三角形，第（3）個(gè)圖案有10個(gè)三角形……依此規(guī)律，第n個(gè)圖案有個(gè)三角形（用含n的代數(shù)式表示）.

圖3

解析：∵第（1）個(gè)圖案有3+1=4個(gè)三角形，

第（2）個(gè)圖案有3×2+1=7個(gè)三角形，

第（3）個(gè)圖案有3×3+1=10個(gè)三角形，

……

∴第n個(gè)圖案有3n+1個(gè)三角形．填3n+1．

溫馨小提示：從簡(jiǎn)單的情形入手，隨著序號(hào)或編號(hào)的增加，分析后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形的變化情況，找出變化規(guī)律，從而推出一般性結(jié)論.

考點(diǎn)13因式分解

例13（1）（2015年寧夏卷）因式分解：x3-xy2=．

（2）（2015年宜賓卷）把代數(shù)式3x3原12x2+12x分解因式，結(jié)果正確的是（）．

A.3x（x2-4x+4）B.3x（x-4）2C.3x（x+2）（x-2）D.3x（x-2）2

解析：（1）x3-xy2=x（x2-y2）=x（x-y）（x+y）．

（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解.

原式=3x（x2-4x+4）=3x（x-2）2．選D.

溫馨小提示：因式分解的步驟是一提(提公因式)、二套(套公式)、三驗(yàn)(檢驗(yàn)是否分解徹底).套公式時(shí)要注意：若是兩項(xiàng)，一般用平方差公式；三項(xiàng)，一般用完全平方公式.

考點(diǎn)14分式有意義、無(wú)意義及分式的值為0的條件

A.x=-2B.x≠2C.x＞2D.x≠-2

（2）由分式的值為0得x2-5x+6=0，2x-6≠0.

由x2-5x+6=0，得x=2或x=3，由2x-6≠0，得x≠3．∴x=2.

溫馨小提示：（1）分式有意義的條件是分母不等于0.（2）分式無(wú)意義的條件是分母等于0.（3）分式的值為0的條件是分子為0，分母不為0.（4）分式為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào).（5）分式為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào).

考點(diǎn)15分式的化簡(jiǎn)與求值

∵a與2、3構(gòu)成△ABC的三邊，且a為整數(shù)，

∴1＜a＜5，即a=2，3，4，

當(dāng)a=2或a=3時(shí)，原分式?jīng)]有意義，則當(dāng)a=4時(shí)，原式=1．

溫馨小提示：正確化簡(jiǎn)分式是解題的關(guān)鍵.求代數(shù)式的值有直接代入求值和整體代入求值兩種方法，解題要根據(jù)題目的條件選擇合適的方法.當(dāng)未知數(shù)的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的值必須使原各分式都有意義，且除數(shù)不能為0.如本題，a不能取2和3.

考點(diǎn)16二次根式的概念，二次根式的性質(zhì)

A.m＞原1B.m≥原1

C.m＞原1且m≠1D.m≥原1且m≠1

A.1B.-1C.2a-3D.3-2a

（2）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，a-2＜0，1-a＜0，

溫馨小提示：（1）確定被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍，可根據(jù)式子有意義的條件a≥0，解不等式即可.當(dāng)有兩個(gè)二次根式，兩個(gè)二次根式都要有意義；分母中有字母時(shí)，還要考慮分母不等于零.這些情況需列出不等式組求解.（2）在化簡(jiǎn)時(shí)，要先判斷a的符號(hào)，再去根號(hào)，特別地，當(dāng)a＜0時(shí)，它等于原a，不是a.

考點(diǎn)17二次根式的計(jì)算

溫馨小提示：在二次根式的運(yùn)算或化簡(jiǎn)中，乘法公式、因式分解等法則、方法均可使用.

責(zé)任編輯：王二喜