用于柔性轉子主動控制的等幾何Timoshenko梁模型及其數(shù)值驗證

張鵬飛,王志恒,席光

(西安交通大學能源與動力工程學院,710049,西安)

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用于柔性轉子主動控制的等幾何Timoshenko梁模型及其數(shù)值驗證

張鵬飛,王志恒,席光

(西安交通大學能源與動力工程學院,710049,西安)

為了克服采用標準有限元方法建立的轉子模型自由度多不便直接用于控制器設計的問題,結合等幾何分析方法的精度高、自由度少的特點,提出了把低階等幾何Timoshenko梁模型運用到柔性轉子的主動控制中,并進行了數(shù)值驗證。首先,給出了半離散等幾何模型及在主動控制中作為轉子控制輸入信號的各類邊界條件;其次,分別對比了高、低階等幾何模型的奇異值響應以及簡支條件下的高、低階模型的數(shù)值解與理論解;最后,在采用磁懸浮軸承支撐和給定分布不平衡力擾動的條件下,對轉子進行了分散比例微分(PD)仿真控制。結果表明:所采用的低階模型的奇異值響應在前6階臨界轉速范圍內(nèi)與高階模型基本一致;高階模型的前10階模態(tài)頻率很好地吻合了理論解,低階模型前4階模態(tài)頻率誤差在0.2%以內(nèi);高、低階等幾何梁模型下的轉子不平衡振動位移穩(wěn)態(tài)響應的差別很小,該誤差可看成工作轉速下的同頻小擾動。低階等幾何梁模型在低頻范圍的高精度驗證了該方法所得低階模型直接用于控制器設計的可行性。

等幾何方法;柔性轉子模型;Timoshenko梁;振動控制;磁懸浮軸承

在航空、電力、石化等領域,各類旋轉機械都向著高速、高功重比方向發(fā)展,為了限制轉子的重量和線速度,減小離心力,高速轉子往往采用細長型的柔性轉子,工作轉速通常高于其一階、二階臨界轉速,甚至達到三、四階臨界轉速以上[1]。主動磁懸浮軸承的高速、無磨損、無潤滑及可控性等優(yōu)點使其成為高速轉子支承的理想方案[2]。主動磁懸浮軸承支撐的轉子控制方法主要基于數(shù)學模型,雖然許多先進算法(如魯棒控制、滑?？刂频?可以降低對轉子建模精度的敏感性,但轉子的建模精度還是會直接影響其控制性能。

大量實踐表明,5自由度剛性轉子簡單、有效,可直接用于主動磁懸浮軸承的剛性轉子控制[3-5]。對于柔性轉子,其主動控制要求建立更精確的轉子模型,采用標準有限元方法對柔性轉子進行建模和分析已經(jīng)比較成熟,且有限元方法相比傳遞矩陣法更加精確[6]。但是,有限元方法所得模型自由度數(shù)目較大,不便于直接用于控制器的設計,尤其當控制器設計的復雜程度依賴于轉子的數(shù)學模型時,例如魯棒控制。用于這類控制器的柔性轉子模型通常先采用標準有限元方法或集總參數(shù)法建立高階轉子模型,模型經(jīng)過修正后,利用子結構技術(例如Guyan、Hurty模態(tài)截斷等方法)或狀態(tài)空間技術對高階轉子進行簡化[7]。

標準有限元方法、子結構技術和狀態(tài)空間方法已經(jīng)較為成熟,但由于有限元方法求解自由振動問題所得頻率譜的不連續(xù)性[12],基于有限元法的子結構技術要求其所建模型具有較多的自由度數(shù)目,否則難以保證模型的精度。狀態(tài)空間方法仍然缺乏處理大規(guī)模系統(tǒng)的能力,需要采用子結構技術先進行一次降階[2]。

等幾何方法[8]是一種基于非均有理B樣條基函數(shù)的數(shù)值方法,主要實現(xiàn)了幾何模型與分析模型的一致表達,已經(jīng)廣泛應用于工程問題的優(yōu)化,結構的強度、振動分析[9],流體分析[10-11]和電磁分析等領域。在轉子動力學領域,文獻[12]研究了歐拉-伯努利梁的自由振動,與有限元方法對比,說明等幾何方法精度高,且其頻率譜連續(xù);文獻[13]分析了Timoshenko梁的自由振動,成功避免了振動分析中剪切自鎖現(xiàn)象;文獻[14]分析了各類邊界條件下方形Timoshenko梁的自由振動,發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格k細分方法得到的結果最好,即在較少單元數(shù)目和基函數(shù)階次下可得到更高精度;文獻[15]提出了一種超收斂等幾何方法,并用于歐拉梁的振動問題;文獻[16]采用等幾何方法建立非線性幾何歐拉梁模型。

由于等幾何方法具有得到精度高且階數(shù)低的梁模型特性,本文提出采用等幾何方法獲得低階Timoshenko轉子模型以替代由有限元模型并進行模型縮減后所得模型,由此可以把低階等幾何Timoshenko轉子模型直接用于柔性轉子的控制器設計。所得模型可以根據(jù)需要實時調(diào)整物理參數(shù),特別是像轉子轉速等實時變化的物理參數(shù)。數(shù)值分析中的邊界條件對應于控制領域中的輸入信號,為了能使其在主動控制中運用,本文將各類主動控制中可能用到的邊界條件進行了整理和推導,并將數(shù)值解與理論解進行對比,驗證所建模型的正確性。最后,進行了在高、低階等幾何Timoshenko梁模型下的奇異值響應分析,并采用磁懸浮軸承支撐轉子,考慮分布質量不平衡,分別進行了分散PD控制仿真,通過對比仿真結果,初步驗證該模型用于主動控制的可行性。

1 等幾何Timoshenko梁建模

1.1 微分方程

假設梁微小變形且不考慮扭轉變形、軸向變形的前提下,對于變截面均質對稱圓形截面Timoshenko梁-軸,不失一般性,令其中性軸位于z軸,且z∈(0,L),控制方程的微分形式[16]如下

(1)

式中:ux(z,t)、uy(z,t)為中性軸橫向位移分布;φx(z,t)、φy(z,t)為截面轉角分布;fx(z,t)、fy(z,t)為分布載荷力;mx(z,t)、my(z,t)為分布載荷力矩;A(z)為橫斷截面面積;Ix(z)、Iy(z)為截面慣性矩;Ip(z)為極慣性矩;ρ為材料的密度;E為材料的彈性模量;G為材料的剪切模量;μ為梁的剪切修正系數(shù);Ω為轉子工作轉速;L為轉子長度。

1.2 半離散等幾何Timoshenko梁模型

與標準有限元相比,等幾何單元采用非均有理B樣條基函數(shù)作為插值基函數(shù),本文采用B樣條作為等幾何單元的插值基函數(shù)。式(1)的變分形式可直接采用伽遼金(Galerkin)方法推導得到。本文在采用等幾何方法時,僅對空間進行離散,保持時間域連續(xù),可得到半離散動力學模型。由于篇幅所限,關于等幾何方法的詳細介紹可以參考文獻[9],這里僅列出最后的半離散模型

(2)

式中:M、G、K分別為4n×4n總質量矩陣、總陀螺矩陣和總剛度矩陣;F為4n×1廣義力向量矩陣。

(3)

式中:W=diag(n(ξ),n(ξ),n(ξ),n(ξ)),n(ξ)為p次B樣條的n個基函數(shù)組成的假設模態(tài)列向量,可表示為

其中B樣條基函數(shù)Ni,p(ξ)的定義方法可參考文獻[18]。本文采用k型網(wǎng)格細分方法[14],等幾何單元數(shù)目ne、基函數(shù)數(shù)目n以及基函數(shù)階次p滿足以下關系式n=ne+p。

2 邊界條件處理

為了便于將等幾何梁模型用于柔性轉子的主動振動控制,本文整理和推導了在振動控制、分析方面可能用到的邊界條件。邊界條件主要考慮了齊次邊界條件,包括簡支、固持、導向、自由、拉伸彈簧、抗彎彈簧等6種邊界條件,還有轉子上的集中廣義力、集中廣義質量單元、彈簧阻尼單元以及不平衡分布質量引起的不平衡力非齊次邊界條件。

2.1 齊次邊界條件

齊次邊界條件是幾何、力邊界條件的組合,如表1所示。位移和轉角邊界條件對應于有限元中的第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件),力矩邊界條件對應第二類邊界條件(Neumann邊界條件),力邊界條件為第三類邊界條件(Robin邊界條件),它們的處理方法與有限元方法相同。在表1中,k為拉伸彈簧剛度,κ為抗彎彈簧剛度,zp為邊界條件位置,特別地,在轉子兩端,zp=0,L。

表1 齊次邊界條件

2.2 集中的廣義力、質量及彈簧阻尼單元

集中廣義力是轉子振動控制的輸入,首先給出作用梁上在任意位置下徑向廣義力表達式。根據(jù)集中廣義力的位置,可以分為3種情形:①轉子兩端點處;②等幾何單元兩端點處;③等幾何單元兩端點間。經(jīng)過推導,等幾何坐標下任意位置的廣義力F都可以表示成

(4)

(5)

梁上的集中質量、慣量可以做為外力引入到力學模型中去,結合式(5)有

(6)

式中

(7)

將式(6)、式(7)代入式(5),分別有

(8)

(9)

2.3 分布不平衡力

分布不平衡力由不平衡質量引起。假設質量偏心的幅值沿軸向分布為e(z),初始相位為0,則轉速恒定條件下分布不平衡力為

(10)

根據(jù)式(4),對式(10)積分,則有

(11)

則由分布不平衡質量引起的不平衡力矩陣為

3 算例驗證

以下從兩個方面來驗證等幾何建模方法所得到的轉子模型用于柔性轉子控制的可行性:一是通過奇異值分析對比低階模型與高階模型的差異,并且在簡支條件下進行模型對比驗證;二是假設Timoshenko轉子采用電磁軸承支撐,考慮轉子的分布質量不平衡,將所得的低階、高階等幾何Timoshenko轉子模型與電磁軸承力學模型一起采用PD控制算法進行控制仿真,并比較兩者差異。

3.1 狀態(tài)空間模型及轉子參數(shù)

令

結合式(3)、式(5),得到式(2)的狀態(tài)空間方程

(12)

式中

式(12)通過拉普拉斯變換得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

G(s)=C(sI-A)-1B

(13)

本文所采用的Timoshenko轉子主要參數(shù)見表2。

3.2 奇異值分析

奇異值分析可以得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)隨頻率變化的奇異值響應。給定傳遞函數(shù)的奇異值具有唯一性,因此可用來刻畫系統(tǒng)降階前后輸入、輸出響應的逼近程度。先將s=jω代入所得傳遞函數(shù)矩陣式(13),再進行奇異值分解可得到奇異值響應函數(shù)。

表2 Timoshenko轉子參數(shù)

注:帶有“#”的參數(shù)由不帶“#”的參數(shù)計算得到。

Timoshenko轉子兩端在x、y方向上都有拉伸彈簧以及拉伸阻尼器,且輸入廣義力的位置以及廣義位移觀測位置也都在轉子兩端。拉伸彈簧剛度系數(shù)為2×106N/m、拉伸阻尼器阻尼系數(shù)為1×103kg/s,其他參數(shù)見表2。使用的等幾何單元數(shù)量ne分別為2和32,B樣條基函數(shù)階次p=8。該轉子系統(tǒng)的奇異值響應函數(shù)曲線如圖1所示。

圖1 高階、低階轉子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的奇異值響應

從圖1中可以看出,當?shù)葞缀螁卧獢?shù)目取為32和2、基函數(shù)階次取為8時,即式(2)的階數(shù)分別為160和40,系統(tǒng)傳遞函數(shù)的奇異值響應在頻率小于3 000 rad/s范圍內(nèi)差異很小。采用等幾何方法對該模型進行有阻尼模態(tài)分析(ne=32,p=8),可得到Campbell圖,從而得到轉子前6階臨界轉速,分別為123.76、418.40、736.40、1 110.2、1 748.7、2 722.5 rads-1。3 000 rad/s已超過轉子系統(tǒng)的第6階臨界轉速,所以研究前幾個低階模態(tài)頻率范圍內(nèi)的問題時,直接使用等幾何Timoshenko轉子模型作為控制模型是可行的。

3.3 模型驗證

通過對比轉子模態(tài)頻率的數(shù)值解與理論解,以驗證所建立等幾何Timoshenko梁模型的準確性,采用模型參數(shù)如表1所示,邊界條件為兩端簡支。

等截面Timoshenko梁在兩端簡支條件下無量綱ω*模態(tài)頻率滿足下式[17]

(14)

式中

i∈N*;ω0=(π/L)2(EIy/(ρA))1/2

ω*=ω/ω0;Ω*=Ω/ω0

由式(2)、式(14)可分別得到無量綱模態(tài)頻率的數(shù)值解(ne=32,p=8)和理論解,其中前10階前向無量綱模態(tài)頻率如表3所示,兩者相對誤差絕對值最大為1.52×10-11。表4為高、低階等幾何Timoshenko梁模型的前6階前向無量綱模態(tài)頻率的數(shù)值解比較,前4階誤差在0.2%以內(nèi),但第5、6階相對誤差分別達到了6.42%與10.8%?？梢?低階等幾何Timoshenko模型的準確性在前4階彎曲模態(tài)頻率范圍內(nèi)的精度可以保證。若要求得更高的控制精度,則應通過模態(tài)截斷等方法獲得更高精度的低階等幾何Timoshenko模型。

表3 前10階無量綱前向模態(tài)頻率的數(shù)值解與理論解

注:加粗數(shù)值為2種解的不同部分。

3.4 理想PD控制仿真

Timoshenko轉子采用一對相同的主動徑向磁懸浮軸承(AMB)支撐Timoshenko轉子,磁懸浮軸承采用分散重合PID控制,即每個磁懸浮軸承的x、

表4 高、低階模型無量綱前向模態(tài)頻率的

y方向的電磁力都用單通道PID控制,共4個通道。為方便考察高、低Timoshenko梁模型在相同控制下的差異,本文不考慮非并置問題和重力效應,采用可行的最簡單控制方法,作出如下設置:①傳感器軸向位置與磁懸浮位置相同,都在轉子兩端;②不考慮轉子重力影響;③PID控制采用最簡單的理想PD控制器。磁懸浮系統(tǒng)的控制原理如圖2所示。磁懸浮軸承的電磁力采用線性化模型

Fx=-Ksx+Kiix;Fy=-Ksy+Kiiy

(15)

式中:位移剛度Ks=-2 MN/m;電流剛度Ki=250 N/A。

圖2 磁懸浮軸承-轉子系統(tǒng)反饋控制框圖

假設簡化的功率放大器、傳感器傳遞函數(shù)為

P(s)=KPA;S(s)=Ksen

(16)

式中:功率放大器直流增益KPA=1 A·V-1;位移傳感器直流增益Ksen=7 800 V/m。

采用的理想PD控制器

C(s)=KP+KDs

(17)

式中:比例放大系數(shù)KP=2.051 3;微分系數(shù)KD=5.128 2×10-4。

比例放大系數(shù)KP使得磁軸承的等效剛度為K=2 MN/m,而微分系數(shù)KD使得磁軸承的等效阻尼為C=1 000 kg/s,此時磁懸浮軸承仍可看成拉伸彈簧-阻尼組合單元。

假設轉子有恒定工作轉速Ω,亞臨界轉速取第一階臨界轉速的一半,超臨界轉速分別取相鄰臨界轉速的算術平均值,如表5所示。

以分布不平衡質量引起的不平衡力作為擾動源,假設式(10)中的x、y方向上的偏心沿z軸分布ex(z)、ey(z)分別為

(18)

(a)Ω=61.880 rad/s

(b)Ω=271.080 rad/s

(c)Ω=577.265 rad/s圖3 高階轉子模型0.5 s內(nèi)不同轉速下轉子跨中橫截面形心軌跡

以式(17)的PD算法作為磁懸浮軸承的控制策略,假設在轉子初始位移、速度均為0的條件下,分別以高、低階等幾何Timoshenko梁模型作為被控對象,得到了0.5 s內(nèi)轉子跨中截面的形心軌跡以及在x、y軸方向上的位移隨時間的響應偏差曲線,其中高階等幾何Timoshenko梁模型對應ne=32、p=8,低階模型對應于ne=2、p=8。以高階模型為例,3種不同工作轉速下0.5 s內(nèi)轉子跨中截面的形心軌跡如圖3所示,ux、uy分別為x、y方向上的位移。從圖中可以看出:截面形心軌跡在某一方向上有最大幅值,且隨工作轉速增加而增大;0.5 s內(nèi)亞臨界工作轉速下的幅值最大方向與超臨界轉速條件下明顯不同。

在高、低階等幾何Timoshenko梁模型條件下,轉子在3種工作轉速時x、y方向上位移響應偏差d曲線見圖4。由于采用的模型階數(shù)不同,因此可以反映高、低階等幾何Timoshenko梁模型的偏離程度。如圖4所示,除在起始階段誤差曲線呈不規(guī)則振動外,后續(xù)時刻曲線呈類似周期性波動,波動周期隨工作轉速增加而減小,后續(xù)曲線的最大波動幅值隨工作轉速增加而增大。6種工作轉速下x、y方向上平均波動頻率(ω=2π/T,T為平均波動周期)及最大位移波動幅值xm、ym如表5所示,平均波動周期由y方向誤差曲線的波峰得到。從表5中可以看出:在誤差允許條件下,平均波動頻率與轉子工作轉速相一致,最大相對誤差為0.36%;x、y方向的位移波動幅值隨工作轉速增加而增大,但幅值始終很小。因此,采用低階等幾何Timoshenko梁模型得到的不平衡振動位移穩(wěn)態(tài)響應與高階模型下的穩(wěn)態(tài)響應偏差很小,在控制中可看成是工作轉速下的小擾動。

表5 不同工作轉速下位移偏差的波動頻率及幅值

由于不平衡質量引起的振動是一種同頻的強迫振動,所以穩(wěn)態(tài)位移偏差波動頻率與工作轉速相近,轉子振動的穩(wěn)態(tài)解的頻率與強迫振動的頻率一致[18],而高、低階等幾何Timoshenko梁模型下的穩(wěn)態(tài)位移偏差相當于同頻振動的疊加,所以疊加后其穩(wěn)態(tài)振動頻率不變。偏差幅值隨工作轉速增加而增大,這是因為高、低階模型偏差總體隨工作頻率增加而增大。在前6階臨界轉速范圍內(nèi)這種偏差很小(可以從圖1中反應出來),這是高、低階模型下,兩者的穩(wěn)態(tài)位移偏差很小的原因。

(a)Ω=61.880 rad/s

(b)Ω=271.080 rad/s

(c)Ω=577.265 rad/s圖4 高、低階轉子模型下轉子跨中形心在x、y方向上的位移偏差

4 結 論

(1)在簡支條件下,高階等幾何Timoshenko梁模型在前10階模態(tài)頻率范圍內(nèi)具有很高的精度,低階模型在前4階模態(tài)頻率范圍內(nèi)誤差較小,最大相對誤差小于0.2%。

(2)在前6階臨界轉速范圍內(nèi),低階等幾何Timoshenko梁模型與對應的高階模型奇異值頻率響應基本一致。

(3)在以分布質量不平衡力作為擾動、分散PD算法作為磁懸浮軸承仿真控制策略的條件下,高、低階等幾何Timoshenko梁模型下轉子的位移響應頻率與工作頻率最大相對誤差為0.36%,位移波動幅值最大誤差在1.9 nm以內(nèi),由低階等幾何Timoshenko梁模型引起的誤差可看成是工作轉速下的同頻小擾動。

(4)低階等幾何Timoshenko梁模型在前4階模態(tài)頻率范圍內(nèi)能保證模型的精度,該方法所得的低階模型用于振動控制的可行性得到初步驗證,為模型在控制中應用做好鋪墊。

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(編輯 杜秀杰)

Isogeometric Timoshenko Beam Model and Numerical Verification for Active Vibration Control of Flexible Rotor

ZHANG Pengfei,WANG Zhiheng,XI Guang

(School of Energy and Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

A Timoshenko beam model with fewer degrees of freedom (DOFs) by isogeometric analysis method is proposed to be applied to active control of the flexible rotor and is numerically verified. This strategy solves the difficulties in the model from the standard FEM analysis, which cannot be directly employed for controller design due to the more DOFs. The isogeometric beam model with the semi-discrete form and the various boundaries are considered as the input signals in the active control for the rotor, then the singular value responses of the isogeometric beam models with more and fewer DOFs are compared, and the numerical solutions of isogeometric beam models with more and fewer DOFs and theoretic solutions both with simple supports are also compared. The rotor supported by the magnetic bearing and under the disturbances by the given distributing unbalance forces is simulated by the decentralized PD method. The results show that the singular responses of the model with fewer DOFs almost agree with those with more DOFs within the range of the sixth critical speed; the numerical solutions with more DOFs agree well the theoretic solutions within the first ten modal frequencies and the relative error of the first four modal frequencies from the model with fewer DOFs is less than 0.2%; the deviation of the steady displacement responses from the unbalance vibration between the isogeometric models with more and fewer DOFs is small and their steady response deviation can be regarded as the small disturbances with the same frequency at the working speed. The feasibility of applying directly for controller design is verified by the higher accuracy of the fewer DOFs isogeometric beam model within the low frequency range.

isogeometric method; flexible rotor model; Timoshenko beam; vibration control; magnetic bearing

2016-01-15。

張鵬飛(1989—),男,博士生;席光(通信作者),男,教授,博士生導師。

國家自然科學基金資助項目(51236006);中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(XJJ2013002)。

時間:2016-07-14

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160714.1721.014.html

10.7652/xjtuxb201610021

O347.6; TH133.3

A

0253-987X(2016)10-0139-08