機(jī)械加工表面輪廓分形維數(shù)對數(shù)小波譜計(jì)算方法

張學(xué)良 王余松 溫淑花 范世榮 陳永會 蘭國生

太原科技大學(xué),太原,030024

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機(jī)械加工表面輪廓分形維數(shù)對數(shù)小波譜計(jì)算方法

張學(xué)良 王余松 溫淑花 范世榮 陳永會 蘭國生

太原科技大學(xué),太原,030024

為了提高接觸表面的建模精度，利用小波的多尺度分析能力，對表面輪廓進(jìn)行多尺度小波分解，提出了計(jì)算機(jī)械加工表面輪廓分形維數(shù)的對數(shù)小波譜法以及有效分解尺度概念，并認(rèn)為輪廓只在有效分解尺度上具有分形特征；通過M-B函數(shù)模擬生成不同分形維數(shù)、不同采樣區(qū)間的分形輪廓；應(yīng)用對數(shù)小波譜法計(jì)算了模擬輪廓的分形維數(shù)，進(jìn)而與功率譜密度法(PSD法)等5種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析比較，結(jié)果表明：對數(shù)小波譜法能很好地處理分形的多尺度特征，并且選用sym4小波時(shí)計(jì)算精度最高，誤差在0.15%以內(nèi)；最后應(yīng)用對數(shù)小波譜法對一實(shí)際機(jī)械加工表面輪廓分形維數(shù)進(jìn)行了計(jì)算,說明了其實(shí)用性。

機(jī)械加工表面輪廓；分形維數(shù)；小波分解；有效分解尺度；對數(shù)小波譜

0 引言

表觀上看似光滑平整的機(jī)械加工表面經(jīng)放大后呈現(xiàn)出大小各異、復(fù)雜排列的凸峰和凹谷，說明表面形貌實(shí)際上是粗糙和不規(guī)則的。機(jī)械工程中的表面幾何形貌對構(gòu)件接觸處的摩擦、磨損、潤滑、密封以及接觸性能有很大的影響。研究表明[1]，機(jī)械加工表面和摩擦磨損表面等粗糙表面輪廓具有非平穩(wěn)性、自相似性和多尺度特性，分形理論是描述這些特征的一種有效途徑；然而，分形理論用于描述機(jī)械加工表面時(shí)需要分形維數(shù)與特征長度尺度參數(shù)兩個(gè)表征參數(shù)。準(zhǔn)確地計(jì)算出其分形維數(shù)尤為關(guān)鍵，因?yàn)榉中尉S數(shù)反映了粗糙表面輪廓結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，定性地刻畫了高頻成分所占比重。分形維數(shù)是機(jī)械結(jié)合面接觸剛度[2-4]、阻尼能耗[5-6]等模型中一個(gè)主要的參數(shù)，接觸剛度與表面分形維數(shù)間存在非線性關(guān)系(分形維數(shù)在1.1～1.4之間)或近似線性關(guān)系(分形維數(shù)在1.4～1.9之間)[7]；在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，對輪廓維數(shù)的計(jì)算是必不可少的。

國內(nèi)外已有許多學(xué)者進(jìn)行了分形維數(shù)計(jì)算的研究，目前，常用的分形維數(shù)計(jì)算方法有盒維數(shù)法、尺碼法、均方根法、協(xié)方差法、功率譜密度(PSD)法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法。李成貴等[8-9]對已知分形維數(shù)為1.6的W-M函數(shù)所生成的輪廓，分別采用功率譜密度法和結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算其分形維數(shù)，計(jì)算結(jié)果分別為1.65、1.63。王建軍等[10]對尺碼法、盒維數(shù)法、R/S法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法以及功率譜密度法5種方法的原理進(jìn)行了闡述并比較了后3種方法對理論維數(shù)分別為1.2、1.5、1.8的W-M 函數(shù)的計(jì)算結(jié)果，結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)函數(shù)法的精度最高,功率譜密度法次之，R/S法精度最低且計(jì)算量大，其精度隨著理論分形維數(shù)的減小而大幅降低。葛世榮等[11]比較了尺碼法、盒維數(shù)法、方差法和結(jié)構(gòu)函數(shù)法等方法計(jì)算分形維數(shù)分別為1.2、1.5、1.8的W-M函數(shù)的計(jì)算結(jié)果，結(jié)果表明，尺碼法的誤差最大，方差法和盒維數(shù)法的誤差在10%以上，結(jié)構(gòu)函數(shù)法的誤差較小，計(jì)算結(jié)果分別為1.164、1.455、1.761。另外，他們還提出了均方根法[12-13]，并將均方根法與結(jié)構(gòu)函數(shù)法進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，兩種方法均有較好的效果；對于較小的分形維數(shù)，均方根法的計(jì)算精度較高，而對于較大的分形維數(shù)，結(jié)構(gòu)函數(shù)法的計(jì)算精度較高。此外，還可以通過表面輪廓的高度標(biāo)準(zhǔn)差σ和斜率標(biāo)準(zhǔn)差σ′組成方程組解出分形參數(shù)D和G[3]，本文稱之為方程組法。

上述各方法中，由Majumdar等[4]提出的結(jié)構(gòu)函數(shù)法對分形維數(shù)的計(jì)算精度最高，已得到了較多的應(yīng)用，然而，尋求更高精度的計(jì)算方法來提高結(jié)合面建模精度是非常必要的。小波具有多尺度分析的能力，可用于處理多尺度自相似問題。王安良等[14-15]提出了用小波變換計(jì)算粗糙表面分形維數(shù)的方法，根據(jù)各分解層小波變換系數(shù)的一范數(shù)與分解層數(shù)k間的關(guān)系通過最小二乘擬合求出分形維數(shù)，對于由W-M函數(shù)及M-B函數(shù)生成的輪廓，計(jì)算誤差在4%以內(nèi)，在分形維數(shù)為1.3～1.6時(shí)，計(jì)算誤差在1%以內(nèi)。楊紅平等[1]通過分形輪廓小波分解系數(shù)方差與分形維數(shù)間的關(guān)系求出分形維數(shù)，但沒有明確給出通用性的小波分解層數(shù)。

鑒于此，本文將小波的多尺度分析能力與分形的多尺度自相似特征相結(jié)合，先對分形輪廓進(jìn)行多尺度小波分解，基于對數(shù)小波譜，識別出輪廓具有分形特征的小波分解尺度(從對數(shù)小波譜上看在一條直線上或接近同一直線)，進(jìn)而評價(jià)輪廓的分形特征并計(jì)算其分形維數(shù)，提出了機(jī)械加工表面輪廓分形維數(shù)對數(shù)小波譜計(jì)算方法，并與功率譜密度法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法、均方根法以及方程組法的計(jì)算精度進(jìn)行對比，最后將其應(yīng)用于實(shí)際機(jī)械加工表面輪廓分形維數(shù)的計(jì)算，說明了其實(shí)用性。

1 機(jī)械加工表面輪廓分形維數(shù)的對數(shù)小

波譜計(jì)算方法

(1)

式中，2-m為尺度參數(shù)；k為平移參數(shù)。

任意信號f(t)∈L2(R)(平方可積函數(shù)空間)的離散小波級數(shù)表示為

(2)

小波分解系數(shù)可以表示為

(3)

(4)

自相似過程具有分形特征，根據(jù)文獻(xiàn)[17]對自相似的定義f(t)=γ-Hf(γt)，分形維數(shù)

D=2-H

(5)

(6)

定義1 將序列f(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為

Rf(τ)=E[f(t)f(t-τ)]

(7)

基于多尺度分析的方法，對具有自相似性的粗糙輪廓高度序列進(jìn)行小波分解，在不同的尺度上，則其小波分解系數(shù)滿足[18]

(8)

(9)

將式(8)右端利用Parseval定理以及時(shí)域卷積定理轉(zhuǎn)化到頻域后，式(8)可改寫為

(10)

特別地，m=m′，k=k′時(shí)，有

(11)

從而有

(12)

式中，var[]為求方差運(yùn)算。

對式(11)兩邊取以2為底對數(shù)，有

(13)

將式(13)左端記為Ym，得

Ym=lbσ2+mα

(14)

對給定的具有分形特征的實(shí)際機(jī)械加工表面輪廓進(jìn)行M層的小波分解，各分解尺度(層)對應(yīng)的m(m=1,2,…,M)、Ym便是已知的，相應(yīng)地，對數(shù)據(jù)點(diǎn)(m,Ym)序列進(jìn)行直線擬合即可求出直線斜率α,再由前述關(guān)系α=2H+1及D=2-H便求出分形維數(shù)D，即

D=(5-α)/2

(15)

在此稱式(13)或式(14)為對數(shù)小波譜。以上分析推理求解機(jī)械加工表面輪廓分形維數(shù)的方法，本文稱之為對數(shù)小波譜方法。

2 機(jī)械加工表面輪廓分形模擬與分形維數(shù)

計(jì)算

M-B函數(shù)被廣泛用于模擬實(shí)際機(jī)械加工表面輪廓，M-B函數(shù)是一個(gè)確定性自相似過程，滿足Z(x)=γ-(2-D)Z(γx)。其具體表達(dá)式為

(16)

1

式中，z(x)為表面輪廓高度；G為分形特征長度尺度系數(shù)；nl為最低頻率指數(shù)；γnl=1/L；L為采樣區(qū)間長度。

在實(shí)際應(yīng)用中，最高頻率的取值是有限的，即

(17)

(a)采樣區(qū)間(0,L)

(b)采樣區(qū)間(3L,4L)

(c)采樣區(qū)間(10L,11L)圖1 理論維數(shù)D=1.5時(shí)M-B函數(shù)生成的不同采樣區(qū)間的輪廓

在對機(jī)械加工表面輪廓進(jìn)行小波分解時(shí)，首先要考慮的是小波基函數(shù)的選擇和分解尺度(層數(shù))的確定。如何選擇小波基函數(shù)，目前還沒有一個(gè)理論標(biāo)準(zhǔn)，大多憑經(jīng)驗(yàn)。工程中較多采用的小波基函數(shù)有db小波、sym小波和haar小波。對于給定長度的序列，最大分解尺度(層數(shù))也是有限制的。從小波理論分析角度來看，最大分解尺度僅由數(shù)據(jù)長度和小波階數(shù)便可確定，理論上小波分析最大分解尺度M為[20]

M=floor[ln(lx/(lw-1))/ln2]=

floor[lb(lx/(lw-1))]

(18)

式中，floor(·)為向下取整函數(shù)；lx為信號長度；lw為濾波器長度，與小波類型有關(guān)，對于dbN小波，lw=2N;N為小波函數(shù)的消失矩。

本文分別選用db2、sym2、db4、sym4以及haar小波基函數(shù)，由式(18)可確定db2與sym2小波對應(yīng)的最大分解尺度為11，db4與sym4小波對應(yīng)的最大分解尺度為10，采用haar小波時(shí)則為13。根據(jù)自相似特征確定具有分形特征的尺

度，對這些尺度進(jìn)行擬合就可以計(jì)算出分形維數(shù)。由M-B函數(shù)生成理論分形維數(shù)Dt為1.1、1.2、…、1.9的模擬輪廊，對上述輪廓在采樣區(qū)間(3L,4L)上分別進(jìn)行小波分解，應(yīng)用本文提出的對數(shù)小波譜方法,對具有分形特征的分解尺度進(jìn)行擬合獲得直線斜率α，從而由式(15)計(jì)算出相應(yīng)的分形維數(shù)D，結(jié)果見表1。

由表1可見，采用sym4小波時(shí)計(jì)算結(jié)果精度最高。圖2給出了理論分形維數(shù)Dt分別為1.2、1.5、1.8時(shí)的對數(shù)小波譜及其擬合直線。根據(jù)圖2，分解尺度m為2、3、4、5、6對應(yīng)的對數(shù)小波譜幾乎在一條直線上，其余理論維數(shù)類似，輪廓在這幾個(gè)尺度上(對應(yīng)輪廓高頻部分)具有精確的自相似性，說明輪廓在這幾個(gè)尺度上具有良好的分形特征(從對數(shù)小波譜上看在一條直線上，稱之為有效分解尺度)，因此分解尺度2、3、4、5、6為有效分解尺度；在尺度大于8(對應(yīng)輪廓低頻成分)時(shí)，與小于8的尺度沒有嚴(yán)格的相似性，這是因?yàn)樵谏赡M輪廓時(shí)采用的是式(17)，而式(17)是有限項(xiàng)級數(shù)，存在誤差，因此不具有嚴(yán)格的自相似性。對有效分解尺度2～6進(jìn)行擬合計(jì)算的精度很高，誤差都在0.15%以內(nèi)。

表1 各小波計(jì)算結(jié)果

應(yīng)用對數(shù)小波譜方法,采用sym4小波計(jì)算獲得的分形維數(shù)與應(yīng)用功率譜密度法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法、均方根法以及解方程組法獲得的結(jié)果的比較如圖3所示。

(a)Dt=1.2,D=1.2008，誤差e=0.063263%

(b)Dt=1.5,D=1.502，e=0.13609%

(c)Dt=1.8,D=1.8026，e=0.14208%圖2 采樣區(qū)間為(3L,4L)時(shí)對數(shù)小波譜及其擬合直線

(a)各方法計(jì)算分形維數(shù)比較

(b)各方法計(jì)算誤差比較1.對數(shù)小波譜方法(sym4小波) 2.均方根法 3.結(jié)構(gòu)函數(shù)法 4.文獻(xiàn)[1]方法 5.方程組法 6.功率譜密度法 7.分形維數(shù)理論值圖3 采樣區(qū)間(3L,4L)上不同計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果

將對數(shù)小波譜方法應(yīng)用到文獻(xiàn)[14]中的M-B函數(shù)算例，得到的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中其他方法計(jì)算結(jié)果的比較見表2。由表2可見，對數(shù)小波譜方法相對于其他方法有更高的精度。

表2 各方法對文獻(xiàn)[14]算例計(jì)算結(jié)果

3 計(jì)算實(shí)例

圖4為由Talysurf5-120輪廓測試儀對車削、銑削和磨削加工表面進(jìn)行測試獲得的表面輪廓曲線，試件材料為45鋼，測試的采樣間隔為1.25 μm，采樣長度為3.75 mm，共有3000個(gè)離散采樣點(diǎn)。對該輪廓進(jìn)行db2小波分解，得到圖5所示的各加工表面輪廓的對數(shù)小波譜，經(jīng)直線擬合求出其分形維數(shù)。分別采用功率譜密度法與結(jié)構(gòu)函數(shù)法對上述各輪廓分形維數(shù)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表3所示。

表3 各加工表面輪廓分形維數(shù)計(jì)算結(jié)果

Ra(μm)分形維數(shù)D功率譜法結(jié)構(gòu)函數(shù)法對數(shù)小波譜法車削0．73211．94831．77551．7892銑削2．48021．18321．32291．2106磨削0．57401．56991．40161．4674

4 結(jié)論

(1)提出了一種機(jī)械加工表面輪廓分形維數(shù)的對數(shù)小波譜計(jì)算方法以及有效分解尺度的概念。

(a)車削加工

(b)銑削加工

(c)磨削加工圖4 各加工表面輪廓

(a)車削加工

(b)銑削加工

(c)磨削加工圖5 各加工表面輪廓的對數(shù)小波譜

(2)計(jì)算輪廓分形維數(shù)的關(guān)鍵是選擇小波基函數(shù)和分解尺度，然而其最大分解尺度可由表面輪廓序列長度和小波階數(shù)確定，可先按最大分解尺度分解。

(3)對數(shù)小波譜法能很好地處理分形的多尺度特征，對于由M-B函數(shù)模擬的分形輪廓，特別是采用sym4小波時(shí)，對數(shù)小波譜方法計(jì)算誤差在0.15%以內(nèi)，對文獻(xiàn)[14]中的算例計(jì)算也具有高的準(zhǔn)確度。

(4)應(yīng)用所提出的對數(shù)小波譜方法對一車削、銑削和磨削加工表面輪廓分形維數(shù)進(jìn)行了分析計(jì)算，表明本文方法具有實(shí)用性。

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(編輯 蘇衛(wèi)國)

Logarithmic Wavelet Spectrum Method for Computing Fractal Dimension of Machined Surface Profiles

Zhang Xueliang Wang Yusong Wen Shuhua Fan Shirong Chen Yonghui Lan Guosheng

Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan, 030024

A multi-scale wavelet decomposition for surface profiles was achieved herein by the multi-scale analysis capability of wavelet; and a logarithmic wavelet spectrum method for calculating the fractal dimensions of machined surface profiles and the effective decomposition scale concept were proposed. Fractal profiles with different fractal dimensions and different sampling intervals were generated by M-B function. The fractal dimensions of simulated profiles whose dimensions were known were calculated by logarithmic wavelet spectrum method, which was compared with the calculation results of other five kinds of methods such as the power spectral density (PSD) method. The results show that logarithmic wavelet spectrum method may process multi-scale fractal features nicely, and it has the highest accuracy with errors less than 0.15% when sym4 wavelet is adopted. Finally, logarithmic wavelet spectrum method was applied to calculate the fractal dimensions of actual machined surface profiles and the results illustrate its practicability.

machined surface profile; fractal dimension; wavelet decomposition; effective decomposition level; logarithmic wavelet spectrum

2016-01-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275328);山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201601D011062)

TH161.14

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.23.004

張學(xué)良，男，1964年生。太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性、現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)理論與方法、現(xiàn)代制造技術(shù)。王余松，男，1991年生。太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。溫淑花(通信作者)，女，1963年生。太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。范世榮，男，1990年生。太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。陳永會，男，1975年生。太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。蘭國生，男，1975年生。太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。