空間索網(wǎng)天線(xiàn)展開(kāi)遞推動(dòng)力學(xué)建模方法研究

劉付成,孫宏麗,朱東方,孫 俊

(1.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201109; 2.上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109)

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空間索網(wǎng)天線(xiàn)展開(kāi)遞推動(dòng)力學(xué)建模方法研究

劉付成1、 2,孫宏麗1、 2,朱東方1、 2,孫 俊1、 2

(1.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201109; 2.上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109)

針對(duì)大型空間可展開(kāi)天線(xiàn)自由度多、非線(xiàn)性強(qiáng)特點(diǎn)，為對(duì)其展開(kāi)實(shí)施有效控制，提出一種周邊桁架空間機(jī)構(gòu)的多自由度系統(tǒng)快速遞推建模方法。用有限段方法處理?xiàng)U件彈性部分，用等效力矩代替腹桿的驅(qū)動(dòng)和鎖定作用，將周邊桁架雙重閉環(huán)構(gòu)型等價(jià)為鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng)。對(duì)索網(wǎng)大型天線(xiàn)用空間算子代數(shù)遞推建模，求解動(dòng)力學(xué)響應(yīng)可模擬獲得天線(xiàn)變形的運(yùn)動(dòng)和所需各驅(qū)動(dòng)力矩。數(shù)值算例中獲取了加速段和減速段關(guān)節(jié)空間的角位移和角速度，以及關(guān)節(jié)空間驅(qū)動(dòng)力矩。研究表明該法是一種高精度、高效率的動(dòng)力學(xué)遞推建模方法，可適于大型可展開(kāi)機(jī)構(gòu)的快速計(jì)算，對(duì)實(shí)際工程中天線(xiàn)展開(kāi)的參數(shù)設(shè)計(jì)和力學(xué)分析有一定的指導(dǎo)意義。

空間索網(wǎng)天線(xiàn)； 展開(kāi)過(guò)程； 等效力矩； 周邊桁架雙重閉環(huán)構(gòu)型； 鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng)； 空間算子代數(shù)； 角位移； 角速度； 空間驅(qū)動(dòng)力矩

0 引言

隨著航天任務(wù)多樣化，星載大型桁架式網(wǎng)狀拋物面天線(xiàn)是滿(mǎn)足移動(dòng)通信、對(duì)地遙感和深空探測(cè)等空間應(yīng)用的關(guān)鍵設(shè)備。這種天線(xiàn)質(zhì)量小、強(qiáng)度高，在空間展開(kāi)式天線(xiàn)領(lǐng)域也有廣闊的發(fā)展前景[1]。展開(kāi)過(guò)程動(dòng)力學(xué)分析是空間可展結(jié)構(gòu)研究的關(guān)鍵之一，但其幾何拓?fù)潢P(guān)系復(fù)雜，桿件和節(jié)點(diǎn)多，機(jī)構(gòu)自由度多，若用經(jīng)典多體力學(xué)理論分析桁架結(jié)構(gòu)的展開(kāi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，未知量多、建模復(fù)雜、效率低[2-3]。另由于彈性的存在，彈性變形成為不可忽略的因素，與整體的剛性大位移存在強(qiáng)耦合，使展開(kāi)過(guò)程的動(dòng)力特性十分復(fù)雜，對(duì)其展開(kāi)過(guò)程的控制涉及振動(dòng)、軌跡、展開(kāi)速度控制等多方面[4]。文獻(xiàn)[5]基于多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)Lagrange方法，采用廣義坐標(biāo)法并考慮耗散力、鉸鏈處扭簧的驅(qū)動(dòng)力及索網(wǎng)預(yù)張力對(duì)展開(kāi)過(guò)程的影響，建立了周邊桁架可展天線(xiàn)展開(kāi)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)規(guī)劃的天線(xiàn)展開(kāi)運(yùn)動(dòng)得出相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力。文獻(xiàn)[6]在可展結(jié)構(gòu)中設(shè)置剛性體以有效提高展開(kāi)效率，保證形狀精度。文獻(xiàn)[7]用遞推動(dòng)力學(xué)建模方法對(duì)星載天線(xiàn)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，表明該算法可滿(mǎn)足動(dòng)力學(xué)實(shí)時(shí)仿真及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求。索網(wǎng)天線(xiàn)的剛度和強(qiáng)度主要是由桁架的豎桿提供，中間部分的拉索只用于調(diào)節(jié)網(wǎng)狀形面精度[8-9]。商業(yè)軟件雖能對(duì)索網(wǎng)活動(dòng)節(jié)點(diǎn)位置進(jìn)行預(yù)測(cè)，但難以進(jìn)行控制應(yīng)用[10]。為此，本文用剛度分析方法對(duì)天線(xiàn)展開(kāi)過(guò)程系統(tǒng)參數(shù)預(yù)估及其受力狀態(tài)設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究。

1 索網(wǎng)天線(xiàn)展開(kāi)建模方法

1.1 基本空間算子定義

定義第k個(gè)剛體于內(nèi)鉸Ok處建立連體坐標(biāo)系。常用基本算子有：剛性力移位算子φ(k+1,k)；為鉸Ok+1，Ok間位移矢量的叉乘矩陣；Rk+1,k為第k+1，k個(gè)連體坐標(biāo)系間旋轉(zhuǎn)變換矩陣；第k體空間慣量質(zhì)量；J(k)∈R3×3為相對(duì)Ok處的慣量張量；p(k)為第k體質(zhì)心至連體坐標(biāo)系原點(diǎn)的位移矢量；為位移矢量對(duì)應(yīng)的叉乘矩陣；m(k)為第k體質(zhì)量；H(k)∈Rnr(k)×6為從狀態(tài)空間至關(guān)節(jié)空間的投影算子；nr(k)為第k個(gè)鉸關(guān)節(jié)的自由度。

1.2 一般樹(shù)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)說(shuō)明

圖1 一般樹(shù)形多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Tree topology of multibody system dynamics

表1 低序體列陣

由表1可知：Pa(k)列中未出現(xiàn)的體號(hào)1、2、5屬末端體，重復(fù)出現(xiàn)的體號(hào)4、7屬分枝體，且重復(fù)出現(xiàn)數(shù)次，表明有多個(gè)分枝(此處為2個(gè))。鏈?zhǔn)较到y(tǒng)是樹(shù)形系統(tǒng)的特例，因其Pa(k)=k+1。組成的低序體列陣中，不被其它列包含的低序體列陣為一個(gè)分支鏈，此處一個(gè)分鏈由體1、4、7、8組成；一個(gè)分鏈由體2、3、4、7、8組成；另一個(gè)分鏈由體5、6、7、8組成。

1.3 混合動(dòng)力學(xué)遞推算法

根據(jù)機(jī)構(gòu)各鉸關(guān)節(jié)狀態(tài)，可將問(wèn)題歸為兩類(lèi)：反向動(dòng)力學(xué)用于求出各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)力或力矩；正向動(dòng)力學(xué)用于求出各關(guān)節(jié)的角加速度?；旌蟿?dòng)力學(xué)可同時(shí)計(jì)算上述兩類(lèi)問(wèn)題，特別適于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模。索網(wǎng)天線(xiàn)鉸驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)按預(yù)定軌跡展開(kāi)，屬于反向動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。展開(kāi)過(guò)程會(huì)影響衛(wèi)星本體的姿態(tài)指向，為正向動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

混合遞推與正向動(dòng)力學(xué)建模相似，可包括以下步驟：按鉸接體慣量方法計(jì)算系統(tǒng)的慣量；從頂端n體到基體1體的殘余力的遞推計(jì)算；正向動(dòng)力學(xué)加速度計(jì)算。

a)鉸接體慣量計(jì)算

P+(0)=0；

fork=1，…，n，

P(k)=φ(k,k-1)P+(k-1)φ*(k,k-1)+Mm(k)∈R，

ifk∈Ia，

else

D(k)=H(k)P(k)H*(k)∈R，

G(k)=P(k)H*(k)(D(k))-1∈R，

K(k+1,k)=φ(k+1,k)G(k)∈R，

end if

b)冗余力遞推計(jì)算

z+(0)=0，

fori=1，…，n，

ifk∈Ia，

z(k)=φ(k,k-1)z+(k-1)+P(k)×a(k)+H*(k)β(k)+b(k)+K(k)?(k)，

z+(k)=z(k)，

else

z(k)=φ(k,k-1)z+(k-1)+P(k)×a(k)+b(k)+K(k)?(k)，

ε(k)=T(k)-H(k)z(k)，

v(k)=(D(k))-1ε(k)，

z+(k)=z(k)+G(k)ε(k)，

end if

end loop

式中：z+(0)為分支末端體外結(jié)點(diǎn)處偏置力；a(k)為第k個(gè)體的哥氏加速度、離心加速度算子；β(k)為鉸關(guān)節(jié)空間速度；b(k)為第k個(gè)剛體哥氏力、離心力算子；K(k)為剛體移位Kalman增益算子；?(k)為關(guān)節(jié)角度；ε(k)為關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)遞推移位算子；T(k)為狀態(tài)空間力偶；v(k)為關(guān)節(jié)空間加速度。

c)系統(tǒng)加速度和主動(dòng)力遞推計(jì)算

α(N+1)=0，

fori=1，……，n，

ifk∈Ia，

T(k)=H*(k)f(k)，

else

end if

end loop

式中：α(k)，f(k)，T(k)，χ(k)分別為第k體加速度、關(guān)節(jié)廣義力、狀態(tài)空間廣義力和絕對(duì)加速度。借鑒Kalman濾波方法的計(jì)算結(jié)構(gòu)，即分為向內(nèi)的濾波過(guò)程和向外的遞推過(guò)程平滑。通過(guò)找到滿(mǎn)足與離散卡爾曼濾波的Riccati方程類(lèi)似的微分方程實(shí)現(xiàn)。

2 索網(wǎng)天線(xiàn)展開(kāi)過(guò)程等效模型

兩個(gè)桁架單元的展開(kāi)如圖2所示。展開(kāi)原理為連續(xù)的展開(kāi)索依次穿過(guò)桁架單元的可伸縮對(duì)角桿，通過(guò)電機(jī)帶動(dòng)展開(kāi)索收縮展開(kāi)環(huán)形桁架。在結(jié)點(diǎn)B、D、F處各有同步齒輪1對(duì)，保證整個(gè)桁架在展開(kāi)過(guò)程中的同步，即在展開(kāi)過(guò)程中各矩形單元始終保持形狀相同。當(dāng)桁架運(yùn)動(dòng)至完全展開(kāi)狀態(tài)時(shí)，可伸縮對(duì)角桿AE、CE中的細(xì)管分別頂在頂點(diǎn)A、C，阻止其進(jìn)一步運(yùn)動(dòng)，同時(shí)弦桿運(yùn)動(dòng)至與豎桿垂直位置，節(jié)點(diǎn)蓋板間的填充限位件與弦桿連接件緊密接觸，阻止其轉(zhuǎn)動(dòng)。

(a)收縮狀態(tài) (b)展開(kāi)過(guò)程中 (c)完全展開(kāi)圖2 兩個(gè)桁架單元展開(kāi)Fig.2 Deploying sketch map of two truss cell

分析發(fā)現(xiàn)其中含雙重閉環(huán)，問(wèn)題非常復(fù)雜，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，先去除腹桿，只剩下3主桿根，用等效力矩替代腹桿的驅(qū)動(dòng)和鎖定作用，則就轉(zhuǎn)為對(duì)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，如圖3所示。

圖3 用等效力矩簡(jiǎn)化Fig.3 Simplification by equivalent moment

3 數(shù)值實(shí)例

本文以周邊桁架天線(xiàn)展開(kāi)為研究對(duì)象，仿真中取參數(shù)為：彈性模量90 GPa，泊松比0.33，天線(xiàn)桿件直徑0.035 m，每個(gè)豎桿和橫桿的長(zhǎng)度1.414 m，豎桿、橫桿、對(duì)角桿密度1 900 kg/m3，衛(wèi)星本體質(zhì)量3 404.5 kg，質(zhì)心位置(1 069，-2，2 340)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)衛(wèi)星初始位置和速度置分別為

桁架展開(kāi)過(guò)程規(guī)劃經(jīng)歷加速-勻速-減速過(guò)程，共用時(shí)1 800 s，不同時(shí)間的規(guī)劃展開(kāi)鉸鏈角速度如圖4所示。

圖4 規(guī)劃的鉸鏈展開(kāi)角速度Fig.4 Angle velocity of joint deploying

仿真時(shí)間2 000 s，分別對(duì)50個(gè)桁架單元的桁架結(jié)構(gòu)展開(kāi)進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真計(jì)算，其中加速段0～200 s中部分關(guān)節(jié)鉸鏈的驅(qū)動(dòng)力矩如圖5、6所示；減速段1 600～1 800 s內(nèi)關(guān)節(jié)鉸鏈的驅(qū)動(dòng)力矩如圖7、8所示。不同自由度展開(kāi)機(jī)構(gòu)展開(kāi)過(guò)程所需時(shí)間：桁架單元50個(gè)為47.971 s；桁架單元100個(gè)為1 min 32.483 0 s；桁架單元1 000個(gè)為15 min 45.202 0 s。

圖5 加速段關(guān)節(jié)1鉸鏈驅(qū)動(dòng)力矩Fig.5 Drive moment of joint 1

圖6 加速段加速段關(guān)節(jié)10鉸鏈驅(qū)動(dòng)力矩Fig.6 Drive moment of joint 10

圖7 減速段關(guān)節(jié)1鉸鏈驅(qū)動(dòng)力矩Fig.7 Drive moment of joint 1

圖8 減速段關(guān)節(jié)10鉸鏈驅(qū)動(dòng)力矩Fig.8 Drive moment of joint 10

由仿真結(jié)果可知：按電機(jī)驅(qū)動(dòng)角速度設(shè)計(jì)策略桁架能保持平穩(wěn)展開(kāi)。分析鉸鏈中間處鉸鏈展開(kāi)驅(qū)動(dòng)力矩，可發(fā)現(xiàn)在加速和降速段，鉸鏈1處的最大力矩分別為13，2.2 N·m，最小力矩分別為約-15.5，-2.5 N·m；鉸鏈10處的最大力矩分別為22 000，7 500 N·m，最小力矩分別為約-18 000，-7 800 N·m?？傮w來(lái)說(shuō)，本文規(guī)劃能使桁架有效展開(kāi)，用遞推動(dòng)力學(xué)建模算法對(duì)多自由度大型桁架或天線(xiàn)結(jié)構(gòu)的展開(kāi)計(jì)算分析可行。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文用空間算子代數(shù)動(dòng)力學(xué)遞推建模方法，將

含雙閉環(huán)索拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)動(dòng)力學(xué)建模轉(zhuǎn)為采用等價(jià)力矩的鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，理論上提高了動(dòng)力學(xué)模型的復(fù)雜性和計(jì)算速度。該方法適于大型可展開(kāi)機(jī)構(gòu)的快速計(jì)算。對(duì)實(shí)際工程中天線(xiàn)的展開(kāi)過(guò)程的參數(shù)設(shè)計(jì)、力學(xué)性能分析具有一定的指導(dǎo)意義，但實(shí)用性還有待試驗(yàn)確認(rèn)。

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Study on Recursive Dynamic Modeling and Simulation of a Cable-Truss Deployable Space Antenna

LIU Fu-cheng1, 2, SUN Hong-li1, 2, ZHU Dong-fang1, 2, SUN Jun1, 2

(1. Shanghai Space Intellective Control Technology Lab, Shanghai 201109, China; 2. Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology, Shanghai 201109, China)

Due to many degrees of freedom and nonlinearity of large deployable space antenna, a fast recursive modeling with multi-degree of freedom system of a cable truss deployable space mechanism was given in this paper in order to give a better control to the deployment. The elastic parts were treated by the finite segment, and meanwhile the driven and locking of brace were replaced by the equivalent moment. As a result, the large cable-truss double closed loop was equivalent to the chain multi-body system. Large cable-truss antenna was modeled by spatial operator algebra, and the antenna deformation motion and driven moment were obtained by computation of solving dynamic response. The spatial angular displacement, angular velocity and driving moment of the joint in acceleration and deceleration phase were gained in a sample. The study showed that the method proposed was a recursive dynamic modeling with high accuracy and efficiency which was suitable to the fast computation of large deployable mechanism. The study is valuable to the parameter design and mechanic analysis of the antenna deployment in engineering.

Cable-truss deployable space antenna; Deployable process; Equivalent moment; Cable truss double closed loop; Chain multibody system; Spatial operator algebra; Angular displacement; Angular velocity; Spatial driving moment

1006-1630(2016)04-0021-05

2015-12-13；

2016-04-26

上海市自然科學(xué)基金資助(16ZR1415700)

劉付成(1973—)，男，研究員，主要從事航天器姿態(tài)控制研究。

V443.4； TP391.9

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.04.004