一種基于MPS和ISOMAP的空間數(shù)據(jù)重建方法

杜 奕 張 挺 黃 濤

1(上海第二工業(yè)大學(xué)工學(xué)部 上海 201209)2(上海電力學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上海 200090)3(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系 合肥 230027)(duyi@sspu.edu.cn)

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一種基于MPS和ISOMAP的空間數(shù)據(jù)重建方法

杜 奕1張 挺2黃 濤3

1(上海第二工業(yè)大學(xué)工學(xué)部 上海 201209)2(上海電力學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 上海 200090)3(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系 合肥 230027)(duyi@sspu.edu.cn)

在空間數(shù)據(jù)重建過程中,條件數(shù)據(jù)對(duì)重建結(jié)果影響較大，在僅有少量條件數(shù)據(jù)的情況下,重建結(jié)果常常出現(xiàn)較多的不確定性,此時(shí)適合采用不確定性插值方法重建空間數(shù)據(jù).作為目前不確定性插值的主流方法之一,多點(diǎn)信息統(tǒng)計(jì)法(multiple-point statistics, MPS)可以從訓(xùn)練圖像提取模式的本質(zhì)特征,然后將這些特征復(fù)制到待模擬區(qū)域.由于傳統(tǒng)采用線性降維的MPS方法無法有效處理非線性數(shù)據(jù),因此將等距特征映射(isometric mapping, ISOMAP)應(yīng)用到MPS方法,以實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性數(shù)據(jù)的降維.提出基于MPS和ISOMAP的空間數(shù)據(jù)重建方法,通過模式庫(kù)構(gòu)建、模式降維、模式分類、模式提取等步驟能夠較為準(zhǔn)確地重構(gòu)出未知的空間數(shù)據(jù),為MPS處理非線性空間數(shù)據(jù)提供了新思路.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:該方法所重建的空間數(shù)據(jù)具有與訓(xùn)練圖像相似的結(jié)構(gòu)特征.

訓(xùn)練圖像;多點(diǎn)信息統(tǒng)計(jì)法;模式;等距特征映射;降維

Fig. 1 Well data(hard conditional data) and seismic data(soft conditional data).圖1 井位數(shù)據(jù)(硬條件數(shù)據(jù))和地震數(shù)據(jù)(軟條件數(shù)據(jù))

空間數(shù)據(jù)是指包含空間特征的數(shù)據(jù)集合.現(xiàn)實(shí)生活中的空間數(shù)據(jù),既有來自科學(xué)試驗(yàn)的數(shù)據(jù),也有來自生產(chǎn)實(shí)踐的數(shù)據(jù),其格式與特征是包羅萬象[1-3].與一般數(shù)據(jù)相比,空間數(shù)據(jù)具有一定的特點(diǎn),主要表現(xiàn)在2個(gè)方面：1)空間數(shù)據(jù)除包含屬性信息外,還含有空間信息；2)空間數(shù)據(jù)具有空間自相關(guān)性,即鄰近數(shù)據(jù)間的相關(guān)性比距離較遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)間的相關(guān)性要大得多[4-6].目前獲取某些領(lǐng)域真實(shí)有效的空間數(shù)據(jù)存在一定的難度,出現(xiàn)這種情況的主要原因是科學(xué)實(shí)驗(yàn)難度大或勘探開發(fā)費(fèi)用高.

數(shù)據(jù)插值成為重建空間數(shù)據(jù)的1個(gè)有效手段[7-8].插值方法可分為“確定”性插值方法和“不確定”性插值方法.“確定”性插值方法的插值形式、插值函數(shù)參數(shù)以及插值結(jié)果基本都是確定的[9-10].不確定性插值方法的不確定性一方面表現(xiàn)在選用的插值方式具有隨機(jī)性,另一方面表現(xiàn)在插值參數(shù)的選取和確定依賴概率統(tǒng)計(jì)原則[11-13].

不確定性插值方法主要包括克里金(Kriging)方法和隨機(jī)模擬方法.多點(diǎn)信息統(tǒng)計(jì)法(multiple-point statistics, MPS)是目前隨機(jī)模擬的主流.通過再現(xiàn)高階統(tǒng)計(jì)量,MPS能夠從訓(xùn)練圖像中捕捉復(fù)雜的特征樣式并把它們復(fù)制到待模擬區(qū)域中,從而獲得最終模擬結(jié)果[14-15].

在MPS重建數(shù)據(jù)過程中,訓(xùn)練圖像的模式特征決定了模擬結(jié)果,但這些模式往往維數(shù)較高,數(shù)據(jù)處理較為困難.因此,模式降維問題成為MPS中的研究熱點(diǎn).一部分主流MPS方法,如過濾器隨機(jī)模擬(filter-based stochastic simulation, FILTERSIM)[15]和距離模式隨機(jī)模擬(distance-based pattern simulation, DISPAT)[16],將數(shù)據(jù)降維引入到其隨機(jī)模擬過程中.但是,這些方法都采用線性降維處理模式數(shù)據(jù),而真實(shí)情況下的數(shù)據(jù)并非都以線性形式存在著.如果空間數(shù)據(jù)處于非線性狀態(tài)卻使用線性方法降維,那么將會(huì)嚴(yán)重降低隨機(jī)模擬的質(zhì)量.另外,如果把線性降維當(dāng)作非線性降維的一種特殊情況[17-18],那么基于空間數(shù)據(jù)非線性降維的隨機(jī)模擬具有更廣泛的一般性,可同時(shí)用于線性和非線性的空間數(shù)據(jù)重建.

條件數(shù)據(jù)對(duì)模擬結(jié)果的影響很大,而條件數(shù)據(jù)又可以分為硬條件數(shù)據(jù)和軟條件數(shù)據(jù).硬條件數(shù)據(jù)是已知的精確采樣點(diǎn)數(shù)據(jù),但可能數(shù)量很少.與硬條件數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)的是軟條件數(shù)據(jù).軟條件數(shù)據(jù)總體上能夠比較準(zhǔn)確地反映所研究變量的變化趨勢(shì),但精度較差.在許多領(lǐng)域里,由于受到客觀條件或技術(shù)水平限制,所能得到的硬條件數(shù)據(jù)非常有限,但是可以獲得相對(duì)比較豐富的軟條件數(shù)據(jù).例如在石油勘探過程中,所能獲得的硬條件數(shù)據(jù)(井位數(shù)據(jù))往往非常少,而有關(guān)所研究對(duì)象的軟條件數(shù)據(jù)(如地質(zhì)解釋和地震資料等)卻相對(duì)較為豐富.如圖1(a)表示勘探得到的井位數(shù)據(jù),其中黑色和白色點(diǎn)分別表示砂巖(sand)和頁巖(shale)井位的分布,是一種硬條件數(shù)據(jù).圖1(b)為對(duì)應(yīng)區(qū)塊的地震資料,是頁巖分布概率,可作為軟條件數(shù)據(jù).可見硬條件數(shù)據(jù)的數(shù)量相對(duì)較少,如果能充分利用較為豐富的軟條件數(shù)據(jù),那么必然會(huì)提高所建模型的精度.

本文基于訓(xùn)練圖像的非線性降維,提出一種利用多點(diǎn)信息統(tǒng)計(jì)法重建空間數(shù)據(jù)的方法,可以分別在結(jié)合使用軟硬條件數(shù)據(jù),只有硬條件數(shù)據(jù)和無條件數(shù)據(jù)情況下實(shí)現(xiàn)空間數(shù)據(jù)重建.由于本方法通過捕獲訓(xùn)練圖像的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行數(shù)據(jù)重建,因此適用于條件數(shù)據(jù)較少或沒有條件數(shù)據(jù)情況下的數(shù)據(jù)重建.雖然重建結(jié)果具有隨機(jī)性和不確定性,但是它們能在已知條件數(shù)據(jù)和先驗(yàn)?zāi)Ｐ突A(chǔ)上提供未來數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè),具有一定實(shí)際意義.

Fig. 2 Data template.圖2 數(shù)據(jù)模板

1 MPS中的一些基本概念

設(shè)數(shù)據(jù)模板為τD,它是由D個(gè)向量組成的幾何形態(tài),τn={hα;α=1,2,…,D}.設(shè)模板中心位置為u,模板其他位置uα=u+hα(α=1,2,…,D).圖2(a)是一個(gè)9×9節(jié)點(diǎn)組成的二維模板,uα由中心點(diǎn)u和80個(gè)向量hα所組成,各向量用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)表示.而在三維空間中數(shù)據(jù)模板的定義也是適用的,圖2(b)是由3×3×3體素組成的三維模板,模板中心點(diǎn)u用黑色表示,其周圍的各三維節(jié)點(diǎn)表示各個(gè)向量的位置,用淺灰色表示.注意本文的“節(jié)點(diǎn)”表示二維平面的像素或者三維空間的體素.假設(shè)變量S可以取K個(gè)狀態(tài)值,即有狀態(tài)值的集合{sk,k=1,2,…,K}.令d(uα)表示在uα的狀態(tài)值.為了獲得在某個(gè)向量u的狀態(tài)值,選取離其最近的D個(gè)數(shù)據(jù)作為模擬時(shí)的條件數(shù)據(jù).D個(gè)條件數(shù)據(jù)和它們的幾何結(jié)構(gòu)組成了“數(shù)據(jù)事件”,記為dD[19]:

dD={d(uα)=skα,α=1,2,…,D,kα∈[1,K]},

(1)

式(1)代表D個(gè)向量在uα位置的S(u1),S(u2),…,S(uD)分別為某個(gè)狀態(tài)值sk.

圖3(a)(b)所示為圖2(a)的二維數(shù)據(jù)模板所捕獲的2個(gè)數(shù)據(jù)事件,數(shù)據(jù)模板中包含3種灰度的節(jié)點(diǎn):深灰、淺灰和白色節(jié)點(diǎn).深灰和淺灰節(jié)點(diǎn)表示2種已知數(shù)據(jù)，白色節(jié)點(diǎn)為未知數(shù)據(jù).同理,圖3(c)(d)所示為圖2(b)的三維數(shù)據(jù)模板所捕獲的2個(gè)數(shù)據(jù)事件.其中,待模擬點(diǎn)u仍然位于3×3×3數(shù)據(jù)模板的中心,用黑色表示.深灰色節(jié)點(diǎn)表示已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，淺灰色節(jié)點(diǎn)表示未知數(shù)據(jù).

Fig. 3 2D data event and 3D Data event.圖3 二維數(shù)據(jù)事件和三維數(shù)據(jù)事件

2 方法核心思想

Fig. 4 Capture a pattern in a training image.圖4 捕獲訓(xùn)練圖像中的一個(gè)模式

本文方法主要由4個(gè)部分組成:建立訓(xùn)練圖像模式庫(kù)、模式的降維、模式的分類和模式的提取.各部分詳細(xì)內(nèi)容分別介紹于2.1至2.4節(jié).

2.1 建立訓(xùn)練圖像的模式庫(kù)

利用數(shù)據(jù)模板掃描訓(xùn)練圖像來捕獲數(shù)據(jù)事件,這些數(shù)據(jù)事件被稱為“模式”,而這些模式包含了訓(xùn)練圖像的結(jié)構(gòu)特征.例如圖4(a)是一個(gè)3×3的數(shù)據(jù)模板；圖4(b)是利用數(shù)據(jù)模板掃描一個(gè)二維訓(xùn)練圖像；圖4(c)是捕獲的一個(gè)模式.如果按照每次移動(dòng)一個(gè)節(jié)點(diǎn),從左到右、從上到下進(jìn)行掃描,那么就可以獲得訓(xùn)練圖像全部的模式庫(kù),如圖5所示.對(duì)于三維訓(xùn)練圖像同理可以建立類似的模式庫(kù).

Fig. 5 Build a pattern database from a training image.圖5 獲取訓(xùn)練圖像的模式庫(kù)

設(shè)TI(u)表示以u(píng)為中心的模式,ti(u+hi)表示u+hi位置的屬性值,那么有：

TI(u)=(ti(u+h1),ti(u+h2),…,ti(u+hD)).

(2)

可見模式TI(u)和數(shù)據(jù)模板尺寸相同,如果將各個(gè)模式從訓(xùn)練數(shù)據(jù)中抽取出來形成模式庫(kù),那么與具體位置u無關(guān),此時(shí)可設(shè)模式庫(kù)中的模式個(gè)數(shù)為Npat,那么第k個(gè)模式可以表示為

patk=(patk(h1),patk(h2),…,patk(hD)),

k=1,2,…,Npat,

(3)

其中,patk(hi)與ti(u+hi)(i=1,2,…,D)一一對(duì)應(yīng).整個(gè)模式庫(kù)patDb可以表示為

patDb=(pat1,pat2,…,patNpat),

(4)

其中，每個(gè)patk(k=1,2,…,Npat)可以視為模式空間中的一個(gè)點(diǎn).

2.2 模式的降維

降維方法可分為線性降維和非線性降維.線性降維方法主要用來對(duì)線性數(shù)據(jù)降維,代表性方法有主成分分析(principal component analysis, PCA)和多維尺度變換(multi-dimensional scaling, MDS)等.然而現(xiàn)實(shí)世界的許多數(shù)據(jù)處于非線性結(jié)構(gòu),采用線性降維方法難以處理非線性數(shù)據(jù).本文采用等距特征映射(isometric mapping, ISOMAP)實(shí)現(xiàn)模式的非線性降維[20-21].

每個(gè)模式patk(k=1,2,…,Npat)含有D個(gè)分量,可以視其維數(shù)為D.本方法通過ISOMAP將patDb中的各個(gè)模式patk降維到d(d?D)維空間.降維后得到的低維數(shù)據(jù)集設(shè)為Y=(y1,y2,…,yNpat)(其中yk∈d,k=1,2,…,Npat),即樣本個(gè)數(shù)不變,每個(gè)樣本的維數(shù)從D變?yōu)閐.利用ISOMAP降維的步驟如下[21]:

1) 構(gòu)造模式近鄰圖G.計(jì)算模式庫(kù)patDb中所有模式對(duì)(pati,patj)間的歐氏距離,記為dE(pati,patj)：

(5)

比較歐氏距離,確定每個(gè)模式的k個(gè)最相似模式；構(gòu)造模式近鄰圖G,圖G中的節(jié)點(diǎn)和各模式一一對(duì)應(yīng).邊代表近鄰關(guān)系,即如果pati和patj是相似模式,G中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)i和j用邊連接,否則斷開.邊權(quán)值用模式間歐氏距離dE(pati,patj)表示.

2) 計(jì)算模式間的最短路徑dM(pati,patj).當(dāng)圖G中存在邊(i,j)時(shí),設(shè)最短路徑dM(pati,patj)=dE(pati,patj),否則dM(pati,patj)=∞,對(duì)于p=1,2,…,Npat：

dM(pati,patj)=min{dM(pati,patj),

dM(pati,patp)+dM(patp,patj)}.

(6)

最短路徑距離陣可表示為DM=(dM(pati,patj))2,i,j=1,2,…,Npat.

3) 計(jì)算低維映射.計(jì)算對(duì)稱陣:

(7)

其中，I是Npat階單位陣,l是元素全為1的Npat維列向量.低維空間的維度為d,則求取矩陣B的d個(gè)最大的特征值λ1≥λ2≥…≥λd,對(duì)應(yīng)的特征向量是α1,α2,…,αd,則可得降維后的各個(gè)模式：

Y=(y1,y2,…,yNpat)T=

(8)

至此獲得patDb={patk}(patk∈D,k=1,2,…,Npat)的低維映射Y={yk}(yk∈d,k=1,2,…,Npat),數(shù)據(jù)從高維空間D映射到低維空間d.低維空間的維數(shù)d可以通過最大似然估計(jì)法獲得,具體步驟可見文獻(xiàn)[22].

2.3 模式的分類

在完成訓(xùn)練圖像中模式的降維后,需要對(duì)獲取的低維模式進(jìn)行分類.對(duì)這些模式采用一種基于密度的聚類方法(density-based spatial clustering of applications with noise, DBSCAN)進(jìn)行分類[23].其主要思想是：只要鄰近區(qū)域的密度(對(duì)象的數(shù)目)超過某個(gè)閾值,就繼續(xù)執(zhí)行聚類操作.

在利用DBSCAN劃分模式空間后,獲得若干“子空間”,每個(gè)子空間命名為Cell.圖6所示是一個(gè)二維空間被劃分為若干個(gè)Cell,其中包含一個(gè)空的Cell,每個(gè)黑點(diǎn)表示一個(gè)降維后的模式.對(duì)于每個(gè)Cell,可以定義一個(gè)與數(shù)據(jù)模板相同形狀的“平均模板”,稱為Prototype. Prototype是屬于該Cell的所有模式在原高維空間中各節(jié)點(diǎn)位置的均值.例如,圖7(a)是一幅訓(xùn)練圖像(150×150像素),包含頁巖和砂巖2種狀態(tài)值,圖7(b)表示屬于一個(gè)Cell的所有15個(gè)模式(13×13像素),圖7(c)表示該Cell對(duì)應(yīng)的Prototype(13×13像素).本質(zhì)上Prototype可以視為每個(gè)Cell中所有模式的均值,是該Cell所有模式的“代表”.

Fig. 6 Illustration of separating pattern space into some Cells.圖6 劃分模式空間成各個(gè)Cell

Fig. 7 Illustration of a Prototype.圖7 Prototype示意圖

Fig. 8 A patch and its inner part and outer part.圖8 patch及其inner和outer部分

Prototype的值prot(l)(hα)表示屬于一個(gè)Cell中的所有圖案在各個(gè)hα位置的均值,定義為

(9)

protl=(prot(l)(h1),prot(l)(h2),…,prot(l)(hD)),

(10)

其中，l=1,2,…,L,protl可以視為第l個(gè)模式類的平均模式.

2.4 模式的提取

利用掃描訓(xùn)練圖像時(shí)使用的數(shù)據(jù)模板掃描待重建區(qū)域,檢索以未知點(diǎn)u為中心的數(shù)據(jù)事件內(nèi)的所有已知節(jié)點(diǎn),這些點(diǎn)視為硬條件數(shù)據(jù).設(shè)已知硬條件數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目為n′≤D.提取的訓(xùn)練圖像的模式(稱為patch)本質(zhì)上即訓(xùn)練圖像內(nèi)的圖像塊.將patch分為2個(gè)部分：inner部分和outer部分.它們可以作為其他后繼節(jié)點(diǎn)重建時(shí)的硬條件數(shù)據(jù).不同之處在于,inner部分會(huì)被“固定”為重建結(jié)果,不會(huì)再對(duì)其進(jìn)行模擬；而patch的outer部分不僅作為其他節(jié)點(diǎn)模擬的條件數(shù)據(jù),而且該部分的所有節(jié)點(diǎn)會(huì)被當(dāng)作未知點(diǎn)重新模擬.如圖8(a)是一個(gè)patch,圖8(b)(c)分別是其inner部分(虛線內(nèi)部分)和outer部分(虛線外部分).如果一個(gè)patch的inner部分被設(shè)定得比較大,那么重建速度會(huì)較快,但是容易產(chǎn)生局部的不連續(xù)性；反之,較小的inner部分會(huì)導(dǎo)致重建速度比較慢,但是重建效果會(huì)較好.

設(shè)t表示數(shù)據(jù)類型,則patch中一共可能有3種數(shù)據(jù)：

1)t=1,原始硬條件數(shù)據(jù),它們被分配到各節(jié)點(diǎn)位置上；

2)t=2,已經(jīng)模擬過的節(jié)點(diǎn),它們被固定為硬條件數(shù)據(jù),即patch的inner部分(不包含inner部分內(nèi)的原始硬條件數(shù)據(jù))；

3)t=3,通過“粘貼”Cell中的patch而已知的節(jié)點(diǎn),但這些點(diǎn)會(huì)被重新模擬,即patch的outer部分(不包含outer部分內(nèi)的原始硬條件數(shù)據(jù)).

另外定義“距離函數(shù)”如下：

(11)

其中，t=1,2,3;l=1,2,…,L；dis(d(uα),protl)表示求取數(shù)據(jù)事件d(uα)和protl中對(duì)應(yīng)的已知節(jié)點(diǎn)間的距離.每種節(jié)點(diǎn)會(huì)根據(jù)其類型而給定一個(gè)權(quán)值ω(t),表示其在求取距離函數(shù)中的重要性,注意有ω(3)≤ω(2)≤ω(1).可見原始硬條件數(shù)據(jù)點(diǎn)在距離函數(shù)中的作用最大.

假設(shè)以u(píng)為中心的硬條件數(shù)據(jù)事件hd(uα)與各個(gè)protl之間的距離可以表示為

(12)

(13)

如果在位置u處也對(duì)應(yīng)存在一個(gè)以u(píng)為中心的軟條件數(shù)據(jù)事件sd(uα),它與各個(gè)protl之間的距離可以表示為

(14)

(15)

由式(15)可得整合軟硬條件數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型,即求取軟硬條件數(shù)據(jù)情況下數(shù)據(jù)事件與protl之間的距離向量：

Distotal=perhd×Dishd+μ×Dissd,

(16)

其中,perhd表示在數(shù)據(jù)模板中已知硬條件數(shù)據(jù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)占模板總節(jié)點(diǎn)數(shù)的百分比,因?yàn)楫?dāng)硬條件數(shù)據(jù)較多時(shí),其能提供的輔助判斷信息會(huì)增加,權(quán)值相應(yīng)變大；而μ(0≤μ≤1)是表示軟數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的權(quán)值,它的取值取決于人們對(duì)軟數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的主觀意見.當(dāng)μ=0,表示完全忽略軟數(shù)據(jù)；而當(dāng)μ=1,表示完全信任軟數(shù)據(jù).另外,Dishd和Dissd要進(jìn)行歸一化處理,即令其取值范圍為[0,1].

假設(shè)有:

(17)

則Distotal可以表示為

(18)

3 重建過程的完整流程

根據(jù)初始條件數(shù)據(jù)的不同,節(jié)點(diǎn)u的重建可以分為4種情況:1)無條件數(shù)據(jù)模擬(稱為情況C1);2)只有硬條件數(shù)據(jù)情況下的模擬(稱為情況C2);3)軟條件數(shù)據(jù)和硬條件數(shù)據(jù)同時(shí)存在時(shí)的模擬(稱為情況C3);4)只有軟條件數(shù)據(jù)情況下的模擬(稱為情況C4).第2節(jié)對(duì)本方法各核心部分作了重點(diǎn)介紹,本節(jié)將第2節(jié)部分整合起來,形成本方法的完整流程:

1) 利用數(shù)據(jù)模板掃描訓(xùn)練圖像，構(gòu)建模式庫(kù)patDb.

2) 利用ISOMAP對(duì)模式庫(kù)中的模式進(jìn)行降維.

3) 采用DBSCAN對(duì)降維后的模式進(jìn)行分類.

4) 定義一條隨機(jī)訪問路徑，對(duì)重建區(qū)域內(nèi)的未知節(jié)點(diǎn)進(jìn)行訪問.

5) 檢查訪問路徑上的待模擬節(jié)點(diǎn)u是已知的硬條件數(shù)據(jù)還是已模擬節(jié)點(diǎn).如果是已知的硬數(shù)據(jù)或已模擬節(jié)點(diǎn)，則對(duì)隨機(jī)路徑上的下個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行判定；否則轉(zhuǎn)向步驟6).

6) 檢索以u(píng)為中心的數(shù)據(jù)模板內(nèi)的硬條件數(shù)據(jù)(設(shè)數(shù)目為n′)和對(duì)應(yīng)的軟條件數(shù)據(jù).根據(jù)條件數(shù)據(jù)的不同,提取patch的方法分為4種情況:

① 如果條件數(shù)據(jù)屬于情況C1(即n′=0,無軟條件數(shù)據(jù))，那么隨機(jī)地從訓(xùn)練圖像模式庫(kù)patDb中隨機(jī)提取一個(gè)patch，然后將該patch直接復(fù)制到以當(dāng)前模擬節(jié)點(diǎn)u為中心的重建區(qū)域.

② 如果條件數(shù)據(jù)屬于情況C2(即n′>0,無軟條件數(shù)據(jù))，即以u(píng)為中心的硬數(shù)據(jù)事件非空，那么就在訓(xùn)練圖像所有的protl中利用式(16)尋找與當(dāng)前數(shù)據(jù)事件最接近的protl.一旦該protl被確定,則從與之對(duì)應(yīng)的Cell中隨機(jī)提取一個(gè)patch,然后將它復(fù)制到以當(dāng)前模擬節(jié)點(diǎn)u為中心的重建區(qū)域.注意在計(jì)算式(16)時(shí),只能獲得硬距離Dishd,軟距離Dissd不存在.

③ 如果條件數(shù)據(jù)屬于情況C3(即n′>0,且有軟條件數(shù)據(jù))，那么同時(shí)有軟硬條件數(shù)據(jù),此時(shí)直接利用式(16)獲得與當(dāng)前數(shù)據(jù)事件最接近的protl,然后從與該protl對(duì)應(yīng)的Cell中隨機(jī)提取一個(gè)patch復(fù)制到重建區(qū)域.

④ 如果條件數(shù)據(jù)屬于情況C4(即n′=0,僅有軟條件數(shù)據(jù))，也是利用式(16)獲得與當(dāng)前數(shù)據(jù)事件最接近的protl,然后從與該protl對(duì)應(yīng)的Cell中隨機(jī)提取一個(gè)patch復(fù)制到重建區(qū)域.在重建的初始階段時(shí),式(16)中僅存在軟距離Dissd,但是隨著重建過程的進(jìn)行,已模擬節(jié)點(diǎn)不斷增加,這些節(jié)點(diǎn)成為后繼節(jié)點(diǎn)模擬的硬條件數(shù)據(jù).那么此時(shí)變?yōu)檐浻矖l件數(shù)據(jù)結(jié)合情況下的重建.

7) 將patch復(fù)制到重建區(qū)域后,再將patch的部分節(jié)點(diǎn)固定為inner部分,該patch的其他節(jié)點(diǎn)作為outer部分.

8) 重復(fù)步驟5)～7)，繼續(xù)對(duì)其他節(jié)點(diǎn)進(jìn)行模擬，直到隨機(jī)路徑上的所有節(jié)點(diǎn)被模擬完畢.

本方法的流程圖如圖9所示.值得注意的是,由于情況C3下硬條件數(shù)據(jù)通常較為稀疏,即在大多數(shù)情況下重建區(qū)域內(nèi)只有軟條件數(shù)據(jù),因此本文將情況C3和C4視為同一種情況,并且在實(shí)驗(yàn)部分僅對(duì)情況C1,C2,C3進(jìn)行測(cè)試.

Fig. 9 Flow chart of the proposed method.圖9 本文方法流程圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

4.1 重建質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

對(duì)于評(píng)價(jià)重建結(jié)果優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn),隨機(jī)重建與一般重建方法有較大的不同.一般重建方法中的重建數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的相似度是由兩者在每個(gè)相同位置具有相同狀態(tài)值元素的比例決定的.在一般重建方法中,該比例越高,重建相似度就越高,但是這個(gè)判定標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于隨機(jī)重建并不適用.隨機(jī)重建并不要求隨機(jī)模擬結(jié)果與訓(xùn)練圖像完全一致,它的真正作用體現(xiàn)在捕捉訓(xùn)練圖像的結(jié)構(gòu)特征,并將這些特征復(fù)制到重建數(shù)據(jù)中.隨機(jī)重建可以給出多個(gè)模擬結(jié)果,這些結(jié)果是對(duì)訓(xùn)練圖像結(jié)構(gòu)特征的反映.重建效果的優(yōu)劣在于這些結(jié)構(gòu)特征是否被復(fù)制到重建數(shù)據(jù)中.

因此,本文評(píng)價(jià)重建結(jié)果時(shí)并不直接比較重建結(jié)果和訓(xùn)練圖像是否相同,而是通過多個(gè)重建結(jié)果的均值和方差分布以及變差函數(shù)來衡量.變差函數(shù)能夠反映變量在某個(gè)方向上空間結(jié)構(gòu)變化的相關(guān)性和變異性.如果2幅圖像中的某個(gè)屬性值在同一個(gè)方向上具有相似的變差函數(shù)曲線,那么可以說明這2幅圖像中的該屬性值在此方向上具有相似的結(jié)構(gòu)特征；反之,該屬性值在此方向上的結(jié)構(gòu)差異較大.變差函數(shù)[24]的定義為

(19)

其中,Z(u)和Z(u+h)分別表示位置u和u+h處的變量狀態(tài)值,h表示距離向量,E表示求數(shù)學(xué)期望值.

4.2 重建實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本方法有效性,分別對(duì)三維離散型數(shù)據(jù)和三維連續(xù)型數(shù)據(jù)進(jìn)行重建實(shí)驗(yàn).所有實(shí)驗(yàn)都是在Intel core i3-4160T (3.1 GHz CPU)和4 GB DDR3內(nèi)存環(huán)境下運(yùn)行的.式(11)中的權(quán)值ω(1)=0.5,ω(2)=0.3,ω(3)=0.2.如第3節(jié)所述,由于將C3和C4視為同一種情況,故以下實(shí)驗(yàn)只分別對(duì)C1,C2,C3這3種情況下的重建進(jìn)行測(cè)試.

4.2.1 三維離散型數(shù)據(jù)重建

首先實(shí)驗(yàn)三維離散型數(shù)據(jù)的重建效果.圖10(a)是一幅多孔介質(zhì)(碳酸巖)體數(shù)據(jù)訓(xùn)練圖像(80×80×80體素),包含孔隙和骨架2種狀態(tài)值,孔隙所占百分比(孔隙度)為0.201;圖10(b)是訓(xùn)練圖像的截面圖(3個(gè)截面分別為X=40,Y=40和Z=40);圖10(c)是訓(xùn)練圖像的孔隙結(jié)構(gòu)圖.圖11是硬條件數(shù)據(jù),分別是孔隙點(diǎn)和骨架點(diǎn),其中孔隙點(diǎn)比例為0.182,設(shè)重建區(qū)域?yàn)?0×80×80體素.由于多孔介質(zhì)內(nèi)部只存在孔隙和骨架2種狀態(tài)值,因此重建區(qū)域內(nèi)孔隙和骨架在某個(gè)體素位置的概率之和為1.圖12(a)(b)分別是孔隙和骨架分布的概率圖,作為重建時(shí)的軟條件數(shù)據(jù).根據(jù)最大似然估計(jì)法,設(shè)置低維空間的維數(shù)d=9[22].情況C1,C2,C3下重建結(jié)果分別如圖13～15所示.可見,3種情況下基本都可以重建孔隙和骨架的結(jié)構(gòu)特征.對(duì)情況C1～C3下各實(shí)現(xiàn)10次重建,設(shè)孔隙狀態(tài)值為1,骨架狀態(tài)值為0,則可得3種情況下重建結(jié)果均值和方差,如圖16和圖17所示.3種情況下均值(即孔隙度)見表1所示.求取的方差只有6種取值:0,0.09,0.16,0.21,0.24,0.25,各體素位置的方差值分布如圖18所示.可以看出C3重建結(jié)果的方差值最小,說明C3重建結(jié)果的波動(dòng)性最小.C1～C3重建圖像均值和訓(xùn)練圖像的變差函數(shù)曲線如圖19所示,可見訓(xùn)練圖像與C3重建結(jié)果的變差函數(shù)最為接近.情況C1～C3下10次重建的時(shí)間和占用的最大內(nèi)存如表2所示,可見C3時(shí)使用的時(shí)間和內(nèi)存最大.以上實(shí)驗(yàn)表明,結(jié)合使用軟硬數(shù)據(jù)能夠提高重構(gòu)質(zhì)量，但是會(huì)占用較多的CPU時(shí)間和內(nèi)存.

Fig. 10 Training image of carbonatite.圖10 碳酸巖訓(xùn)練圖像

Fig. 11 Hard conditional data of carbonatite.圖11 碳酸巖硬條件數(shù)據(jù)

Fig. 12 Probability distribution of pore spaces and grains.圖12 孔隙和骨架分布的概率圖

Fig. 13 Reconstructed results of C1.圖13 C1重建結(jié)果

Fig. 14 Reconstructed results of C2.圖14 C2重建結(jié)果

Fig. 15 Reconstructed results of C3.圖15 C3重建結(jié)果

Fig. 16 Average of 10 times of reconstructed carbonatite results under three conditions.圖16 3種情況下的碳酸巖重建結(jié)果均值

Fig. 17 Variance of 10 times of reconstructed carbonatite results under three conditions.圖17 3種情況下的碳酸巖重建結(jié)果方差

Table 1 Average of the Training Image and Reconstructed Carbonatite Images with C1, C2 and C3

表1 訓(xùn)練圖像、C1,C2,C3情況下重建的碳酸巖圖像均值

Fig. 18 Variance distribution at each voxel location under three conditions of C1, C2 and C3.圖18 C1,C2,C3情況下各體素位置的方差值分布

Table 2 Maximum Time and Memory for Reconstructing Ten Carbonatite Images with C1, C2 and C3

表2 C1,C2,C3情況下重建10幅碳酸巖圖像的時(shí)間和占用的最大內(nèi)存

ItemMaximumTime∕sMaximumMemory∕MBC16891239C26932243C37353286

Fig. 19 Variogram curves of the training image and average reconstructed images of carbonatite.圖19 碳酸巖訓(xùn)練圖像和重建圖像均值的變差函數(shù)

4.2.2 三維連續(xù)型數(shù)據(jù)重建

進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)三維連續(xù)型數(shù)據(jù)的重建效果.圖20(a)是一幅滲透率體數(shù)據(jù)的訓(xùn)練圖像(50×50×20體素,均值為1.634 Darcy),設(shè)重建區(qū)域也為50×50×20體素.重建所使用的硬數(shù)據(jù)與軟數(shù)據(jù)分別如圖20(b)(c)所示.硬條件數(shù)據(jù)占全部重建區(qū)域體素點(diǎn)的1%.情況C1～C3下重建結(jié)果分別如圖21～23所示.在C1～C3這3種情況下各實(shí)現(xiàn)10次重建,則可得3種情況下重建結(jié)果均值和方差,如圖24和圖25所示.各情況下均值見表3所示.各體素位置的方差值分布如圖26所示,可見C3重建結(jié)果的方差值最小,說明C3情況下重建結(jié)果的波動(dòng)性最小.C1～C3重建圖像均值和訓(xùn)練圖像的變差函數(shù)曲線如圖27所示,說明C3的重建結(jié)果最接近訓(xùn)練圖像.C1～C3情況下10次重建的時(shí)間和占用的最大內(nèi)存如表4所示,可見3種情況的差異不大,但是C3情況下的重建時(shí)間和內(nèi)存占用量最多.以上實(shí)驗(yàn)再次證明,結(jié)合使用軟硬數(shù)據(jù)有助于提高重構(gòu)質(zhì)量,但是也會(huì)占用較多的CPU時(shí)間和內(nèi)存.

Fig. 20 Training image, hard and soft conditional data for reconstructing permeability image.圖20 滲透率圖像重建所使用的訓(xùn)練圖像和軟硬條件數(shù)據(jù)

Fig. 21 Reconstructed results of C1.圖21 C1重建結(jié)果

Fig. 22 Reconstructed results of C2.圖22 C2重建結(jié)果

Fig. 23 Reconstructed results of C3.圖23 C3重建結(jié)果

Fig. 24 Averages of 10 times of reconstructed permeability results under the conditions of C1, C2 and C3.圖24 C1,C2,C3情況下的滲透率重建結(jié)果均值

Fig. 25 Variance of 10 times of reconstructed permeability images under the conditions of C1, C2 and C3.圖25 C1,C2,C3情況下的滲透率重建結(jié)果方差

Table 3 Average of the Training Image and the Reconstructed Permeability Images with C1, C2 and C3

表3 訓(xùn)練圖像、C1,C2,C3情況下重建的滲透率圖像均值

ItemAveragePermeability∕DarcyTrainingImage1．634C11．751C21．723C31．613

Fig. 26 Variance distribution at each voxel location under the conditions of C1, C2 and C3.圖26 C1,C2,C3情況下各體素位置的方差值分布

Table 4 Maximum Memory and Time for Reconstructing Images with C1, C2 and C3

表4 C1,C2,C3情況下重建圖像的時(shí)間和最大內(nèi)存

4.3 與FILTERSIM和DISPAT的比較

Fig. 28 Reconstructed results of FILTERSIM.圖28 FILTERSIM重建結(jié)果

如引言所述,FILTERSIM和DISPAT是典型的基于線性降維的MPS方法.現(xiàn)利用FILTERSIM和DISPAT與本方法進(jìn)行對(duì)比.實(shí)驗(yàn)樣本即4.2.1節(jié)采用的碳酸巖.對(duì)FILTERSIM和DISPAT進(jìn)行結(jié)合軟硬條件數(shù)據(jù)情況下(即C3情況)的模擬,即采用圖10的訓(xùn)練圖像、圖11的硬條件數(shù)據(jù)和圖12的軟條件數(shù)據(jù).分別利用FILTERSIM和DISPAT進(jìn)行10次重建,每個(gè)重建結(jié)果為80×80×80體素,一些重建結(jié)果的孔隙結(jié)構(gòu)如圖28和圖29所示.可見FILTERSIM和DISPAT能較好地再現(xiàn)孔隙結(jié)構(gòu),只是FILTERSIM生成的孔隙的連通性較好,易于形成較大范圍的連通孔隙空間;而DISPAT生成的孔隙空間連通性稍差,因此大范圍連通的孔隙較少.訓(xùn)練圖像和3種方法(本文方法、FILTERSIM和DISPAT)重建結(jié)果均值的變差函數(shù)參見圖30所示.可見本文方法重建結(jié)果的變差函數(shù)和訓(xùn)練圖像變差函數(shù)最為接近.FILTERSIM和DISPAT生成上述10個(gè)結(jié)果的時(shí)間和內(nèi)存占用如表5所示.與表2的C3(即同時(shí)使用軟硬條件數(shù)據(jù))情況相比,可見本方法具有計(jì)算速度和內(nèi)存使用的優(yōu)勢(shì).

Fig. 29 Reconstructed results of DISPAT.圖29 DISPAT重建結(jié)果

Fig. 30 Variograms of the training image and average reconstructed images using three methods.圖30 訓(xùn)練圖像和3種方法重建圖像的平均變差函數(shù)

Table 5 Maximum Time and Memory for Reconstructing Ten Carbonatite Images using FILTERSIM and DISPAT

表5 FILTERSIM和DISPAT重建圖像的時(shí)間和最大內(nèi)存

5 總 結(jié)

重建區(qū)域內(nèi)的條件數(shù)據(jù)對(duì)重建結(jié)果的準(zhǔn)確性影響很大.當(dāng)已知條件數(shù)據(jù)較少甚至沒有條件數(shù)據(jù)時(shí),非確定性插值方法是重建空間數(shù)據(jù)的有效手段.多點(diǎn)信息統(tǒng)計(jì)法是目前非確定性插值方法的重要分支.它從訓(xùn)練圖像提取模式特征,并將其復(fù)制到待模擬區(qū)域,以完成對(duì)缺失空間數(shù)據(jù)的重建.但是訓(xùn)練圖像往往包含大量非線性數(shù)據(jù),傳統(tǒng)多點(diǎn)信息統(tǒng)計(jì)法處理線性數(shù)據(jù)效果較好,但是并沒有針對(duì)非線性數(shù)據(jù)提出具體的處理策略.一些基于降維分類思想的多點(diǎn)信息統(tǒng)計(jì)法只是采用線性降維方法來處理包括非線性數(shù)據(jù)在內(nèi)的所有數(shù)據(jù),這可能會(huì)造成空間數(shù)據(jù)重建質(zhì)量的下降.

本文采用ISOMAP對(duì)訓(xùn)練圖像中的模式數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理.由于ISOMAP是一種非線性降維方法,因此適用于降低非線性數(shù)據(jù)的維度.如果把線性數(shù)據(jù)視為非線性數(shù)據(jù)的特殊情況,那么ISOMAP同樣可以用于線性數(shù)據(jù)降維,這大大拓展了多點(diǎn)信息統(tǒng)計(jì)法的應(yīng)用范圍.基于MPS和ISOMAP提出在無條件數(shù)據(jù),只有硬條件數(shù)據(jù)和結(jié)合軟硬條件數(shù)據(jù)情況下的空間數(shù)據(jù)重建方法,實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性.又與傳統(tǒng)采用線性降維的多點(diǎn)信息統(tǒng)計(jì)法(即DISPAT和FILTERSIM)進(jìn)行比較,顯示出采用非線性降維方法處理空間數(shù)據(jù)的優(yōu)勢(shì).值得指出的是：雖然本方法采用的隨機(jī)模擬會(huì)使得重建結(jié)果具有一定的不確定性并產(chǎn)生多種可能結(jié)果,但是這些結(jié)果都是在當(dāng)前條件數(shù)據(jù)和先驗(yàn)?zāi)Ｐ拖聦?duì)未知區(qū)域數(shù)據(jù)的合理預(yù)測(cè),對(duì)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)測(cè)研究和分析決策均具有指導(dǎo)意義.

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Du Yi, born in 1977. PhD and associate professor in Shanghai Polytechnic University. Member of China Computer Federation. Her main research interest is data mining.

Zhang Ting, born in 1979. PhD and associate professor in Shanghai University of Electric Power. His main research interest is image reconstruction.

Huang Tao, born in 1979. PhD and associate professor in the University of Science and Technology of China. His main research interest is high performance computing.

A Reconstruction Method of Spatial Data Using MPS and ISOMAP

Du Yi1, Zhang Ting2, and Huang Tao3

1(College of Engineering, Shanghai Polytechnic University, Shanghai 201209)2(CollegeofComputerScienceandTechnology,ShanghaiUniversityofElectricPower,Shanghai200090)3(DepartmentofModernMechanics,UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230027)

Conditional data influence the reconstructed results greatly in the reconstruction of spatial data. Reconstructed results often show a number of uncertainties when only sparse conditional data are available, so it is suitable to use indefinite interpolation to reconstruct spatial data. As one of the main indefinite interpolation methods, multiple-point statistics (MPS) can extract the intrinsic features of patterns from training images and copy them to the simulated regions. Because the traditional MPS methods using linear dimensionality reduction are not suitable to deal with nonlinear data, isometric mapping (ISOMAP) is combined with MPS to address the above issues. A method using MPS and ISOMAP for the reconstruction of spatial data is proposed for the accurate reconstruction of unknown spatial data by constructing pattern dataset, dimensionality reduction of patterns, classification of patterns and extraction of patterns, which has provided a new idea for dealing with nonlinear spatial data by MPS. The experimental results show that the structural characteristics of reconstructed results using this method are similar to those of training images.

training image; multiple-point statistics (MPS); pattern; isometric mapping (ISOMAP); dimensionality reduction

2015-05-21；

2015-12-22

中國(guó)科學(xué)院戰(zhàn)略性先導(dǎo)科技專項(xiàng)課題(XDB10030402);中國(guó)石油與中國(guó)科學(xué)院重大戰(zhàn)略合作項(xiàng)目(2015A-4812);國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41672114);上海市自然科學(xué)基金項(xiàng)目(16ZR1413200);上海第二工業(yè)大學(xué)校級(jí)重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)項(xiàng)目(XXKZD1604) This work was supported by the State Priority Research Program of the Chinese Academy of Sciences (XDB10030402), CNPC-CAS Strategic Cooperation Research Program (2015A-4812), the National Natural Science Foundation of China (41672114), the Natural Science Foundation of Shanghai (16ZR1413200), and the Key Discipline of Computer Science and Technology of Shanghai Polytechnic University (XXKZD1604).

張挺(tingzh@shiep.edu.cn)

TP391.41