基于耦合Duffing振子和Van der pol振子系統(tǒng)的微弱信號檢測研究

王曉東， 趙志宏

(1.石家莊鐵道大學 機械工程學院，河北 石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點實驗室，河北 石家莊 050043)

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基于耦合Duffing振子和Van der pol振子系統(tǒng)的微弱信號檢測研究

王曉東1,2， 趙志宏2

(1.石家莊鐵道大學 機械工程學院，河北 石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點實驗室，河北 石家莊 050043)

傳統(tǒng)的微弱信號檢測在檢測信噪比較低的信號時效果不理想，基于此提出了一種基于Duffing振子和Van der pol振子的耦合非線性系統(tǒng)，建立了非線性耦合模型，詳述了耦合系數對耦合非線性系統(tǒng)的影響。采用Simulink數值仿真的方法，分析了Duffing振子和Van der pol振子耦合非線性系統(tǒng)的動力學行為，闡述了基于相平面變化進行微弱信號檢測的工作原理。并且具體分析了耦合系統(tǒng)在色噪聲背景下的微弱信號檢測效果，取得了很好的效果。

混沌；非線性耦合系統(tǒng)；微弱信號檢測；信噪比

0 引言

微弱信號檢測技術[1-2]在通信、生物醫(yī)學、電力系統(tǒng)故障診斷等領域有著廣泛的應用, 一直是國內外學者研究的熱點。它是采用一系列信號處理方法，從噪聲中檢測出有用的微弱信號，從而滿足現代科學研究和技術應用需要的一種檢測技術。如今微弱信號檢測技術的需求日益迫切, 其對推動相關領域的發(fā)展具有重要的意義[3-4]。

傳統(tǒng)的微弱信號檢測方法是基于線性的、確定性的系統(tǒng)，已經遠遠不能滿足現在人們對微弱信號檢測的需要。近年來，混沌[5-6]振子系統(tǒng)檢測微弱信號的應用越來越多，其檢測理論得到了不斷改進和發(fā)展?；煦缦到y(tǒng)具有對初值的敏感性和對噪聲的免疫力兩大特性[7]，利用這兩大特性可以較為靈敏的將微弱信號從噪聲中檢測出來。目前微弱信號檢測方法大多是采用單Duffing振子[8]或雙耦合Duffing振子[9]系統(tǒng)，但是對于不同混沌振子之間耦合[10-11]系統(tǒng)的應用不多。一些國外學者，對于Duffing振子和Van der pol振子耦合系統(tǒng)也僅是在動力學分析方面做深入的研究，應用在微弱信號檢測方面的也是鮮為人見。

1 建立非線性耦合系統(tǒng)模型

經典的Duffing振子和Van der pol振子雖然在表達形式上很簡單，但是由于豐富的動力學行為而極具代表性。下面通過線性耦合的方法將兩個振子進行耦合，組成的非線性耦合系統(tǒng)如下

(1)

式中，c表示Duffing振子的阻尼系數；μ表示Van der pol振子的阻尼系數；k表示線性耦合系數，k的取值越大說明耦合的強度越高，相互作用越強，當k=0時，兩個系統(tǒng)的耦合作用完全消失。通過仿真研究發(fā)現此耦合非線性系統(tǒng)具有復雜的動力學行為。fcos(ωt+θ)表示策動力，ω表示驅動力的頻率，θ表示初相位，通常選取θ=0，當其它參數都固定時，非線性耦合系統(tǒng)會隨著幅值f變化而有規(guī)律的變化。

1.1 非線性耦合系統(tǒng)的動力學行為

由式(1)的數學模型，可建立Duffing振子和Vanderpol振子的非線性耦合系統(tǒng)的Simulink仿真模型，然后取fcos(ωt)為周期策動力及系統(tǒng)內置頻率ω=1.0rad/s，其它參數為k=0.2，c=0.5，μ=1.0，采用4階Runge-Kutta法仿真計算，隨著周期策動力幅值由0值逐漸遞增的過程中，非線性耦合系統(tǒng)的狀態(tài)出現有規(guī)律的變化：經歷同宿軌道、倍周期分岔軌跡、混沌和周期狀態(tài)，如圖1所示。

圖1 非線性耦合系統(tǒng)在不同策動力幅值下的響應

1.2 耦合系數對非線性耦合系統(tǒng)的影響

耦合系數k是整個非線性系統(tǒng)中很重要的一個參數，其取值直接影響著系統(tǒng)的動力學行為演化過程。下面通過繪制分岔圖來觀察系統(tǒng)在不同耦合系數k參數下的動力學行為演變過程，能夠清楚地表達出動力學系統(tǒng)在跨越臨界值(分岔值)所導致穩(wěn)定定常狀態(tài)定性變化的現象。本節(jié)主要是探索混沌系統(tǒng)對微弱周期信號檢測的潛能，尋找非線性耦合系統(tǒng)是否出現由混沌狀態(tài)直接變?yōu)橹芷跔顟B(tài)，由分岔圖可以清楚觀察到這一現象，然后再通過其它的方法找到精確的(躍遷值)臨界閾值。如圖2的分岔圖是系統(tǒng)在不同的耦合系數k(k=0.2,0.5,0.8,1.0)，位移隨策動力幅值f的變化過程。

圖2 不同耦合系數下非線性耦合系統(tǒng)的分岔圖

通過圖2可以觀察到：在其它參數固定不變的情況下，耦合系數k對系統(tǒng)產生了很大的影響。分析在固定的系數k下，隨著f的變化，系統(tǒng)經歷著單周期狀態(tài)、倍周期分岔進入雙周期狀態(tài)，繼續(xù)分岔進入4周期狀態(tài)，隨著f的不斷增大，進入混沌狀態(tài)，最后又都進入單周期狀態(tài)。但是仔細觀察發(fā)現，當k=0.2時，大概f在0.7～0.8的變化過程中，系統(tǒng)的狀態(tài)由混沌狀態(tài)直接變成周期一的大尺度周期狀態(tài)。對于其它分岔圖，并未出現此現象，因此本節(jié)實驗所要選取的一個參數k=0.2，通過以上幾個圖的對比分析，對于不同混沌振子之間，較小的耦合系數更易出現混沌與大周期。所以對于非線性系統(tǒng)，每一個參數的選取都是至關重要的。

2 微弱信號檢測仿真實驗

2.1 檢測原理

本文采用的微弱信號檢測原理和以往混沌系統(tǒng)檢測原理是一樣的，都是采用混沌系統(tǒng)基于相平面變化的檢測原理，其中由混沌狀態(tài)變?yōu)橹芷跔顟B(tài)表現最為明顯。原理簡述為：首先設置激勵信號的幅值略小于躍遷閾值fd此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，其次將待檢測的微弱周期信號與噪聲一起作為激勵信號項加入到混沌系統(tǒng)當中，加入疊加的信號當中含有一個與激勵信號同頻率的信號，并且此信號的幅值與激勵信號的幅值相加能大于躍遷閾值fd，此時混沌系統(tǒng)的輸出相圖將會由混沌狀態(tài)變?yōu)橹芷跔顟B(tài)。因此通過觀察混沌系統(tǒng)前后相圖的變化，就可以判斷是否有微弱周期信號的存在。

2.2 微弱信號檢測模型

根據以上耦合非線性系統(tǒng)的性質分析將其應用于微弱信號檢測，下面進行數值仿真實驗。根據建立的耦合非線性系統(tǒng)數學模型(1)，選取各個參數k=0.2,c=0.5,μ=1.0,并且由實驗分析得到的臨界閾值fd=0.779，系統(tǒng)可以檢測的最低門限為0.002。頻率ω為1.0 rad/s的周期信號和σ(t)采用均值為0，方差σ2為0.1的高斯白噪聲信號一起作為輸入信號加入進行數值仿真實驗。微弱信號檢測的數學模型如下

(2)

式中，fcos(ωt+θ)為內置信號；acos(ωt+φ)為待測信號；σ(t)為高斯白噪聲。對上述構造的檢測系統(tǒng)進行仿真實驗時, 選擇從臨界周期到周期的軌跡相變?yōu)榕袛嘞到y(tǒng)輸入是否帶有周期信號的依據, 亦即f將設置在臨界分岔狀態(tài)附近。當待測信號加入系統(tǒng)中經過暫態(tài)過程以后，系統(tǒng)穩(wěn)定在某一運動形式上，計算機通過辨識系統(tǒng)容易得知系統(tǒng)是處于混沌還是大尺度周期運動狀態(tài)。由此，可判斷輸入的信號是純噪聲還是混有微弱周期信號。

當輸入待測信號后，整個驅動力變?yōu)?/p>

(3)

當相位θ=0時

(4)

式中，

(5)

圖3 混沌區(qū)域的對稱性

可以看出系統(tǒng)相態(tài)和相位之間的關系。調整策動力可以使待測信號的相位滿足式：π-arccos[(a/2f)]≤φ≤π+arccos[(a/2f)]，范圍如圖3所示，使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，不產生到大周期的變化，此研究現在只適合于模擬信號仿真實驗，可以通過調節(jié)待測信號的相位在檢測的范圍內，對于工程實際故障信號的檢測，由于采集信號的好多因素都是未知的，因此還有待于進一步深入研究。

通過將待測周期信號輸入到檢測系統(tǒng)當中，觀察系統(tǒng)輸出相圖的變化情況：當系統(tǒng)沒有同頻率待測的周期的信號輸入或只有純噪聲輸入時，系統(tǒng)輸出相圖如圖4(a)所示。當系統(tǒng)有相同頻率的待測周期信號acos(ωt)，其中a=0.003輸入系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸出相圖如圖4(b)所示。因此，我們可以通過系統(tǒng)相圖的變化，判斷微弱周期信號的存在。

由上述耦合非線性系統(tǒng)的相態(tài)變化的仿真結果顯示，可求得此時的信噪比檢測的門限為

對于傳統(tǒng)方法，很難檢測到信噪比在-10 dB以下的信號，這也是一些傳統(tǒng)方法的局限性所在，即很難在強噪聲背景下實現微弱信號的檢測，同時也驗證了混沌檢測系統(tǒng)的優(yōu)勢，即能夠實現低信噪比下的微弱信號檢測。因此混沌系統(tǒng)具有很好的研究價值和發(fā)展前景。

圖4 Duffing振子和Van der pol振子耦合系統(tǒng)相圖

3 色噪聲下微弱正弦信號檢測

我們把除白噪聲之外的所有噪聲都稱之為有色噪聲，有色噪聲是指任意一個具有非白色頻譜的寬帶噪聲。噪聲是一個隨機過程，而隨機過程有功率譜密度函數，其功率譜密度函數的形狀決定了噪聲的顏色。大多數的音頻噪聲(電視、收音機)，發(fā)動機的噪聲等都是色噪聲，非高斯信號相對于白噪聲，是更普遍的信號。

將白噪聲通過帶寬±B的理想低通濾波器，再通過濾波器傳遞函數H，就可以得到色噪聲了，具體的數學推導原理分析如下

(6)

式中，Gi(ω)為輸入信號的功率譜密度；G0(ω)為輸出信號的功率譜密度，又因為H(ω)=1，所以G0(ω)=Gi(ω)。輸出信號即色噪聲的平均功率為

(7)

系統(tǒng)的輸出信號為色噪聲，由維納—辛欽定理知道，信號的功率譜密度函數和它的自相關函數互為傅里葉變換時，即色噪聲的自相關函數為

(8)

令x=2πBτ，即有

(9)

本實驗中所采用的Gauss色噪聲是由方差為1的Gauss白噪聲通過一個4階帶通濾波器產生的，該濾波器的傳遞函數為

(10)

該低通濾波器的上限截止頻率為0.21，下限截止頻率為0.23(均為歸一化頻率)。圖5通過4幅圖展示了Gauss白噪聲通過上述4階帶通濾波器后產生的Gauss色噪聲的時域波形圖和功率譜密度圖，通過對比濾波前后的噪聲變化，發(fā)現Gauss白噪聲與Gauss色噪聲時域波形的不同，并通過FFT(傅里葉)變換后的功率譜圖之間也會存在很大的差異。

圖5 對比通過濾波器前后的噪聲

在Gauss色噪聲背景下，按照上面相同的步驟方法，利用相圖識別理論進行仿真實驗，測得這時的微弱信號檢測信噪比門限為

由仿真結果可見，該耦合非線性振子系統(tǒng)在Gauss色噪聲背景下，信噪比可以達到，具有很好的檢測效果。

4 結論

本文提出了一種新的微弱信號檢測系統(tǒng)模型，兩種不同混沌振子即Duffing振子和Vanderpol振子非線性耦合系統(tǒng)的檢測方法，分析了耦合系統(tǒng)的動力學行為特性，闡述了檢測原理。與傳統(tǒng)方法相比,可以更好檢測出微弱周期信號,達到更低的信噪比。詳細分析了在色噪聲背景下，此耦合非線性系統(tǒng)也能獲得很好的檢測效果。對于不同混沌振子之間的耦合非線性系統(tǒng)更加深入的研究有待于進一步完善。

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Weak Signal Detection Based on the System of a Van Der Pol Oscillator Coupled to a Duffing Oscillator

Wang Xiaodong1,2, Zhao Zhihong2

(1.School of Mechanical Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China;2.Key Laboratory of Traffic Safety and Control in Hebei, Shijiazhuang 050043, China)

The effect of the traditional weak signal detection in low SNR is not perfect, accordingly we put forward a kind of the nonlinear system based on Duffing oscillator and Van der pol oscillator and establish the nonlinear coupling model, and expounded the influence of coupling coefficient for the coupling nonlinear system in detail. With the simulation method of Simulink, we analyzed the Duffing oscillator and Van der pol oscillator coupling nonlinear system dynamics behaviors, and expounded the working principle of weak signal detection for the changes based on the phase plane. Finally we carried out specific analysis of coupling system under the background of colored noise of weak signal detection, achieving good results.

chaos;nonlinear coupling system;weak signal detection;signal to noise ratio(SNR)

2015-12-21 責任編輯:劉憲福

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2016.04.10

國家自然科學基金(11172182,11227201,11472179)

王曉東(1989-)，男，碩士研究生，主要從事非線性理論與故障診斷研究。E-mail:wx_dong@126.com

TH165+.3

A

2095-0373(2016)04-0060-06

王曉東，趙志宏.基于耦合Duffing振子和Van der pol振子系統(tǒng)的微弱信號檢測研究[J].石家莊鐵道大學學報:自然科學版,2016,29(4):60-65.