輸液管道熱膨脹狀態(tài)下的超臨界振動

李 陽，方 勃

(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

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輸液管道熱膨脹狀態(tài)下的超臨界振動

李 陽，方 勃

(沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽 110136)

應(yīng)用工程實踐中常用的Euler梁模型，研究在熱膨脹作用下，隨著液體流速的加快，輸液管道的屈曲變形和固有頻率的變化情況。通過Hamilton原理推導(dǎo)出輸液管道的曲線平衡位形微分方程，并分析了熱膨脹對輸液管屈曲構(gòu)型的影響。通過伽遼金(Galerkin)離散方法，得到了在熱膨脹作用和液體流速達到超臨界時，輸液管道一階固有頻率的解析解。對比在液體流速達到超臨界時,熱膨脹對輸液管道屈曲變形和一階固有頻率的影響。

超臨界；熱膨脹；非線性振動；頻率

輸液管道的振動在許多工程實踐中都有廣泛的應(yīng)用，如航空宇航工程、核電工程、水利工程、石油工程等諸多工程領(lǐng)域[1-2]。早在1993年P(guān)aidoussis就對懸臂輸液管道進行了非線性振動分析[3]，paidoussis和Semer在1994年分別用微元法和能量法建立了目前比較完善的非線性動力學(xué)模型[4]。倪樵和黃玉盈[5]在2001年利用諧波平衡法分析了非線性約束黏彈性輸液管的動力學(xué)特性。上述研究中，通常假定液體是定常均勻流動的，而在實際工程應(yīng)用中液體流速有時會隨著時間的變化而改變，并且當(dāng)輸液管道的液體流速超過臨界值時，就會引起管道的靜力屈曲，即發(fā)生屈曲失穩(wěn)[6-8]。荊紅英、金基鐸[9]等人在2009年計算了一端固定具有中間支承輸液管道的臨界流速問題，并分析了其穩(wěn)定性。Holmes[10-11]采用中心流型定理研究了四維空間系統(tǒng)，指出平衡位形的不穩(wěn)定屬于屈曲失穩(wěn)，并證明了支承輸液管不會顫振。但在很多工程實踐中，輸液管道的工況不同同樣會引起輸液管道的振動，其中溫度變化影響輸液管道的振動是近幾年被國內(nèi)外學(xué)者廣泛研究和討論的，如太陽帆板內(nèi)薄壁管結(jié)構(gòu)在繞過地球陰影受到太陽輻射時的溫度變化問題[12-14]，吳曉和張龍庭等人[15]以KBM法為基礎(chǔ)，引進諧波平衡觀點來對彈性直桿在熱膨脹狀態(tài)下進行非線性振動分析，Qian，Wang 和 Ni[16]在2009年對兩端簡支輸液管道在熱載荷作用下進行不穩(wěn)定分析。

本文結(jié)合工程實際應(yīng)用，在繆旭，金基鐸[17]等人對輸流管道的超臨界固有頻率問題分析的基礎(chǔ)上，研究了在均勻溫度場影響下，液體速度達到臨界值時，輸液管道的屈曲變形和固有頻率的變化情況，并通過對比有無熱膨脹影響來分析輸液管的非線性振動特性。

1 運動微分方程

如圖1，采用了工程實踐中常用的Euler梁來建立兩端簡支的輸液管道模型。其中主梁長度為L,單元長度管道的質(zhì)量為m,抗彎剛度為EI，不可壓縮流體單位質(zhì)量為M,流體軸向流速為U，通流截面的面積為A,熱管壁厚為h，熱膨脹系數(shù)為α，均勻增加的溫度ΔT作用于輸液管道上。

首先要考慮彎曲變形對軸向力和熱膨脹的影響，根據(jù)能量原理可得輸液管道的勢能為

(1)

(2)

其中αEAΔT為熱軸力項，由于溫度均勻增加，所以熱彎矩值為零。由于液體流速達到超臨界，從而忽略溫度變化對輸液管道內(nèi)液體的影響。

管道的動能

(3)

流體的動能

(4)

通過上述方程我們可以利用Hamilton原理

(5)

把方程(1)～(4)代入Hamilton方程(5)中得橫向運動方程

(6)

圖1 輸液管道模型圖

為了簡化方程(6)引入無量綱量

(7)

將方程(7)代入方程(6)中得到簡化后的方程

(8)

為了研究輸液管的靜態(tài)屈曲構(gòu)型，通過方程(8)會有新的平衡解，即橫向位移不依賴于時間，所以η的解滿足如下方程

(9)

上述方程中ψ為熱軸力，與溫度增加量ΔT有關(guān)，ν為液體流速，δ2/ 2 為非線性系數(shù)。

其中ξ為常數(shù)，方程(9)改寫為

η(4)+λ2η″=0

(10)

其中λ2=υ2+φ-ξ

(11)

方程(10)是一個四階常微分方程，通解為

η=C1+C2ε+C3cosλε+C4sinλε

(12)

其中Ci(i=1,2,3,4)是常數(shù),根據(jù)兩端簡支熱管的邊界條件

η(0,τ)=0，η(1,τ)=0，η,εε(0,τ)=0，η,εε(1,τ)=0

(13)

將邊界條件代入常微分方程(10)可得相應(yīng)的λ的特征方程

sinλ=0 或λ=mπ，m=1,2,3…

從而得到輸液管道的靜態(tài)屈曲構(gòu)型表達式

η=Csin(mπε)

(14)

將表達式(14)代入(11)可以得到屈曲振幅C的表達式

(15)

將式(15)代入式(14)中得平衡位形方程

(16)

圖2 兩端鉸支輸液管在ε=0.75,φ=3,δ2/2=1

處一階屈曲構(gòu)型分叉圖

圖2為輸液管道在ε=0.75(四分之三)處的屈曲振幅隨液體流速的變化圖，其中虛線代表的是輸液管道在溫度熱膨脹狀態(tài)下的振幅變化曲線，而實線代表無熱膨脹作用時的振幅變化曲線。通過對比可以看出：無熱膨脹作用下，當(dāng)液體流速達到π時，輸液管的曲線位形從零變?yōu)榉植頎顟B(tài)；即當(dāng)輸液管內(nèi)液體流速達到π時可認為達到臨界狀態(tài)，液體流速超過π為超臨界狀態(tài)。當(dāng)溫度均勻升高產(chǎn)生熱膨脹時，從圖5中可以看出在液體流速未達到π時，輸液管振幅即達到臨界狀態(tài)。

2 熱膨脹狀態(tài)下超臨界固有頻率的解析解

(17)

(18)

將鉸支的邊界條件(13)代入方程(18)得到

(19)

通過Galerkin截斷的方法，將偏微分方程離散成常微分方程組:η(ε,τ)=φ(ε)eiωτ

其中ω是相應(yīng)的自然頻率，將上式代入方程(19)中，并將方程(19)進行Galerkin離散得

(20)

這里φ(ε)=sinλε，其中我們?nèi)ˇ?iπ且i=1，將方程(20)乘以相應(yīng)的摸態(tài)函數(shù)φ(ε),并在(0,1)范圍內(nèi)積分得到

(21)

將振幅C的表達式代入方程(21)可得

(22)

(23)

式(23)為輸液管道在液體流速達到超臨界時的第一階固有頻率的解析式，該固有頻率表達式與液體流速和溫度變化有關(guān)，與非線性系數(shù)無關(guān)。

3 熱膨脹對輸液管道固有頻率的影響

圖3是兩端鉸支輸液管在ε=0.75,φ=1處隨液體流速的加快輸液管道一階固有頻率的變化情況，并且對比了熱膨脹對輸液管道穩(wěn)定性的影響。圖3中虛線代表熱膨脹狀態(tài)下隨液體流速增加輸液管一階固有頻率的變化圖，實線為理想狀態(tài)下(無熱膨脹作用)輸液管一階固有頻率的變化圖，通過對比可以看出熱膨脹對輸液管穩(wěn)定性的影響。隨著溫度的升高，輸液管道的穩(wěn)定區(qū)間會減小，理想狀態(tài)下液體流速達到π時固有頻率由零狀態(tài)發(fā)生屈曲變形，并隨著流速的加快固有頻率呈現(xiàn)指數(shù)增加，即流體流速達到π時固有頻率達到一個臨界點。而當(dāng)溫度均勻增加時，會對輸液管道的固有頻率產(chǎn)生影響從而導(dǎo)致臨界速度點前移。

圖3 熱膨脹作用對超臨界狀態(tài)下一階固有頻率的影響圖

4 結(jié)論

本文研究了熱膨脹狀態(tài)下輸液管液體流速達到超臨界時的非線性振動問題，運用Hamilton原理和Galerkin離散方法解輸液管的非線性微分方程，分析了熱膨脹和液體流速達到超臨界時對輸液管屈曲位形和一階固有頻率的影響。

在本文研究的模型中，通過解輸液管一階固有頻率的表達式，可以得出輸液管一階固有頻率與液體的流速和溫度變化有關(guān)，而與非線性系數(shù)無關(guān)。在輸液管液體流速增加時，輸液管在熱膨脹作用下會提前進入分叉狀態(tài)，即在未達到超臨界速度π時平衡位形就產(chǎn)生了屈曲變形。同理，通過計算輸液管的一階固有頻率，并分析熱膨脹對液體流速增加時的一階固有頻率的影響，得出了在熱膨脹作用下輸液管會提前發(fā)生屈曲變形，并使輸液管的一階固有頻率更早地從零平衡狀態(tài)發(fā)生屈曲變化，并隨著液體流速的增加一階固有頻率增大。

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(責(zé)任編輯：吳萍 英文審校：趙歡)

The super critical vibration of the fluid-conveying pipe in the thermal expansion

LI Yang,FANG Bo

(Faculty of Aerospace Engineering，Shenyang Aerospace University，Shenyang 110136，China)

The paper dealt with the variation on buckling distortion and natural frequency of the fluid-conveying pipe subjected to thermal expansion with the acceleration of the fluid velocity by using Euler beams model applied in engineering practice.The curve equilibrium differential equation of the fluid-conveying pipe was deduced by Hamilton principle,and the buckling deformation of the fluid-conveying pipe under thermal expansion was analyzed.By using the Galerkin Discretization method,the analytical solution to the first-order natural frequency of the fluid-conveying pipe in thermal expansion was obtained when the flow speed of fluid exceeded the critical value.Thermal expansion of the fluid-conveying pipe affected the buckling configurations and the first-order natural frequency of the pipe,which was compared with that of corresponding flow speed of the fluid-conveying pipe reaching the super-critical value.

supercritical;thermal expansion;nonlinear vibration;frequency

2016-09-12

大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室基金(項目編號：GZ15209)

李陽(1990-)，男，遼寧朝陽人，碩士研究生，主要研究方向：:非線性動力學(xué)與結(jié)構(gòu)振動，E-mail：1134797735 @qq.com；方勃(1964-)，男，遼寧沈陽人，教授，主要研究方向:非線性動力學(xué)與結(jié)構(gòu)振動，E-mail:bfang0825@163.com。

2095-1248(2016)05-0024-04

O322

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2016.05.005