同時考慮公共點新老坐標誤差的三維坐標轉換模型

王阿昊,王解先,陳俊平

(1.同濟大學 測繪與地理信息學院,上海 200092;2.中國科學院上海天文臺,上海 200030;3.上海市空間導航與定位技術重點實驗室,中國科學院上海天文臺,上海 200030)

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同時考慮公共點新老坐標誤差的三維坐標轉換模型

王阿昊1,2,王解先1,陳俊平2,3

(1.同濟大學 測繪與地理信息學院,上海 200092;2.中國科學院上海天文臺,上海 200030;3.上海市空間導航與定位技術重點實驗室,中國科學院上海天文臺,上海 200030)

傳統意義上求解三維坐標轉換的7個參數是基于間接平差模型,僅考慮新坐標系下公共點的誤差。本文在此基礎上,同時考慮老坐標系的公共點誤差,采用附有參數的條件平差模型進行解算,通過實例計算,兩種平差模型所求轉換參數一致。精度分析時,繪制坐標轉換殘差的頻率分布直方圖,新模型的轉換殘差分布的更集中,其分布區(qū)域明顯小于間接平差模型;當公共點個數在3個以上時,新模型的驗后單位權中誤差σ0始終小于間接平差模型,其σ0值約為間接平差模型的1/3到2/3.

坐標轉換;七參數;間接平差;附有參數的條件平差;殘差;驗后單位權中誤差

0 引 言

空間直角坐標轉換廣泛應用于大地測量、攝影測量、GPS測量及工業(yè)測量等領域,在大地測量中,有WGS-84世界大地坐標系、1954北京坐標系、1980西安坐標系及CGCS2000坐標系的相互轉換;在攝影測量領域,建立共線方程及空間后方交會均以空間直角坐標轉換為基礎;隨著GPS及INS技術的發(fā)展,對飛機、汽車等移動載體的姿態(tài)測量成為熱門,任意角度的空間坐標轉換十分重要[1];工業(yè)測量中,大型設備的測量空間大,精度要求高,測量環(huán)境不佳,現一般采用多站位聯合測量,需將各站測量數據轉換到同一坐標系下[2]。

目前,三維坐標轉換常采用七參數法,通過三個以上的公共點,按間接平差模型建立誤差方程,利用泰勒級數展開將模型線性化,然后解算3個旋轉參數、3個平移參數和1個尺度因子,該法將老坐標系下公共點坐標視為無誤差的值,僅考慮新坐標系下公共點的誤差,而實際情況并非如此。本文將同時考慮兩套坐標系下公共點的誤差,采用附有參數的條件平差模型進行解算,以殘差V和驗后單位權中誤差σ0作為精度指標,對兩種方法進行比較。

1 模型表示與精度指標

兩個坐標系下公共點的轉換關系為[3]

(1)

式中: (x0,y0,z0)為平移參數; (α,β,γ)為旋轉參數; λ為尺度因子; R1(α)是把老坐標繞X軸旋轉α角得到的旋轉矩陣; R2(β)是把老坐標繞Y軸旋轉β角得到的旋轉矩陣; R3(γ)是把老坐標繞Z軸旋轉γ角得到的旋轉矩陣。該模型適合任意旋轉角的三維坐標轉換

(2)

(3)

(4)

1.1 間接平差轉換模型

按間接平差模型,對每個公共點列出誤差方程[3]

(5)

式中:vi=(vxivyivzi)T為新坐標系下公共點的轉換殘差。

(6)

式中,偏導數和常數項為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由誤差方程式(6)組成法方程X=(BTPB)-1

1.2 附有參數的條件平差轉換模型

同時考慮新老兩套坐標系下公共點的誤差,函數模型為

(13)

將式(13)按泰勒級數展開,并對所求的7個參數取近似值,利用附有參數的條件平差模型,列出形如AV+CX-W=0的改正數條件方程[4]:

(14)

(15)

1.3 精度指標

2 算例

為了比較兩種三維坐標轉換模型的精度,本文采用實測的29個GPS公共點坐標,按間接平差模型和附有參數的條件平差模型,分別計算從北京54坐標系轉換到WGS-84坐標系的7個轉換參數,兩種計算結果一致,如表1所示。

在兩種模型下,分別計算這29個GPS公共點的坐標轉換殘差,結果如表2所示。

表1 轉換參數

表2 坐標轉換殘差

根據表2結果,繪制兩種模型在新坐標系(WGS-84坐標系)下各個方向上坐標轉換殘差的頻率分布直方圖,如圖1所示,該坐標轉換殘差即為表2中的vx,vy,vz,在統計時各個方向均有29個殘差值進行對比。

圖1 坐標轉換殘差的頻率分布直方圖

由圖1可知,采用附有參數的條件平差模型進行解算,其X方向的坐標轉換殘差在[-3,2]mm,Y和Z方向的轉換殘差分別在[-4,4]mm和[-2,3]mm,與間接平差模型相比,三個方向的轉換殘差分布更集中,且殘差值越小的區(qū)域里,殘差個數分布越多。

為了更全面的分析模型精度,并驗證模型的穩(wěn)定性,現依次選取前5個、10個、15個、20個、25個和全部29個GPS公共點,分別計算其驗后單位權中誤差σ0,統計結果如表3所示。

表3 驗后單位權中誤差

從表3可知,采用附有參數的條件平差模型進行三維坐標轉換,其驗后單位權中誤差明顯小于間接平差模型。公共點數在10個以上時,間接平差模型的σ0最小值為1.22,而附有參數的條件平差模型的σ0最大值僅為0.861 4,其減小幅度明顯。

3 結束語

本文同時考慮新老兩套坐標系下公共點的誤差,建立附有參數的條件平差模型對三維坐標轉換中涉及的7個參數進行解算,該模型適合任意旋轉角的三維坐標轉換。精度分析時,以坐標轉換殘差V和驗后單位權中誤差σ0做精度指標,與間接平差模型的計算結果進行比較,通過算例可得如下結論:

1) 采用附有參數的條件平差模型,其X、Y、Z方向上的坐標轉換殘差明顯小于間接平差模型,且殘差分布區(qū)域更集中。

2) 只要公共點在3個以上,無論其數目多少,附有參數的條件平差模型的驗后單位權中誤差σ0均明顯優(yōu)于間接平差模型,其σ0值約為間接平差模型的1/3到2/3.

[1] 姚吉利.3維坐標轉換參數直接計算的嚴密公式[J].測繪通報,2006(5): 7-10.

[2] 張皓琳,林嘉睿,邾繼貴.三維坐標轉換精度及其影響因素的研究[J].光電工程,2012,(10):26-31.

[3] 王解先,季凱敏.工業(yè)測量擬合[M].北京:測繪出版社,2008.

[4] 王穗輝.誤差理論與測量平差[M].上海:同濟大學出版社,2010.

Three-Dimensional Coordinate Transformation Model by Simultaneously Considering Both Pre-and Post-transforming Coordinate’s Error on Common Sites

WANG Ahao1,2,WANG Jiexian1,CHEN Junping2,3

(1.CollegeofSurveyingandGeo-Informatics,TongjiUniversity,Shanghai200092,China;2.ShanghaiAstronomicalObservatory,ChineseAcademyofScience,Shanghai200030,China;3.ShanghaiKeyLaboratoryofSpaceNavigationandPositioningTechnology,ChineseAcademyofScience,Shanghai200030,China)

Traditional three-dimensional coordinate transformation method, estimates seven transformation parameters,namely the translate, rotation and scale parameter, using conventional least square estimator. It considers only the coordinate error of the common sites in the transformed coordinate system. In fact, station coordinates in both coordinate systems may have errors, and the mis-modelling of such error may lead to bigger uncertainty of the estimated parameters. This paper considers the station coordinates error of the common sites in both systems, and applies the conditional adjustment model for parameter estimation. A local GPS network is used to test the new model. The magnitude distribution histogram of the coordinate transformation residuals shows that the residuals from the new model is more concentrated around zero, and its distribution area is significantly smaller than that of the traditional model. Also, the mean square error of unit weight of the new model is about 1/3 to 2/3 in the order of the traditional model.

Coordinate transformation; seven parameters; parameter adjustment; condition adjustment with parameters; residual; mean square error of unit weight

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.05.012

2016-06-12

P228.4

A

1008-9268(2016)05-0061-05

王阿昊 (1992-),男,碩士生,主要從事衛(wèi)星大地測量方面研究。

王解先 (1963-),男,博士,教授,博士生導師,主要從事衛(wèi)星大地測量方面的研究工作。

陳俊平 (1980-),男,博士,研究員,博士生導師,主要從事衛(wèi)星大地測量研究與應用。

聯系人： 王阿昊 E-mail: bdserwah@#edu.cn