分支問題的有限決定性

黃得建 李艷青

(海南熱帶海洋學(xué)院 數(shù)學(xué)系,海南 三亞 572022)

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分支問題的有限決定性

黃得建 李艷青

(海南熱帶海洋學(xué)院 數(shù)學(xué)系,海南 三亞 572022)

利用奇點理論的思想和方法研究了具有平凡解的分支問題．在t-等價群作用下,得到了具有平凡解的分支問題的t-有限決定性的充分條件,并且得到了εx,λ·{x}的εx,λ-子模余維有限的充要條件.

奇點理論；分支問題；等價群；t-有限決定性

0 引言

光滑函數(shù)芽的有限決定性是奇點理論中的一個比較重要的課題.為了將函數(shù)芽的研究由無限維化簡為有限維,其有限決定性的理論顯得非常重要.J.N.Mather[1]研究了關(guān)于群R對光滑函數(shù)芽的有限決定性；P.F.S.Porto[2]提出了光滑函數(shù)芽的相對有限決定性,即光滑函數(shù)芽關(guān)于R的子群的有限決定性；何偉和李養(yǎng)成[3]研究了代數(shù)集上光滑函數(shù)芽的相對有限決定性, L.C.Wilson[4]研究了光滑函數(shù)芽無限決定的充分必要條件,石昌梅,裴東河[5]定義了弱有限決定性和弱無限決定性,給出了函數(shù)芽的弱決定的充要條件.

本文主要應(yīng)用奇點理論的方法,研究了分支問題在t-等價群作用下的有限決定性,給出了具有平凡解的分支問題t-有限決定的充分條件,并給出了εx,λ·{x}的εx,λ-子模余維有限的充要條件. 文中假定映射芽及函數(shù)芽均為光滑的,其它未解釋的概念和記號可參見文獻[6-8].

1 準備知識

將函數(shù)芽f:(R×R,0)→R組成的集合記為εx,λ,其中x是狀態(tài)變量,λ為分支參數(shù),那么εx,λ自然地構(gòu)成環(huán)(也自然地構(gòu)成一個R-代數(shù)). 類似地,函數(shù)芽Λ:(R,0)→R的集合記為ελ．如果g∈εx,λ滿足g(0,0)=gx(0,0)=0,則稱g是一個分支問題．如果分支問題滿足g(0,λ)≡0,?λ∈(R,0),則g稱為具有平凡解的分支問題．易見,所有這樣的分支問題均屬于集合:

εx,λ·{x}={h∈εx,λ|h(x,λ)=f(x,λ)·x,?f∈εx,λ}.

容易證明,εx,λ·{x}是εx,λ的子環(huán),也是εx,λ-模．

引理[7](Nakayama引理)設(shè)A是含幺交換環(huán)(記幺元為1),I是A中的理想并且對于?α∈I,1+α是A中的可逆元,假定M,N是A-模P的子模,M是有限生成的．如果M?N+I·M,則有M?N．

2 主要結(jié)果

證明 由條件,g=fx,根據(jù)Taylor公式,g可以寫作：

由軌道切空間的定義有

=ag+bxgx+cλgλ+tar+tbxrx+tcrλ,

反過來,有

(1)

將(1)式用矩陣表示得

(2)

在(2)式中記

則Λ是εx,λ上的矩陣．因為detΛ=1+α,其中α∈Mx,λ,detΛ(0)=1故Λ是εx,λ上的可逆矩陣．從而,

(3)

根據(jù)文獻[8]中的定理1,有g(shù)～g+tr,t∈[0,1]從而有g(shù)～(jkf)·x．

必要性 假定J余維有限,考慮：

那么

則存在k∈N,使得

所以

因此有

由Nakayama引理可得

[1]Mather J. N. Stability of mappings Ⅲ:finitely determined map-germs [J]. Publ Math IHES,1968, 35:127-156.

[2]Porto P. F., S-Loibel G. F. Relative finite determinacy and relative stability of function-germs [J].Bol Soc Brasil Math, 1978,9(2):1-18.

[3]何偉,李養(yǎng)成.光滑函數(shù)芽的相對有限決定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2008,21(2):277-282.

[4]Wilson L. C. Infinitely determined map germs[J].Can J Math,1981,33(3):671-684.

[5]石昌梅,裴東河. 光滑函數(shù)芽的弱決定性[J].東北師大學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,45(3):1-4.

[6]Golubitsky M., Schaeffer D. G. Singularities and Groups in Bifurcation Theory[M]. Vol.1 Applied Mathematical Sciences51.Springer-verlag,1985 .

[7]李養(yǎng)成.光滑映射的奇點理論[M].北京:科學(xué)出版社,2002.

[8]李艷青,李兵,黃得建.分支問題等價的一個充分條件[J].瓊州學(xué)院學(xué)報,2009,12(2):4-6.

(編校：曾福庚)

The Finite Determinacy Of Bifurcation Probloms

HUANG De-jian, LI Yan-qing

(Department of Mathematics, Hainan Tropical Ocean University,Sanya Hainan 572022,China)

The bifurcation problems with trivial solution are discussed by using the methods in singularity theory. Under the action of thet- equivalent group, a sufficient condition for recognizing such bifurcation problems to bet- finite determinate is obtained. Besides, the necessary and sufficient conditions are proved aboutεx,λ-submodel inεx,λ·{x} with finite codimension.

singularity theory; bifurcation problem; equivalent group; finite determinacy

2015-10-22

瓊州學(xué)院青年教師科研項目(QYQN201519);瓊州學(xué)院青年教師科研項目(QYQN201520)

黃得建(1980-)男,河南太康人,海南熱帶海洋學(xué)院數(shù)學(xué)系講師,碩士,研究方向為偏微分方程.

李艷青(1978-)女,河南武陟人,海南熱帶海洋學(xué)院數(shù)學(xué)系講師,碩士,研究方向為奇點理論及應(yīng)用和微分方程數(shù)值解.

0189.3

A

1008-6722(2016) 02-0010-03

10.1 3307/j.issn.1 008-6722.2 016.02.02