求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間易錯剖析

安徽省靈璧黃灣中學 華騰飛

求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間易錯剖析

安徽省靈璧黃灣中學 華騰飛

在運用三角函數(shù)知識解題時，三角函數(shù)的單調(diào)性有很重要的應用，常用來研究函數(shù)的變化情況，比較函數(shù)值或自變量的大小，解（或證）不等式，求函數(shù)的值域或最值等。有些同學在求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，由于對概念和法則理解不深、把握不準，常常會導致錯解的發(fā)生。下面舉例分類剖析，希望能夠引起同學們的注意，力避此類錯誤的發(fā)生。

一、忽視了基本函數(shù)致錯

注 上述兩種解法結果看似不同，其實只不過是形式不同而已，實質(zhì)上是相同的。

二、沒有考慮原函數(shù)的定義域致錯

三、未弄清函數(shù)周期性致錯

圖1

圖2

四、遺忘了題設其他條件致錯

五、參數(shù)處理不當致錯

例7 討論函數(shù)y=acosx+b的單調(diào)區(qū)間。

錯解 當y=cosx遞增，即x∈［2kπ-π，2kπ］（k∈Z）時，原函數(shù)遞增；

當y=cosx遞減，即x∈［2kπ，2kπ+π］（k∈Z）時，原函數(shù)遞減。

剖析 對于含參數(shù)問題，若參數(shù)的取值不確定，則必須對其討論。上述錯解是由于想當然地認為a＞0導致錯解的發(fā)生。

正解 當a=0時，y=b為常函數(shù)，沒有單調(diào)區(qū)間；

當a＞0時，函數(shù)的增區(qū)間為［2kπ-π，2kπ］（k∈Z），

減區(qū)間為［2kπ，2kπ+π］（k∈Z）；

當a＜0時，函數(shù)的增區(qū)間為［2kπ，2kπ+π］（k∈Z），

減區(qū)間為［2kπ-π，2kπ］（k∈Z）。

例8 已知0＜a＜2且a≠1，求函數(shù)y=log2a-a2（sinx·cosx）的單調(diào)遞減區(qū)間。

錯解 若對2a-a2分類討論或認為1＜2a-a2，則都有可能導致錯解的發(fā)生。

剖析 本題雖含參數(shù)，但題設對數(shù)函數(shù)的底數(shù)卻只在區(qū)間（0，1）內(nèi)，因此不需要分類討論。