梅森素數(shù)為何“火爆”全球

林遠

梅森素數(shù)為何“火爆”全球

林遠

目前世界上有190多個國家和地區(qū)近70萬人，參加了一個名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”（GIMPS）的國際合作項目，并動用了超過136萬個中央處理器（CPU）參與這一項目的計算。因此，僅從人力、物力方面來說，梅森素數(shù)的探究已足夠“火爆”。這在數(shù)學(xué)史上是前所未有的，在科學(xué)史上也是極為罕見的。

梅森素數(shù)的由來

2300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在名著《幾何原本》中就已經(jīng)證明素數(shù)有無窮多個，如2、3、5、7、11等等；同時他提出一些素數(shù)可寫成“2^P-1”（其中指數(shù)P也是素數(shù)）的形式。而這種特殊形式的素數(shù)，具有獨特的性質(zhì)和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家（包括數(shù)學(xué)大師費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、圖靈等）和無數(shù)的業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者對它進行探究。

17世紀的法國數(shù)學(xué)家、法蘭西科學(xué)院的奠基人馬林·梅森（Marin Mersenne）對“2^P-1”型的素數(shù)做過較為系統(tǒng)且深入的探究。為了紀念他，數(shù)學(xué)界就將這種素數(shù)稱為“梅森素數(shù)”（Mersenne Prime）。

迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)49個梅森素數(shù)。這種素數(shù)稀奇而迷人，故被人們稱為“數(shù)海明珠”。尤其近百年來，人們發(fā)現(xiàn)的“超大素數(shù)”幾乎都是梅森素數(shù)。

難度極大的探究

梅森素數(shù)貌似簡單，但當(dāng)指數(shù)P值較大時，其素性檢驗的難度就會很大；它的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。

1772年，享有“數(shù)學(xué)英雄”美譽的瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉在雙目失明的情況下，利用優(yōu)化的試除法，靠心算證明了2^31-1（即2147483647）是個素數(shù)。該素數(shù)是第8個梅森素數(shù)，堪稱當(dāng)時世界上已知的最大素數(shù)。歐拉的毅力與技巧都令人贊嘆不已，難怪法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯向他的學(xué)生們說：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師?！?/p>

為了尋找下一個梅森素數(shù)，俄國數(shù)學(xué)家伊凡·波佛辛（Ivan Pervushin）花了近20年的時間和精力，最后利用“盧卡斯定理”，于1883年證明了2^61-1（即2305843009213693951）是第9個梅森素數(shù)。在“手算筆錄”的年代，人們歷盡艱辛去探究梅森素數(shù)，但只找到12個。

計算機助力尋找

電子計算機的出現(xiàn)，大大加快了尋找梅森素數(shù)的步伐。1952年，美國加州大學(xué)洛杉磯分校的數(shù)學(xué)家拉斐爾·魯賓遜（Raphael Robinson）將著名的“盧卡斯-萊默檢驗法”編譯成計算機程序，使用大型計算機在不到一年內(nèi)就找到了5個梅森素數(shù)：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。

1963年9月6日晚上8點，當(dāng)?shù)?3個梅森素數(shù)2^11213-1通過大型計算機被找到時，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節(jié)目播放，在第一時間發(fā)布了這一重要消息。而發(fā)現(xiàn)這一素數(shù)的美國伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生感到無比驕傲，為讓全世界都分享這一成果，以至把所有從系里發(fā)出的信封都蓋上了“2^11213-1是個素數(shù)”的郵戳。

隨著指數(shù)P值的增大，每一個梅森素數(shù)的產(chǎn)生都艱辛無比，而科學(xué)家及業(yè)余研究者們?nèi)詷反瞬黄?，競爭激烈。例如，?979年2月23日，當(dāng)美國克雷研究公司的計算機專家戴維·史洛溫斯基（David Slowinski）和哈利·納爾遜（Harry Nelson）宣布他們找到第26個梅森素數(shù)2^23209-1時，有人告訴他們：在兩星期前，美國加州的高中生蘭登·諾爾（Landon Noll）就已經(jīng)給出了同樣結(jié)果。為此他們發(fā)憤忘食，又花了一個半月的時間，使用超級計算機找到了新的更大的梅森素數(shù)2^44497-1。

靈機一動見曙光

人們在尋找梅森素數(shù)的同時，對其重要性質(zhì)——分布規(guī)律的研究也一直在進行著。由于梅森素數(shù)的分布時疏時密、極不規(guī)則，因此探究梅森素數(shù)的分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素數(shù)更為困難。雖然英、法、德、美等國的數(shù)學(xué)家曾給出過關(guān)于梅森素數(shù)分布的猜測，但他們的猜測都有一個共同點，就是以近似表達式給出，其結(jié)果與實際情況的接近程度難如人意。

中國數(shù)學(xué)家、語言學(xué)家周海中1976年在廣東雷州半島當(dāng)“下鄉(xiāng)知青”時就開始探究梅森素數(shù)的分布規(guī)律。因當(dāng)時這方面的資料十分匱乏，加之沒有計算機，所以其探究在初期就困難重重，有過無數(shù)次的失敗，但他并不氣餒。有一天，他在閱讀一本關(guān)于法國數(shù)學(xué)大師費馬的書時，突然想到了“費馬數(shù)”的形式，這為他日后解決難題找到了突破口。

經(jīng)過多年的不懈努力，周海中終于在1992年發(fā)現(xiàn)梅森素數(shù)的分布規(guī)律，并給出了它的精確表達式。后來這項重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格（Atle Selberg）認為：周氏猜測具有創(chuàng)新性，開創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法；其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。

網(wǎng)格技術(shù)顯身手

1996年初，美國數(shù)學(xué)家、計算機專家喬治·沃特曼（George Woltman）編寫了一個尋找梅森素數(shù)的計算程序，并把它放在網(wǎng)上供數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者免費使用。它就是舉世聞名的GIMPS項目，也是全世界第一個基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)格計算項目。人們只要從該項目下載開放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以馬上尋找梅森素數(shù)了。

為了激勵人們尋找梅森素數(shù)和促進網(wǎng)格技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國的“電子前沿基金會”（EFF）于1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項目來尋找梅森素數(shù)而設(shè)立的“協(xié)同計算獎”。它規(guī)定向第一個找到超過1000萬位數(shù)的個人或機構(gòu)頒發(fā)15萬美元。其實，絕大多數(shù)研究者參與該項目不是為了金錢而是出于好奇心、求知欲和榮譽感。

2008年8月23日，美國加州大學(xué)洛杉磯分校的計算機專家埃德森·史密斯（Edson Smith）首先發(fā)現(xiàn)超過1000萬位的梅森素數(shù)——2^43112609-1，該素數(shù)有12978189位；他也因此獲得了EFF頒出的大獎。這一重大成就，被著名的《時代》周刊評為“2008年度50項最佳發(fā)明”之一。

今年1月7日，美國密蘇里中央大學(xué)的數(shù)學(xué)家柯蒂斯·庫珀（Curtis Cooper）通過參與GIMPS項目，找到了目前人類已知的最大素數(shù)2^74207281-1。該素數(shù)是第49個梅森素數(shù)，有22338618位數(shù)，如果用普通字號將它連續(xù)打印下來，其長度可達100公里！

20年來人們通過GIMPS項目找到了15個梅森素數(shù)，其發(fā)現(xiàn)者來自美國（9個）、德國（2個）、英國（1個）、法國（1個）、挪威（1個）和加拿大（1個）。

梅森素數(shù)的意義

梅森素數(shù)在當(dāng)代具有重大的意義。它是發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的最有效途徑，其探究推動了“數(shù)學(xué)皇后”——數(shù)論的研究，促進了計算技術(shù)、密碼技術(shù)和程序設(shè)計技術(shù)的發(fā)展。

此外，梅森素數(shù)還有實用價值，它可以用來發(fā)現(xiàn)計算機系統(tǒng)或程序中存在的問題。早在上世紀90年代，克雷公司、蘋果公司、英特爾公司等就利用梅森素數(shù)來測試計算機的功能。最近德國一名GIMPS項目參與者發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)诹鶦ore處理器Intel Skylake在執(zhí)行Prime95應(yīng)用來搜索梅森素數(shù)時，運算到指數(shù)P=14942209就出現(xiàn)了觸發(fā)系統(tǒng)死機的漏洞（bug）。

難怪許多科學(xué)家認為，梅森素數(shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數(shù)學(xué)協(xié)會主席馬科斯·索托伊（Marcus Sautoy）甚至認為，它的研究進展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標(biāo)志，而且是整個科技發(fā)展的里程碑之一。也許這也是梅森素數(shù)的探究極為“火爆”的原因之一吧。

編輯 / 錢敏rmzkqm@163.com