從“標準方程”的含義談解決代數(shù)問題的一種思維方式

◇ 遼寧 金鐘植(特級教師)

從“標準方程”的含義談解決代數(shù)問題的一種思維方式

◇ 遼寧 金鐘植(特級教師)

1 曲線“標準方程”的含義

從教28年以來,筆者一直關注一個基本問題:解析幾何中經(jīng)常提到的“標準方程”的含義是什么?到目前為止,能夠自圓其說的理解是:曲線方程代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性能直接體現(xiàn)曲線決定性的幾何特征的方程是曲線的標準方程.即從曲線方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)中能直接解讀出曲線的決定性的幾何特征.反之有了曲線決定性的幾何特征就可確定曲線的標準方程.下面就各類曲線標準方程給出這種理解的解釋.

1.1 5種曲線標準方程的解釋

1)直線的標準方程.

2)圓的標準方程.

與教科書的說法相同.

3)橢圓的標準方程.

4)雙曲線的標準方程.

5)拋物線標準方程.

1.2 標準方程和一般方程的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別

1)一般方程與標準方程內(nèi)在聯(lián)系.

將標準方程化簡即可得一般方程,將一般方程經(jīng)過有目的性的代數(shù)變形(如配方、運用等式的性質(zhì)等)即可得標準方程.

2)一般方程與標準方程本質(zhì)區(qū)別.

一般方程是由標準方程化簡得到,進而使原有的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征消失,所以比起標準方程,體現(xiàn)不出所有決定性的幾何特征.但有些一般方程還能體現(xiàn)部分幾何特征.如直線的一般方程中體現(xiàn)其法向量為n＝(A,B).

從以上“標準方程”的含義不難看出,按照筆者對幾種曲線標準方程的解析,可以將解析幾何中的標準方程系統(tǒng)地化歸為一類:曲線方程代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性能直接體現(xiàn)曲線決定性的幾何特征的方程是曲線的標準方程.同時,解析幾何中關注曲線方程或一些表達式的代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性的思維方式對解決有關問題起著決定性的作用.下面僅從解析幾何的2種基本思維方式來談談其重要性.

2 解析幾何的基本思維方式

解析幾何體現(xiàn)的數(shù)學思想和方法主要是數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化.那么問題是如何轉(zhuǎn)化的?轉(zhuǎn)化的依據(jù)是什么?

2.1 形到數(shù)的轉(zhuǎn)化

2.2 數(shù)到形的轉(zhuǎn)化

根據(jù)方程代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性或表達式蘊含的特殊結(jié)構(gòu),依據(jù)這種結(jié)構(gòu)的特殊性就能轉(zhuǎn)化為有關幾何問題,轉(zhuǎn)化依據(jù)是解析幾何的相關知識,這種轉(zhuǎn)化也是解析幾何的基本思維方式之一.

3 解決代數(shù)問題的一種思維方式

筆者認為,在解析幾何中上面所說的2種轉(zhuǎn)化,從難度上說不是對等的.相對來說由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化目標比較清晰,思維難度小,而由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化目標不清晰,需要通過構(gòu)造、變形等手段把數(shù)轉(zhuǎn)化為形,思維難度相對大.最典型的是在有關的代數(shù)問題中,如果運用這種思維方式解決問題更加簡潔.下面僅從3道例題,談在代數(shù)問題中這種思維方式的應用.

例2 已知實數(shù)x、y滿足

則(x－3)2＋y2的取值范圍是______.

逆用兩點間的距離公式,再根據(jù)橢圓的定義和標準方程得到

式(x－3)2＋y2的幾何意義就是橢圓上任意一點到右焦點的距離的平方,所以根據(jù)橢圓的幾何直觀不難得出其最大值為(5＋3)2,最小值為(5－3)2,進而得出(x－3)2＋y2的取值范圍是[4,64].

如果此題轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上二次函數(shù)值域問題,計算量非常大(特別是無理方程化為有理方程的過程).所以在學完圓錐曲線的標準方程后,根據(jù)曲線的定義和代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性,可以將一些無理方程不經(jīng)過運算,即可得到有理方程.例如:

此題在近幾年的高考試卷壓軸的填空題中屬于難度較大的題目.但如果注意觀察到關鍵性的思維信息|2a＋b|,這種特殊結(jié)構(gòu)在高中數(shù)學范圍內(nèi),只有在點到直線的距離公式中能夠體現(xiàn)出其幾何意義,進而經(jīng)過適當?shù)淖冃?可以把條件轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關系問題.

解 因為4a2－2ab＋4b2－c＝0?

故其最小值為－2.

利用數(shù)轉(zhuǎn)化為形解決有關代數(shù)問題時,有平方就可以考慮逆用兩點間的距離公式,有絕對值就可以考慮逆用點到直線的距離公式,有一次分式就可以考慮逆用直線的斜率公式等.所以這種思維方式的運用,難點就是為了逆用公式,需要構(gòu)造符合這些公式代數(shù)結(jié)構(gòu)的形式.

(作者單位:遼寧省大連理工大學附屬高級中學)