基于壓電作動(dòng)器的空間單軸主動(dòng)隔振研究

邱 煒,朱慶華,李結(jié)凍,施桂國(guó)

(1.浙江大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院,浙江 杭州 310027; 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201109; 3.上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109)

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基于壓電作動(dòng)器的空間單軸主動(dòng)隔振研究

邱 煒1,朱慶華2、3,李結(jié)凍2、3,施桂國(guó)2、3

(1.浙江大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院,浙江 杭州 310027; 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201109; 3.上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109)

對(duì)六自由度空間Stewart隔振平臺(tái)中基于壓電作動(dòng)器的單軸主動(dòng)隔振進(jìn)行了研究。提出了三類標(biāo)準(zhǔn)以衡量隔振性能，其中：第Ⅰ類為載荷端與擾動(dòng)端同量綱振動(dòng)量比；第Ⅱ類為隔振后載荷端的受力與隔振前固連時(shí)載荷受力比；第Ⅲ類為隔振前后振動(dòng)量的衰減狀況。給出了壓電作動(dòng)器的基本方程，并根據(jù)實(shí)際進(jìn)行了數(shù)值修正。建立了線性化的壓電作動(dòng)器單軸隔振系統(tǒng)，采用作動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)總與擾動(dòng)端振動(dòng)分量互補(bǔ)的主動(dòng)隔振策略。討論了速度反饋控制、力反饋控制與代數(shù)環(huán)引入，以及質(zhì)量對(duì)隔振性能的影響。提出了隔振方向和隔振代價(jià)的概念。仿真結(jié)果表明速度反饋和力反饋均能獲得較好的隔振效果。理論分析了隔振方向?qū)Ω粽裥阅芎透粽翊鷥r(jià)的影響。研究為空間Stewart隔振平臺(tái)設(shè)計(jì)提供了理論支持。

六自由度空間Stewart隔振平臺(tái)； 單軸主動(dòng)隔振； 壓電作動(dòng)器； 隔振性能； 衡量標(biāo)準(zhǔn)； 速度反饋控制； 力反饋控制； 隔振方向； 隔振代價(jià)

0 引言

隨著空間技術(shù)的進(jìn)步，航天器的尺寸和結(jié)構(gòu)不斷向大型化、撓性化方向發(fā)展，導(dǎo)致航天器容易受激起振，同時(shí)有效載荷的功能逐漸復(fù)雜、敏感度提升，要求在超靜力學(xué)環(huán)境中工作，因此航天工程對(duì)空間隔振技術(shù)的需求顯得日益迫切。航天器的中高頻微幅隔振大體可分為兩類：一是對(duì)反作用飛輪、控制力矩陀螺群等振源設(shè)備進(jìn)行隔振；二是對(duì)精密相機(jī)、激光通信設(shè)備等敏感載荷進(jìn)行隔振[1-3]。主動(dòng)隔振是一種有源隔振，通過引入次級(jí)可控振源，設(shè)計(jì)控制策略使傳遞到目標(biāo)端的有害振動(dòng)得到衰減[4]。目前，主動(dòng)隔振技術(shù)總體上還處于研究階段，實(shí)際應(yīng)用較少，主要是因?yàn)椋翰煌瑘?chǎng)合隔振需求的多樣性，無統(tǒng)一的解決方案；難以找到同時(shí)具有寬頻帶和大輸出能力(包括力和位移)的作動(dòng)器；智能材料作動(dòng)器的特性和控制有待研究；控制算法實(shí)現(xiàn)過程可能受硬件能力的限制[5-6]。本文以空間中單軸主動(dòng)隔振為研究對(duì)象，對(duì)主動(dòng)隔振的控制策略進(jìn)行了研究，并討論了質(zhì)量對(duì)主動(dòng)隔振效果的影響。

1 隔振衡量標(biāo)準(zhǔn)

在研究振動(dòng)隔離問題時(shí)，應(yīng)先確定描述隔振效果的衡量標(biāo)準(zhǔn)，也稱隔振性能或振動(dòng)衰減比，復(fù)頻域中記為傳遞函數(shù)R(s)。本文研究空間中單軸微幅隔振，如圖1所示。圖中：x1，x2分別為兩端的絕對(duì)位移；fd為施加在擾動(dòng)端M1上的擾動(dòng)力，載荷端M2與M1僅通過隔振元件連接，M2不受其他作用力；f01，f02為隔振元件產(chǎn)生的一對(duì)內(nèi)部作用力，若隔振元件屬輕質(zhì)，則兩者等大反向。

圖1 空間單軸隔振Fig.1 Spaceborne single axis vibration isolation

本文提出以下三類隔振衡量標(biāo)準(zhǔn)。

a)第Ⅰ類：取載荷端與擾動(dòng)端的同量綱振動(dòng)量比為R(s)，有

(1)

式中：i=0，1，2，分別對(duì)應(yīng)零初態(tài)的位移、速度和加速度；X1，X2分別為x1，x2的拉氏變換。注意RI(s)不以Fd(s)為分母，故非真實(shí)傳遞通道，僅是從相對(duì)運(yùn)動(dòng)角度反映隔振效果的一種數(shù)值關(guān)系。

b)第Ⅱ類：取隔振后作用于載荷端的f02與隔振前固連時(shí)的載荷受力對(duì)比，擾動(dòng)力衰減比

(2)

相比第Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn)，RⅡ(s)與系統(tǒng)中一條真實(shí)傳遞通道僅增益系數(shù)有差別，故在主動(dòng)隔振中還可判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。

c)第Ⅲ類：對(duì)比隔振前后某個(gè)或某些振動(dòng)量的衰減狀況綜合衡量隔振性能，是一種較靈活的標(biāo)準(zhǔn)。這非常適于含主動(dòng)元件的隔振系統(tǒng)，比較主動(dòng)控制切換前后系統(tǒng)中多個(gè)振動(dòng)量的變化就可直觀了解隔振系統(tǒng)的性能。但由于隔振前后非同一物理系統(tǒng)，不便給出解析形式的R(s)。

上述三類隔振衡量標(biāo)準(zhǔn)間不存在絕對(duì)的使用界限，從性能指標(biāo)來看三者存在差異，主要表現(xiàn)為衰減程度和諧振峰特征不同。一般，第Ⅲ類最全面、靈活，第Ⅰ、Ⅱ類更注重隔振系統(tǒng)中的細(xì)節(jié)。

2 壓電作動(dòng)器建模

壓電作動(dòng)器基于逆壓電效應(yīng)工作，物理特性較復(fù)雜。作動(dòng)器模型的真實(shí)程度直接關(guān)系隔振仿真效果。本文以壓電理論為基礎(chǔ)，結(jié)合產(chǎn)品級(jí)作動(dòng)器的參數(shù)建立適用于研究的數(shù)值修正模型，提高仿真可靠性。

2.1 壓電作動(dòng)器基本方程

壓電作動(dòng)器由多片壓電材料正反交替堆疊而成，以增大作動(dòng)器行程。單片材料經(jīng)不同方向極化對(duì)應(yīng)不同的壓電效應(yīng)，其中d33效應(yīng)可使產(chǎn)生的應(yīng)力與施加電場(chǎng)同軸向，據(jù)此設(shè)計(jì)推拉式壓電作動(dòng)器[7-8]。根據(jù)壓電理論可用電場(chǎng)強(qiáng)度E和電應(yīng)變?chǔ)琶枋銎潆娞匦裕琩33效應(yīng)的分量形式為

ε=d33E.

(3)

參數(shù)d33表示沿3號(hào)軸的電場(chǎng)對(duì)沿3號(hào)軸的應(yīng)變量的壓電應(yīng)變常數(shù)。令單片壓電材料的厚度為h，截面積為Ap，楊氏模量為Ep，共N片堆疊組成壓電元件，作動(dòng)器整體伸長(zhǎng)量為Δx，電極電壓為u，則由式(3)可得單片壓電材料在形變截面上產(chǎn)生的應(yīng)力

(4)

作動(dòng)器對(duì)外輸出力方向與應(yīng)力相反，有

(5)

f(u,Δx)=Kvu-K0Δx.

(6)

式(6)即作動(dòng)器靜態(tài)模型。添加線性阻尼系數(shù)C0，可得動(dòng)態(tài)模型

(7)

2.2 模型數(shù)值修正

真實(shí)作動(dòng)器特性較復(fù)雜，對(duì)與理論模型偏差較大的兩方面進(jìn)行修正：一是推拉能力的不對(duì)稱性，壓電滯環(huán)效應(yīng)導(dǎo)致作動(dòng)器靜態(tài)推力上限遠(yuǎn)大于拉力上限，而靜態(tài)模型式(6)的推拉能力是對(duì)稱的；二是作動(dòng)器的等效電容[8]。壓電作動(dòng)器需由高壓功率放大模塊驅(qū)動(dòng)，而作動(dòng)器本身是典型的容性負(fù)載，故驅(qū)動(dòng)電路中的RC慣性環(huán)節(jié)不可忽略。

作動(dòng)器的數(shù)值修正以PI Ceramic公司針對(duì)主動(dòng)隔振應(yīng)用設(shè)計(jì)的P-844.10壓電作動(dòng)器為對(duì)象，其參數(shù)為：開環(huán)行程(0～100 V)(153) μm；剛度系數(shù)(22545) N/μm；推/拉力容量參考3 000/700 N；電容(6.01.2) μF；空載諧振頻率(163.2) kHz；質(zhì)量(844.2) g。用開環(huán)行程和剛度系數(shù)可確定理想靜態(tài)力模型式(6)，由Sigmoid函數(shù)根據(jù)推拉力上限對(duì)其進(jìn)行分段光滑限幅修正，有

fsta(u,Δx)=

(8)

(9)

式中：f=33.75u-2.25×108Δx。

式(8)、(9)分別為靜態(tài)力和動(dòng)態(tài)力模型，阻尼系數(shù)C0可由作動(dòng)器等效質(zhì)量、剛度系數(shù)和空載諧振頻率算得。由圖2修正前后的靜態(tài)力模型可知：修正后模型更符合真實(shí)壓電作動(dòng)器的輸出能力。考慮作動(dòng)器在隔振中需提供伸縮位移，工作點(diǎn)選擇工作曲面中間位置(u=50 V，Δx=7.5 μm，f=0處)。應(yīng)注意壓電作動(dòng)器的位移輸出能力有限，若擾動(dòng)力幅值超過一定限度，作動(dòng)器可能會(huì)發(fā)生位移飽和，導(dǎo)致主動(dòng)隔振失效。

圖2 靜態(tài)力模型修正前后對(duì)比Fig.2 Comparison of fsta before and after correction

功放模塊內(nèi)部可視作如圖3(a)所示的等效電路，作動(dòng)器作為容性負(fù)載C接入。根據(jù)6 μF負(fù)載測(cè)試數(shù)據(jù)辨識(shí)出一階傳遞函數(shù)

(10)

式中：Uc為低壓控制信號(hào)；U為作動(dòng)器驅(qū)動(dòng)電壓。

圖3 E-505功放模塊Fig.3 E-505 amplifier

上述作動(dòng)器模型忽略了滯環(huán)、蠕動(dòng)和溫漂等非線性特征，但由于綜合了理論和硬件參數(shù)，有助于提高主動(dòng)隔振控制算法的仿真驗(yàn)證可信度。功放模塊建模中選用PI Ceramic配套產(chǎn)品E-505功率放大模塊，參數(shù)為輸入電壓-2～12 V；輸出電壓-30～130 V；電壓增益(10±0.1)V；噪聲(0～100 kHz)<0.6 mV(rms)[7]。

3 單軸主動(dòng)隔振

基于以實(shí)際產(chǎn)品級(jí)壓電作動(dòng)器為參照建立的作動(dòng)器數(shù)學(xué)模型，討論使用該作動(dòng)器的單軸主動(dòng)隔振。研究中仿真部分采用修正的作動(dòng)器模型以保證其可信度，設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)用式(9)在工作點(diǎn)結(jié)果進(jìn)行線性化，作動(dòng)器等價(jià)于彈簧、阻尼和壓控力發(fā)生器并聯(lián)的結(jié)構(gòu)，擾動(dòng)質(zhì)量M1和載荷質(zhì)量M2分別連接到作動(dòng)器兩端，如圖4所示。

圖4 線性化的壓電作動(dòng)器單軸隔振系統(tǒng)Fig.4 Linearization single axis vibration isolation system

建立該系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

(11)

(12)

將式(12)代入(11)，得閉環(huán)系統(tǒng)

B1Fd(s).

(13)

式中：I為單位陣。

本文主動(dòng)隔振采用如下策略：使作動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)(速度/輸出力)總是與擾動(dòng)端在截止頻率以上的振動(dòng)分量互補(bǔ)，起到低通的隔振效果，即當(dāng)擾動(dòng)端有擠壓趨勢(shì)，作動(dòng)器收縮避讓；當(dāng)擾動(dòng)端有拉伸趨勢(shì)，作動(dòng)器伸長(zhǎng)追隨。常規(guī)PID算法即可實(shí)現(xiàn)該策略，此外可添加高通濾波器調(diào)整隔振截止頻率和低通特性。

反饋回路H(s)為標(biāo)量傳遞函數(shù)，由傳感器、控制器和功放模塊串聯(lián)而成，有

H(s)=Gamp(s)Gc(s)Gm(s).

(14)

對(duì)振動(dòng)的測(cè)量以速度和受力(加速度)為主，兩類傳感器可用二階高通濾波器描述為

(15)

式中：Km為傳感器增益；ζm為阻尼比；ωn為轉(zhuǎn)折頻率。取Km=1，ζm=0.707，ωn由具體傳感器決定。當(dāng)振動(dòng)頻率小于ωm時(shí)測(cè)量輸出迅速衰減，有助于控制器輸出自動(dòng)歸零，盡可能避免作動(dòng)器位移飽和導(dǎo)致隔振失效。

3.1 速度反饋控制

速度反饋中C=[0 0 0 1]，D=0；用檢波器測(cè)量速度，ωm=12.57 rad/s(2 Hz)；M1=50 kg，M2=2 kg，設(shè)計(jì)帶高通濾波的近似微分PID控制器Gc(s)，速度反饋主動(dòng)隔振效果如圖 5～8所示。

圖5 第Ⅰ類隔振性能Bode圖Fig.5 Bode diagram of class Ⅰ isolation

圖6 二次變頻正弦+零均值高斯噪聲擾動(dòng)Fig.6 Double conversion sine and Gaussian noise disturbance with zero mean value

圖7 載荷端加速度對(duì)數(shù)功率譜密度Fig.7 Logarithmic power spectral function of acceleration at load end

圖8 載荷端加速度振幅頻譜Fig.8 Amplitude spectrum of acceleration at load end

擾動(dòng)輸入由二次變頻正弦和零均值高斯噪聲疊加而成：正弦信號(hào)幅值2 N，二次變頻以5 s處20 Hz為對(duì)稱軸，0，10 s處200 Hz為端點(diǎn)；零均值高斯噪聲σ2=1 N2。主動(dòng)隔振在約3.7 s時(shí)起動(dòng)，在此之前系統(tǒng)帶寬很高，載荷端振動(dòng)顯著，隨機(jī)擾動(dòng)在開環(huán)諧振頻率(約1.6 kHz)處被放大；閉環(huán)后中頻衰減在-20 dB以上，高頻衰減達(dá)-50 dB。由圖6、7可知：算法能較好應(yīng)對(duì)時(shí)變復(fù)雜擾動(dòng)。圖5中的高頻尖峰是由近似微分控制形成的。此外由圖6中控制信號(hào)可知：對(duì)相同幅值不同頻率的擾動(dòng)，對(duì)抗低頻擾動(dòng)所需的作動(dòng)器位移范圍更大，故閉環(huán)截止頻率附近是易發(fā)生位移飽和的頻段。

3.2 力反饋控制與代數(shù)環(huán)引入

空間隔振普遍存在振子質(zhì)量大、擾動(dòng)力小的情況，導(dǎo)致加速度、速度的量級(jí)很小，力反饋更便于工程實(shí)現(xiàn)。測(cè)量載荷端受合力作為反饋，則C=[K0C0-K0-C0]，|D|=Kv。

需說明的是，力反饋易引入代數(shù)環(huán)困難。因D非零，且作動(dòng)器是輸出力的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，故回路中形成了控制信號(hào)不經(jīng)慣性環(huán)節(jié)(或時(shí)間常數(shù)極小，<10-6s)直接影響測(cè)量信號(hào)的通道，類似于數(shù)值仿真中的代數(shù)環(huán)。仿真中可通過減小步長(zhǎng)保證收斂，而實(shí)際系統(tǒng)采樣周期不能無限縮小，可能因代數(shù)環(huán)導(dǎo)致作動(dòng)器持續(xù)飽和或滿幅振蕩，即采樣頻率不足導(dǎo)致發(fā)散。用近似微分法設(shè)計(jì)力反饋的近似比例PD控制器

(16)

式中：kp，ki分別為比例和積分系數(shù)；α為近似比例系數(shù)；Ghp(s)為高通濾波環(huán)節(jié)。由上述質(zhì)量參數(shù)，可得不同α的最遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)見表1，第Ⅱ類隔振性能Bode圖如圖9所示。

表1 不同α的最遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)

圖9 不同α?xí)r的第Ⅱ類隔振性能Bode圖Fig.9 Bode diagram of performance Ⅱ with different α

上述結(jié)果表明：隨著α減小至零，雖然隔振能力增強(qiáng)，但閉環(huán)極點(diǎn)中的高頻極點(diǎn)對(duì)迅速遠(yuǎn)離原點(diǎn)，意味著控制周期須同步減小，即代數(shù)環(huán)程度逐漸嚴(yán)重。理論上載荷端受力與速度的測(cè)量信號(hào)只相差1/(M2s)積分環(huán)節(jié)，故速度反饋中微分控制項(xiàng)也存在類似隱患，可通過近似微分的方式緩解其影響。

3.3 質(zhì)量對(duì)隔振效果的影響

不同于常規(guī)地面隔振，空間單軸隔振問題中兩端振子無約束，故須考慮擾動(dòng)端質(zhì)量M1與載荷端質(zhì)量M2的大小關(guān)系，據(jù)此將隔振問題分為三類。

a)大質(zhì)量擾動(dòng)端向小質(zhì)量載荷端的隔振(M1?M2)，稱為正向隔振，如星載激光通信設(shè)備對(duì)星體振動(dòng)的隔離。

b)擾動(dòng)端與載荷端的質(zhì)量較接近(M1≈M2)，稱為不定向隔振，如星載大質(zhì)量成像設(shè)備對(duì)星體振動(dòng)的隔離。

c)小質(zhì)量擾動(dòng)端向大質(zhì)量載荷端的隔振(M1?M2)，稱為反向隔振，如星體對(duì)力矩陀螺或飛輪等振動(dòng)的隔離。

根據(jù)上述分類，取μ=M2/M1作為隔振方向因子，μ?1，μ≈1，μ?1時(shí)分別對(duì)應(yīng)正向、不定向和反向隔振。以力反饋為例，給出閉環(huán)特征多項(xiàng)式Δ(s)和第Ⅰ、Ⅱ類隔振性能RI(s)，RII(s)分別為

Δ(s)=s2{[1-KvH(s)]s2+

(17)

(18)

(19)

為解釋該矛盾，對(duì)質(zhì)量50，2 kg進(jìn)行正、反向隔振仿真，H(s)保持不變，輸入同為幅值0.01 N、頻率10 Hz的正弦擾動(dòng)，所得Ⅰ、Ⅱ類性能Bode圖如圖10所示，正向隔振Ⅲ類性能如圖11所示，反向隔振Ⅲ類性能如圖12所示。由圖可知：正向隔振中控制切換前后擾動(dòng)端振動(dòng)基本不變；反向隔振中振幅劇烈增大，這種負(fù)面影響在RⅠ(s)中恰好形成分子變小分母變大效果，造成RⅠ(s)性能提升的誤判，故第Ⅰ類隔振衡量標(biāo)準(zhǔn)只適于正向隔振。此外正向隔振中作動(dòng)器的動(dòng)作幅度遠(yuǎn)小于反向隔振，后者甚至出現(xiàn)作動(dòng)器飽和導(dǎo)致主動(dòng)隔振短時(shí)失效。因此，在作動(dòng)器行程范圍內(nèi)反向隔振能對(duì)抗的擾動(dòng)幅值范圍遠(yuǎn)小于對(duì)應(yīng)的正向隔振。

圖10 Ⅰ，Ⅱ類性能Bode圖Fig.10 Bode diagram of performance Ⅰ and Ⅱ

圖11 正向隔振Ⅲ類性能Fig.11 Performance Ⅲ of forward vibration isolation

圖12 反向隔振Ⅲ類性能Fig.12 Performance Ⅲ of backward vibration isolation

考慮RⅡ(s)也未體現(xiàn)擾動(dòng)端的激振，計(jì)算擾動(dòng)端受合力在隔振前后的對(duì)比。稱為隔振或衰減代價(jià)，其幅頻特性總大于0 dB，正向隔振全頻段略高于0 dB；反向隔振在截止頻率之上遠(yuǎn)高于0 dB。有時(shí)工程中并不希望這種負(fù)面影響，如擾動(dòng)端有高速轉(zhuǎn)子的姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，長(zhǎng)期附加振動(dòng)將影響軸承壽命。在實(shí)際應(yīng)用(特別是反向隔振)中應(yīng)結(jié)合RⅡ(s)，Rc(s)共同衡量隔振性能。

(20)

4 結(jié)束語

本文對(duì)六自由度空間Stewart隔振平臺(tái)中單軸主動(dòng)隔振進(jìn)行了研究，提出了三類隔振衡量標(biāo)準(zhǔn)，建立壓電作動(dòng)器數(shù)值修正模型，設(shè)計(jì)主動(dòng)隔振策略并以速度和力反饋分別實(shí)現(xiàn)。提出了隔振方向和隔振代價(jià)的概念，為后續(xù)設(shè)計(jì)六自由度空間Stewart隔振平臺(tái)提供了理論參考。

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Spaceborne Single Axis Active Vibration Isolation Based on Piezoelectric Actuator

QIU Wei1, ZHU Qing-hua2, 3, LI Jie-dong2, 3, SHI Gui-guo2, 3

(1.College of Control Science and Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, Zhejiang, China; 2. Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology, Shanghai 201109, China；3. Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology, Shanghai 201109, China)

The single axis active vibration isolation on the spaceborn Stewart vibration isolation platform with six degree of freedom was studied based on piezoelectric actuator in this paper. Three kinds of measurement standards were put to evaluate isolation performance. Among those, the first one was ratio of vibration quantities at the payload end to disturbance end with the same dimension, and the second one was ratio of force at the payload end after isolation to force while being mounted before isolation, as well as the third one was attenuation of vibration quantity before and after isolation. The general equation of piezoelectric actuator was given and was modified according to the real situation. The linearization single axis vibration isolation system based on piezoelectric actuator was established. The active vibration isolation strategy was adopted in which the actuator motion was always matched the vibration at disturbance end. The velocity feedback control, force feedback control and algebraic loop leading in, and effects of mass on the isolation performance were discussed. The concept of reduction direction and reduction cost were put forward. The simulation results showed that good isolation performance would be obtained through velocity feedback and force feedback. The influence of reduction direction on both reduction performance and reduction cost was analyzed theoretically. The study provides some reference for designing spaceborne Stewart vibration isolation platform.

Spaceborne Stewart vibration isolation platform with six degree of freedom; Single axis active vibration isolation; Piezoelectric actuator; Isolation performance; Measurement standard; Velocity feedback control; Force feedback control; Reduction direction; Reduction cost

1006-1630(2016)05-0029-07

2015-08-20；

2015-12-20

邱 煒(1990—)，男，碩士，主要研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)及軌道控制。

V414.33

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.05.005