不確定市場(chǎng)環(huán)境下的企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖研究進(jìn)展

杜宏俊，費(fèi)為銀，沈明軒

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

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不確定市場(chǎng)環(huán)境下的企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖研究進(jìn)展

杜宏俊，費(fèi)為銀*，沈明軒

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

企業(yè)家經(jīng)常面臨著來(lái)自商業(yè)投資中的不可分散的特定風(fēng)險(xiǎn)．將標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)物期權(quán)方法推廣到非完備的市場(chǎng)下，并且考慮企業(yè)家投資、消費(fèi)/儲(chǔ)蓄和投資組合選擇等共同決策問(wèn)題，允許代理人通過(guò)交易市場(chǎng)投資組合來(lái)部分對(duì)沖實(shí)物投資風(fēng)險(xiǎn)．在此背景下，首先介紹了金融市場(chǎng)上的最優(yōu)投資組合和消費(fèi)問(wèn)題的研究現(xiàn)狀．接著介紹了企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖問(wèn)題的研究進(jìn)展，并給出了投資過(guò)程中允許通過(guò)交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)對(duì)沖項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)的模型．最后對(duì)所要研究模型分別給出了在通脹環(huán)境、Knight不確定和跳擴(kuò)散等方面的拓展框架.

實(shí)物期權(quán)；投資組合；HJB方程；通貨膨脹；非完備市場(chǎng)

1900年法國(guó)數(shù)學(xué)家Bachelier首次在《投機(jī)理論》中使用量化的布朗運(yùn)動(dòng)描述股票價(jià)格變化過(guò)程，這被認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)的起源．不幸的是，在長(zhǎng)達(dá)半個(gè)世紀(jì)的時(shí)間內(nèi)這一工作一直沒(méi)有受到學(xué)者的關(guān)注．直到1952年，Markowitz[1]提出了著名的投資組合理論(均值方差模型)，引發(fā)了華爾街的第一次金融革命，拉開(kāi)了現(xiàn)代金融理論——數(shù)理金融發(fā)展的序幕．

最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)投資組合問(wèn)題一直是金融領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)．回顧跨期投資組合的發(fā)展歷程，自Merton[2]利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決了在連續(xù)時(shí)間內(nèi)最優(yōu)消費(fèi)和投資組合選擇問(wèn)題，使得對(duì)投資組合問(wèn)題的研究邁出了重要的一步．Merton[2]在這方面做出的突出貢獻(xiàn)為后來(lái)的學(xué)者研究跨期投資組合提供了借鑒．投資組合選擇問(wèn)題所涉及到的一般都是金融市場(chǎng)投資，很少涉及到商業(yè)投資等實(shí)物投資領(lǐng)域，然而實(shí)物投資行為在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)中已經(jīng)扮演著越來(lái)越重要的角色．通常情況下，實(shí)物投資在現(xiàn)實(shí)實(shí)物投資項(xiàng)目中常常面臨著未來(lái)投資的不確定性、收益的不確定性以及信息的不對(duì)稱性．實(shí)物投資的3個(gè)典型特點(diǎn)：投資是部分或完全不可逆的、未來(lái)收益是不確定的、投資時(shí)間在某種程度上是靈活的．近30多年，大量文獻(xiàn)旨在研究這3個(gè)特點(diǎn)對(duì)實(shí)物投資的意義，這些文獻(xiàn)共同的視角就是將投資決策視為美式看漲期權(quán)，“美式”體現(xiàn)在行權(quán)時(shí)間選擇的靈活性上．然而，最早把期權(quán)思想引入到該領(lǐng)域的是Myers[3]，他首次提出了把投資機(jī)會(huì)看作成長(zhǎng)期權(quán)(Growth Options)，把許多企業(yè)資產(chǎn)特別是成長(zhǎng)性的投資機(jī)會(huì)看作是看漲期權(quán)．Bernanke[4]是對(duì)不可逆投資最早做出貢獻(xiàn)的，實(shí)物投資已經(jīng)變成現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)金融的主力軍,因此對(duì)投資項(xiàng)目的價(jià)值評(píng)估自然而然地成為實(shí)物投資過(guò)程中的重要一環(huán)．

隨著技術(shù)的日益進(jìn)步及競(jìng)爭(zhēng)的日趨激烈，簡(jiǎn)單地預(yù)測(cè)和分析預(yù)期現(xiàn)金流已不足以準(zhǔn)確評(píng)估一個(gè)項(xiàng)目的價(jià)值及其潛在增長(zhǎng)價(jià)值，從實(shí)物期權(quán)的角度對(duì)未來(lái)的投資機(jī)會(huì)進(jìn)行評(píng)估，是一種更加有效的方法，并已經(jīng)在現(xiàn)代公司關(guān)于資源配置的決策上取得了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步．為此，現(xiàn)在越來(lái)越多的研究致力于把實(shí)物期權(quán)方法用于不可逆的實(shí)物投資，關(guān)注的是企業(yè)家投資活動(dòng)中的投資時(shí)間選擇，即管理者等到影響重大的不確定消失以及項(xiàng)目收益更加明確時(shí)做出投資決策，在這一過(guò)程中等待可能產(chǎn)生更大的價(jià)值．然而，在等待的過(guò)程中，一旦項(xiàng)目的收益并未達(dá)到預(yù)期，管理者可以選擇放棄這項(xiàng)投資，這樣就擁有了一種隱性的防范損失的保險(xiǎn)機(jī)制，從而達(dá)到保險(xiǎn)的效果．

隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步，金融市場(chǎng)快速發(fā)展，金融市場(chǎng)環(huán)境變得越來(lái)越復(fù)雜，不確定因素以及突發(fā)事件頻發(fā)，帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)嚴(yán)重影響到了金融市場(chǎng)，這些不確定因素給人們的投資、消費(fèi)和生活都帶來(lái)了不容忽視的影響，不確定因素逐漸引起了人們的廣泛關(guān)注，故而研究不確定市場(chǎng)環(huán)境下的投資、消費(fèi)和對(duì)沖具有極其重要的意義．

標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)物期權(quán)方法有著極其嚴(yán)苛的條件約束，但現(xiàn)實(shí)中的市場(chǎng)是不完備的，因而在實(shí)際的研究中往往需要把標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物期權(quán)方法推廣到非完備市場(chǎng)環(huán)境下，得到非完備市場(chǎng)情形下相應(yīng)的結(jié)論．

1 投資組合選擇和消費(fèi)問(wèn)題的研究回顧

由于市場(chǎng)環(huán)境的不確定性導(dǎo)致了資產(chǎn)配置的多樣化，資產(chǎn)如何進(jìn)行組合才能使得投資者的利益最大化，如何在投資、消費(fèi)之間分配資產(chǎn)使得投資者效用最大化，這一直都是金融界研究的重要課題．一些國(guó)外學(xué)者在Merton[2]研究的基礎(chǔ)上探討了動(dòng)態(tài)投資組合決策.在動(dòng)態(tài)投資組合決策研究中，Kim和Omberg[5]研究的是非短視行為，他們通過(guò)利用HARA效用函數(shù)得到了投資者在終端財(cái)富期望效用最大化下的最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇．

在Merton解決了連續(xù)時(shí)間內(nèi)的最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)投資問(wèn)題的基礎(chǔ)上，Duffie[6]等推廣到帶有隨機(jī)勞動(dòng)收入的情形，通過(guò)使用“粘性解”技術(shù)以及HJB方程得到隨機(jī)控制問(wèn)題的值函數(shù)，進(jìn)而得出所要研究的最優(yōu)投資消費(fèi)．Wang[7-9]分別研究了在固定收入和隨機(jī)收入的假設(shè)下，收入對(duì)最優(yōu)消費(fèi)、儲(chǔ)蓄和投資決策的影響．但是對(duì)于隨機(jī)勞動(dòng)收入和CRRA效用函數(shù)消費(fèi)的閉式解還沒(méi)有人推導(dǎo)出來(lái)，Zeldes[10]使用的數(shù)值技術(shù)僅僅給出了一個(gè)近似解．

投資者投資和消費(fèi)過(guò)程中往往面臨著種種限制約束，比如借貸約束、流動(dòng)約束等．Munk[11]認(rèn)為連續(xù)時(shí)間最優(yōu)的消費(fèi)和投資組合選擇的投資者有一個(gè)初始財(cái)富和不確定的收入流，且投資者不允許預(yù)支未來(lái)收入，最后證明由于不能預(yù)支未來(lái)收入，未來(lái)收入流隱含價(jià)值是遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于完備市場(chǎng)情形下的．Ang[12]等提出了一種流動(dòng)和非流動(dòng)性資產(chǎn)的最優(yōu)配置模型，流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)增加其狀態(tài)相關(guān)性，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避降低流動(dòng)和非流動(dòng)資產(chǎn)配置,還研究了流動(dòng)性約束時(shí)間對(duì)資產(chǎn)配置的影響．約束不僅體現(xiàn)在資產(chǎn)流動(dòng)性上，對(duì)消費(fèi)也有約束.He和Pearson[13]在無(wú)限維情形下，利用鞅方法研究了在不完備市場(chǎng)的情況下帶有賣空限制的動(dòng)態(tài)消費(fèi)和投資組合問(wèn)題．

國(guó)內(nèi)也有很多學(xué)者在最優(yōu)投資、資產(chǎn)配置方面進(jìn)行了大量研究．王秋媛[14]等給出了不同條件下最優(yōu)消費(fèi)與投資組合的計(jì)算公式及相應(yīng)最大消費(fèi)效用期望值．李仲飛和汪壽陽(yáng)[15]研究了摩擦市場(chǎng)中的最優(yōu)消費(fèi)-投資組合選擇問(wèn)題．劉宏建[16]等在Knight不確定環(huán)境下考慮投資者遺產(chǎn)和保險(xiǎn)，研究了在3種不同借款約束下的最優(yōu)消費(fèi)與投資問(wèn)題，借助于倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)理論求出了投資者最優(yōu)消費(fèi)和投資策略的顯式表達(dá)式．

上述研究雖然也有在最大效用框架下研究投資、消費(fèi)問(wèn)題，但是均未考慮在實(shí)物投資下企業(yè)家面臨的消費(fèi)和投資組合選擇，并且給出其最優(yōu)消費(fèi)和投資組合的問(wèn)題．

2 企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖問(wèn)題研究回顧

金融市場(chǎng)離不開(kāi)實(shí)體經(jīng)濟(jì)的繁榮，只有實(shí)現(xiàn)實(shí)體經(jīng)濟(jì)的良性發(fā)展，金融市場(chǎng)才會(huì)蓬勃發(fā)展，因此對(duì)實(shí)物投資的研究不可或缺．許多學(xué)者研究了不確定市場(chǎng)下的投資和消費(fèi)，所涉及到的投資一般是金融市場(chǎng)上的投資，對(duì)象是眾多的金融衍生品如股票、期權(quán)、基金和債券等，但是幾乎很少涉及到實(shí)物投資．現(xiàn)實(shí)中，大多數(shù)企業(yè)家進(jìn)行實(shí)物投資，因而在對(duì)企業(yè)家的投資和消費(fèi)問(wèn)題進(jìn)行研究的過(guò)程中，不僅要考慮金融市場(chǎng)上的投資，還要考慮實(shí)物投資．

在Bernanke[4]最早對(duì)不可逆投資所做研究的基礎(chǔ)上，對(duì)于完備市場(chǎng)情形Borison[17]給出了實(shí)物投資問(wèn)題的一個(gè)很好的討論和總結(jié)，并且為不可逆投資的發(fā)展做出了極為突出的貢獻(xiàn)．雖然Borison[17]描述的實(shí)物投資方法看起來(lái)具有顯著的不同，但是這些方法的本質(zhì)都是通過(guò)幫助公司管理者進(jìn)行投資選擇，最終實(shí)現(xiàn)公司股東財(cái)富水平的最大化．

眾所周知，現(xiàn)實(shí)中的金融市場(chǎng)總是存在著大量的約束限制，因此實(shí)際金融市場(chǎng)往往是非完備的，最多可以部分復(fù)制．在研究中，不完備性體現(xiàn)的是投資者承擔(dān)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)而得到應(yīng)有的風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)，但是對(duì)于資產(chǎn)的特質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)并沒(méi)有得到額外補(bǔ)償．縱使完備市場(chǎng)對(duì)復(fù)制思想具有極其嚴(yán)格的要求，也不完全與現(xiàn)實(shí)環(huán)境無(wú)關(guān)．Kogan[18]提供了一個(gè)不可逆實(shí)物投資的一般均衡模型，投資的不可逆性是生產(chǎn)部門最主要的特征，限制著資本的積累，影響著公司的投資決策．其主要的貢獻(xiàn)是分析了均衡性以及不可逆投資的影響．

對(duì)實(shí)物投資研究越來(lái)越多的落腳點(diǎn)是在投資時(shí)間的選擇上，對(duì)投資量以及投資方式的研究均不是重點(diǎn)．Rhys[19]等通過(guò)引入首達(dá)時(shí)等方法為期權(quán)的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間選擇提供了有力的理論依據(jù)，彌補(bǔ)了前期的實(shí)物期權(quán)模型在最優(yōu)執(zhí)行期權(quán)時(shí)間選擇研究上的不足．Hugonnier和Morellec[20]是在非完備市場(chǎng)背景下關(guān)注管理人投資執(zhí)行的問(wèn)題以及控制挑戰(zhàn)對(duì)管理人行為的影響．管理者會(huì)權(quán)衡自身的行權(quán)時(shí)間，較早地執(zhí)行期權(quán)減少其所暴露的特定風(fēng)險(xiǎn)，與之對(duì)應(yīng)的是增加了控制挑戰(zhàn)成本的可能性．Henderson和Hobson[21]刻畫了風(fēng)險(xiǎn)厭惡者擁有一個(gè)不可分割資產(chǎn)，選擇何時(shí)賣出從而達(dá)到效用最大化需求．他們主要的貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了與直覺(jué)相反的事實(shí)，對(duì)于一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，其最優(yōu)行為卻可能會(huì)增加博弈的風(fēng)險(xiǎn)．

基于靜態(tài)確定性等價(jià)思想提出的效用無(wú)差別定價(jià)方法，是由Hodges和Neuberger[22]1989年提出的，被認(rèn)為是解決非完備市場(chǎng)環(huán)境下投資、消費(fèi)的最有價(jià)值的方法，這一方法被后來(lái)的學(xué)者廣泛使用至今．Yang和Yang[23]、楊金強(qiáng)和楊招軍[24]都考慮了部分信息下基于消費(fèi)效用無(wú)差別定價(jià)的實(shí)物期權(quán)問(wèn)題，區(qū)別在于楊金強(qiáng)和楊招軍并沒(méi)有考慮用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)去對(duì)沖的情形．然而他們雖然研究了非完備市場(chǎng)下沒(méi)有對(duì)沖情形的實(shí)物投資，但也沒(méi)有研究消費(fèi)/儲(chǔ)蓄決策以及消費(fèi)/儲(chǔ)蓄決策對(duì)商業(yè)投資和投資組合選擇的影響．

在對(duì)非完備市場(chǎng)上的實(shí)物投資中研究對(duì)沖有著重要意義，因?yàn)槭袌?chǎng)的不完備性，企業(yè)家從事商業(yè)投資面臨不可分散的特定風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)交易市場(chǎng)投資組合對(duì)沖商業(yè)投資風(fēng)險(xiǎn)，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)CAPM方法得以補(bǔ)償，特定風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生私人股本溢價(jià)，這就是學(xué)者把對(duì)沖引入商業(yè)投資研究中的原因．Henderson和Hobson[25]研究了如何處理一個(gè)不可交易資產(chǎn)，并把交易資產(chǎn)用作對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)的目的，他們的貢獻(xiàn)是首次在著名的Merton投資模型中引入了第二個(gè)不可交易資產(chǎn)，并且檢驗(yàn)了次最優(yōu)對(duì)沖策略對(duì)代理人愿意支付的期權(quán)價(jià)格的影響．真正完整考慮企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖的是Miao和Wang[26]．他們同樣采用的是靜態(tài)確定性等價(jià)思想提出的效用無(wú)差別定價(jià)方法，考慮非完備市場(chǎng)下企業(yè)家面對(duì)一項(xiàng)不可逆的實(shí)物投資，對(duì)是否允許通過(guò)市場(chǎng)投資組合對(duì)沖商業(yè)投資風(fēng)險(xiǎn)建立了不同的模型，并考慮了最優(yōu)消費(fèi)的問(wèn)題，也研究了不同投資回報(bào)形式對(duì)執(zhí)行投資時(shí)間選擇的影響．Ewald和Yang[27]進(jìn)一步假設(shè)實(shí)物投資項(xiàng)目?jī)r(jià)值服從均值回復(fù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程，使得對(duì)項(xiàng)目?jī)r(jià)值模型更有意義，最后利用最優(yōu)控制理論，從理論上推導(dǎo)了期權(quán)的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間和最優(yōu)值的解析表達(dá)式．

通過(guò)上述大量文獻(xiàn)的分析可知，在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)環(huán)境下考慮企業(yè)家進(jìn)行商業(yè)投資，并且考慮企業(yè)家的消費(fèi)和用于對(duì)沖的市場(chǎng)投資組合選擇是具有現(xiàn)實(shí)意義的．商業(yè)投資行為的發(fā)生與否對(duì)消費(fèi)和投資組合選擇有著重要的影響，進(jìn)而消費(fèi)和投資組合的選擇又影響著企業(yè)家的財(cái)富水平．在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，恰恰需要發(fā)展一個(gè)理論刻畫特定風(fēng)險(xiǎn)在消費(fèi)、投資和投資組合之間扮演的角色，正如Gentry和Hubbard[28]、Heaton和Lucas[29]等所做的工作．

在Miao和Wang[26]的研究基礎(chǔ)上，其他學(xué)者也取得了不錯(cuò)的研究成果.Henderson[30]研究了企業(yè)家的風(fēng)險(xiǎn)厭惡和市場(chǎng)的非完備性對(duì)投資時(shí)間和期權(quán)價(jià)值的影響，允許用對(duì)沖來(lái)部分抵消投資回報(bào)的不確定性，他們發(fā)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)厭惡和特定風(fēng)險(xiǎn)蠶食了期權(quán)價(jià)值，并且降低了投資臨界值，主要貢獻(xiàn)是找到一個(gè)參數(shù)域，在這個(gè)域內(nèi)完備和非完備給出了不同的投資信號(hào)．相比于Miao和Wang[26]的研究，考慮企業(yè)家來(lái)自消費(fèi)和投資的最大化指數(shù)效用服從的是算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)，由于算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)可取負(fù)這一弊端，他們?cè)诖嘶A(chǔ)上改進(jìn)使用的是幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其中的模型更容易處理，并且可以導(dǎo)出適于靜態(tài)比較的近似解，更加接近典范完備化模型過(guò)程．

國(guó)內(nèi)也有學(xué)者研究并取得了一系列成果．Chen和Yi[31]研究在有限期限下的非完備市場(chǎng)下企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖問(wèn)題．他們的主要貢獻(xiàn)是通過(guò)使用PDE技術(shù)把Miao和Wang在無(wú)限期限下得到的結(jié)果推廣到有限期限下，并進(jìn)一步優(yōu)化了結(jié)果，證明最優(yōu)執(zhí)行邊界是關(guān)于時(shí)間t遞增的，并且在[0,T]內(nèi)連續(xù)．

3 企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖模型拓展

3.1 通貨膨脹下的企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖問(wèn)題

目前我國(guó)資本市場(chǎng)還不夠完善，投資渠道單一，使得投資者在面臨通貨膨脹時(shí)選擇資產(chǎn)保值增值的比較少．同時(shí)，在國(guó)家持續(xù)不斷改革開(kāi)放和轉(zhuǎn)變發(fā)展方式的大背景下，通貨膨脹對(duì)投資者投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票、期貨、基金等)的行為影響越來(lái)越大，因此在考慮投資的時(shí)候通脹因素不得不考慮進(jìn)來(lái)．現(xiàn)如今，國(guó)內(nèi)外越來(lái)越多的學(xué)者著手于對(duì)通脹的研究．針對(duì)消費(fèi)籃子價(jià)格完全可觀察和部分可觀察的情形，Bensoussan[32]等分別給出了在通脹環(huán)境下的最優(yōu)消費(fèi)和投資策略．丁傳明和鄒捷中[33]研究了通貨膨脹影響下的最優(yōu)投資消費(fèi)模型，他們?cè)趯?duì)金融市場(chǎng)的假設(shè)中假定通貨膨脹或通貨緊縮同時(shí)存在投資和消費(fèi)市場(chǎng)上，并且建立了通貨膨脹折扣率的隨機(jī)模型及最優(yōu)消費(fèi)投資模型，利用鞅方法和隨機(jī)分析理論進(jìn)行求解．然而，F(xiàn)ei[34]研究的是在通脹條件下帶有Markovian機(jī)制轉(zhuǎn)換的最優(yōu)消費(fèi)和投資問(wèn)題，假定通脹服從均值回復(fù)過(guò)程的最優(yōu)消費(fèi)和投資決策．Fei和Fei[35]研究了在通脹條件下帶有Markovian機(jī)制轉(zhuǎn)換的最優(yōu)控制，并將其應(yīng)用到投資組合決策中．費(fèi)為銀[36]等研究了投資者在通脹環(huán)境下帶遞歸效用的最優(yōu)消費(fèi)和投資問(wèn)題，根據(jù)假設(shè)的效用函數(shù)推導(dǎo)出最優(yōu)消費(fèi)和投資的精確解．費(fèi)為銀[37]等在資產(chǎn)價(jià)格跳擴(kuò)散環(huán)境下，研究了通脹因素對(duì)投資者資產(chǎn)配置的影響，并且通過(guò)數(shù)值模擬進(jìn)行了量化．

根據(jù)對(duì)上述文獻(xiàn)的分析，在當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展背景下，在對(duì)投資的研究中把通脹考慮進(jìn)來(lái)更加接近真實(shí)的現(xiàn)狀，這樣也會(huì)使得模型更加貼近實(shí)際情形．基于Bensoussan[32]等及費(fèi)為銀[35-37]對(duì)通脹下的投資和消費(fèi)的研究，將所要研究的模型中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格以及投資收益等在通脹下進(jìn)行折現(xiàn)，得到真實(shí)環(huán)境中對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)價(jià)格和投資收益，再利用現(xiàn)代隨機(jī)微分方程理論建立相應(yīng)的HJB方程，通過(guò)求解可得到在企業(yè)家投資下的最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)投資組合選擇．

3.2 Knight不確定下的企業(yè)家投資、消費(fèi)、對(duì)沖問(wèn)題

現(xiàn)實(shí)生活中有很多現(xiàn)象已經(jīng)不能夠通過(guò)概率不確定給出合理的解釋了，而Knight不確定卻可以提供很好的理論支撐．Knight不確定是種沒(méi)有確定概率分布的不確定，其概率分布是未知的，其本質(zhì)并非未知而是不可知．自1921年Knight首次提出Knight不確定后，引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并且對(duì)Knight不確定下的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究．Chen和Epstein[38]考慮了含糊的連續(xù)時(shí)間下跨期多先驗(yàn)效用模型, 給出了風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和含糊溢價(jià)對(duì)超額收益率的解釋．Fei[39]研究了帶預(yù)期和含糊情形下的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合問(wèn)題．在Knight不確定環(huán)境下，費(fèi)為銀[40]等研究了投資者在通脹下的最優(yōu)消費(fèi)和投資決策，其中區(qū)別了含糊與含糊態(tài)度，研究使用的模型與Bensoussan[32]等的模型的主要區(qū)別是刻畫了α-maxmin期望效用(即α-MEU)，這樣不僅有助于在區(qū)別含糊和含糊態(tài)度的情況下解決帶有通脹的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合問(wèn)題．韓立巖和泮敏[41]創(chuàng)造性地使用了Knight不確定的視角處理了帶有隨機(jī)波動(dòng)率的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，將Knight不確定的思路引入到期權(quán)定價(jià)問(wèn)題上，豐富了Knight不確定的應(yīng)用．然而，上述文獻(xiàn)所研究的Knight不確定性均是指資產(chǎn)價(jià)格預(yù)期收益率，遺憾的是并沒(méi)有考慮資產(chǎn)的價(jià)格具有Knight不確定性．為此，在對(duì)沖基金管理者最優(yōu)投資策略問(wèn)題的研究中，費(fèi)為銀[42]等考慮了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格具有Knight不確定性，并且得出在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格具有Knight不確定性下的基金管理者最優(yōu)投資組合策略．

總之，對(duì)于投資和消費(fèi)問(wèn)題的研究，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者在Knight不確定下進(jìn)行了深入的研究并已經(jīng)取得了豐碩的研究成果．因此，在G-Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下，對(duì)企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖問(wèn)題的研究中，可以考慮風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格變化過(guò)程的波動(dòng)率具有Knight不確定性，當(dāng)然也可以同時(shí)考慮實(shí)物投資項(xiàng)目帶來(lái)的收益過(guò)程的波動(dòng)率具有Knight不確定性.結(jié)合國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這個(gè)領(lǐng)域取得的成果，可以得出相應(yīng)的企業(yè)家實(shí)物投資下的最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)投資組合策略，具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)意義．

3.3 跳擴(kuò)散下的企業(yè)家投資、消費(fèi)、對(duì)沖問(wèn)題

現(xiàn)實(shí)生活中各種突發(fā)事件頻發(fā)，使得資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)大起大落或不連續(xù)的跳躍變化，很有可能出現(xiàn)阻礙金融市場(chǎng)健康發(fā)展的不利情況，因此跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)對(duì)投資者的投資決策有著重要影響，對(duì)跳擴(kuò)散的研究也越來(lái)越重要．近年來(lái)，在投資和資產(chǎn)配置等方面的研究中，跳擴(kuò)散不斷被引入模型中．

通過(guò)對(duì)期權(quán)和股價(jià)市場(chǎng)數(shù)據(jù)的研究，Eraker[43]發(fā)現(xiàn)了股票價(jià)格動(dòng)態(tài)跳擴(kuò)散的特征，并且建立了股票價(jià)格和股票價(jià)格波動(dòng)率的非連續(xù)相關(guān)跳模型．Wu[44]重點(diǎn)研究了稀有事件風(fēng)險(xiǎn)，并且分析了跳對(duì)動(dòng)態(tài)決策的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，跳風(fēng)險(xiǎn)使得投資者的投資決策更加地保守．費(fèi)為銀[45]等在跳擴(kuò)散環(huán)境下研究了匯率變動(dòng)對(duì)外商直接投資的影響，并且通過(guò)數(shù)值模擬分析表明不管跳的幅度和大小都會(huì)使得市場(chǎng)動(dòng)蕩更明顯，從而進(jìn)一步加大風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)違約的風(fēng)險(xiǎn)，因此減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置．李文漢[46]等在風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)下，考慮了股票價(jià)格服從跳擴(kuò)散過(guò)程的隨機(jī)微分方程，并且得出了跳擴(kuò)散影響下相應(yīng)的歐式期權(quán)定價(jià)公式．費(fèi)為銀[47]等對(duì)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置問(wèn)題的研究也考慮了突發(fā)事件發(fā)生帶來(lái)的沖擊，同時(shí)通過(guò)數(shù)值模擬定量地模擬了突發(fā)事件帶來(lái)的量化影響.

通過(guò)上述的文獻(xiàn)分析研究不難發(fā)現(xiàn)，跳擴(kuò)散在現(xiàn)實(shí)研究中扮演著重要的角色，因而把跳風(fēng)險(xiǎn)引入到投資的研究中，尤其對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者，跳擴(kuò)散下的投資研究更有意義．近年來(lái)全球經(jīng)濟(jì)的不景氣，預(yù)防性儲(chǔ)蓄的需求日益高漲，投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度隨之提高，跳風(fēng)險(xiǎn)所帶來(lái)的影響也隨之放大．在Miao和Wang[26]的研究模型中，由于突發(fā)事件的發(fā)生，模型中的商業(yè)投資機(jī)會(huì)發(fā)生重大變化，投資回報(bào)產(chǎn)生跳躍變化，對(duì)期權(quán)的執(zhí)行時(shí)間產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響投資前后的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合選擇.在已有的研究成果中，考慮在企業(yè)家的預(yù)期值函數(shù)最大化的目標(biāo)下，通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法等導(dǎo)出最優(yōu)投資組合選擇和消費(fèi)，最后通過(guò)使用Matlab軟件模擬跳擴(kuò)散的幅度和大小對(duì)最優(yōu)投資消費(fèi)產(chǎn)生影響．因而在企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖問(wèn)題的研究中把跳擴(kuò)散因素考慮進(jìn)來(lái)具有理論基礎(chǔ)和現(xiàn)實(shí)可行性．

3.4 考慮融資決策下投資、消費(fèi)、對(duì)沖問(wèn)題

在Miao和Wang[26]的研究中進(jìn)行了很多嚴(yán)格的假設(shè)，在投資決策過(guò)程為了分析的方便采用了CARA效用函數(shù)，忽略了財(cái)富對(duì)投資決策的影響．進(jìn)而，假設(shè)投資者在執(zhí)行投資時(shí)，總有足夠的資金去執(zhí)行投資，即使投資者自身財(cái)富不足以支付投資成本時(shí)，總可以從市場(chǎng)上無(wú)條件的以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入資本，從而忽略了融資約束對(duì)投資的影響．然而，這并不符合實(shí)際情況，投資者個(gè)人財(cái)富對(duì)其投資行為極其重要．現(xiàn)實(shí)中，投資者往往因?yàn)橘Y金問(wèn)題錯(cuò)過(guò)很好的投資機(jī)會(huì)，加上央行宏觀調(diào)控收緊銀根的時(shí)候，投資者很難從市場(chǎng)融得到資本．在這方面已經(jīng)有很多學(xué)者做了大量研究．例如，Chen[48]等通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)債務(wù)多元化收益，刻畫了最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)，并且表明了這個(gè)不可分散風(fēng)險(xiǎn)對(duì)消費(fèi)、投資組合、融資、投資、商業(yè)退出的影響．然而，費(fèi)為銀[49]等進(jìn)一步在對(duì)紅利和退休的最優(yōu)消費(fèi)與投資研究中引入了借貸約束這一條件，詳細(xì)地分析了借貸約束對(duì)投資者的最優(yōu)投資消費(fèi)的影響．

當(dāng)前全球經(jīng)濟(jì)整體不景氣，資金短缺嚴(yán)格制約著投資的發(fā)生，研究融資約束對(duì)研究投資消費(fèi)具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，所以在對(duì)Miao和Wang[26]模型的拓展中需要考慮融資約束因素對(duì)投資-消費(fèi)的影響.當(dāng)企業(yè)家在執(zhí)行投資時(shí)持有的資金并不足以支付成本，此時(shí)融資成本很大程度上決定著投資時(shí)間，甚至因?yàn)橘Y金不足，高額的融資成本使得企業(yè)家放棄項(xiàng)目投資．

4 小結(jié)

簡(jiǎn)要回顧了現(xiàn)代投資理論的發(fā)展歷史以及實(shí)物投資的發(fā)展歷程．闡述了金融市場(chǎng)上投資組合選擇和最優(yōu)消費(fèi)問(wèn)題的研究現(xiàn)狀，并且給出了國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者在這方面的研究成果．其次，考慮企業(yè)家投資、消費(fèi)和對(duì)沖問(wèn)題，總結(jié)了國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這方面的研究成果，著重闡述了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的代理人在非完備市場(chǎng)下允許對(duì)沖的投資、消費(fèi)問(wèn)題的研究模型，并且給出了最優(yōu)消費(fèi)和投資組合問(wèn)題的基本分析過(guò)程．最后，對(duì)所要研究的模型在幾種不同框架下進(jìn)行了展望，給出了可行性分析，并進(jìn)一步提出了改進(jìn)的研究思路．

在Miao和Wang[26]的研究中，只考慮了投資者的預(yù)防性儲(chǔ)蓄動(dòng)機(jī)以及風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度等因素，而通過(guò)對(duì)上述文獻(xiàn)的研究和分析不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實(shí)生活中更多的因素，比如通脹、Knight不確定和跳擴(kuò)散以及融資決策等因素都會(huì)不同程度地影響到企業(yè)家的投資決策．因此，可以在Miao和Wang[26]的研究基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的研究：第一，將通脹因素考慮到企業(yè)家的投資決策中，探討不同程度的通貨膨脹對(duì)風(fēng)險(xiǎn)投資和消費(fèi)的影響；第二，可以研究跳擴(kuò)散環(huán)境下跳的幅度和方向如何影響企業(yè)家在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資權(quán)重；第三，在Knight不確定環(huán)境下，通過(guò)引入G-布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)對(duì)企業(yè)家的投資、消費(fèi)和對(duì)沖進(jìn)行研究．

[1] H Markowitz.Portfolio Selection[J].Journal of Finance,1952,7(1):77-91.

[2] R Merton.Optimum Consumption and Portfolio Rules in A Continuous Time Model[J].Journal of Economic Theory,1971,3(4):373-413.

[3] S Myers.Determinants of Corporate Borrowing[J].Journal of Financial Economics,1977,5(2):147-176.

[4] B Bernanke.Irreversibility,Uncertainty and Cyclical Investment[J].Quarterly Journal of Economics,1983,98(1):85-106.

[5] T Skim,E Omberg.Dynamic Nonmyopic Portfolio Behavior[J].The Review of Financial Studies,1996,9(1):141-161.

[6] D Duffie,W Fleming,H Soner.Hedging in Incomplete Markets with HARA Utility[J].Journal of Economic Dynamics and Control,1997,21:753-782.

[7] N Wang.Caballero Meets Bewley:The Permanent-Income Hypothesis in General Equilibrium[J].American Economic Review,2003,93(3):927-936.

[8] N Wang.Precautionary Saving with Partially Observed Income[J].Journal of Monetary Economics,2004,51(8):1 645-1 681.

[9] N Wang.Optimal Consumption and Asset Allocation with Unknown Income Growth[J].Journal of Monetary Economics,2009,56(4):524-534.

[10] S P Zeldes.Optimal Consumption with Stochastic Income: Deviations from Certainty Equaivalence[J].The Quarterly Journal of Economics,1989,104(2):275-298.

[11] C Munk.Optimal Consumption/Investment Policies with Undiversifiable Income Risk and Liquidity Constraints[J].Journal of Economic Dynamics and Control,2000,24(9):1 315-1 343.

[12] A Ang,D Papanikolaou,M Mark.Westerfield Portfolio Choice with Illiquid Assets[J].Managent Science,2014,60(11):2 737-2 761.

[13] H He,N D Pearson.Consumption and Portfolio Policies with Incomplete Markets and Short-sale Constraints:The Infinite Dimensional Case[J]. Journal of Economic Theory,1991,54(2):259-304.

[14] 王秋媛,楊瑞成,劉坤會(huì),等.考慮存貸利差的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合問(wèn)題[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2010,25(1):29-35.

[15] 李仲飛,汪壽陽(yáng).摩擦市場(chǎng)的最優(yōu)消費(fèi)—投資組合選擇[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2004,24(3):406-416.

[16] 劉宏建,費(fèi)為銀,朱永王,等.Knight不確定下考慮保險(xiǎn)和退休的最優(yōu)消費(fèi)—投資和遺產(chǎn)問(wèn)題研究[J].運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào),2014,18(3):88-98.

[17] D Borison.Real Options Analysis:Where are the Emperor's Clothes?[J].Journal of Applied Corporate Finance,2005,17(2):17-31.

[18] L Kogan,I Makarov,R Uppal.The Equity Risk Premium and the Riskfree Rate in an Economy with Borrowing Constraints[J].Math Finan Econ,2007,1:1-19.

[19] H Rhys,J Song.The Timing of Real Option Exercise:Some Recent Developments[J].The Engineering Economist,2002,47(4):436-450.

[20] J Hugonnier,E Morellec.Corporate Control and Real Investment in Incomplete Markets[J].Journal of Economic Dynamics and Control,2007,31(5):1 781-1 800.

[21] V Henderson,D Hobson.Risk Aversion,Indivisible Timing Options and Gambling[J].Operations Research,2013,61(1):126-137.

[22] S Hodges,A Neuberger.Optimal Replication of Contingent Claims under Transaction Costs[J].Review of Futures Markets,1989,8(2):222-239.

[23] J Q Yang,Z J Yang.Consumption Utility-based Pricing and Timing of the Option to Invest with Partial Information[J].Computational Economics,2012,39(2):195-217.

[24] 楊金強(qiáng),楊招軍.部分信息下實(shí)物期權(quán)的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖[J].中國(guó)管理科學(xué),2011,19(4):9-16.

[25] V Henderson,D Hobson.Real Options with Constant Relative Risk Aversion[J].Journal of Economic Dynamics and Control,2002,27(2):329-355.

[26] J Miao,N Wang.Investment,Consumption and Hedging under Incomplete Markets[J].Journal of Financial Economics,2007,86:608-642.

[27] C Ewald,Z Yang.Utility Based Pricing and Exercising of Real Options under Geometric Mean Reversion and Risk Aversion Toward Idiosyncratic Risk[J].Math.Meth.Oper Res.,2008,68:97-123.

[28] W Gentry,R Hubbard.Entrepreneurship and Household Saving[J].Advances in Economic Analysis and Policy,2004,4(1):31-52.

[29] J Heaton,D Lucas.Portfolio Choice and Asset Prices:The Importance of Entrepreneurial Risk[J].Journal of Finance,2000,55(3):1 163-1 198.

[30] V Henderson.Valuing the Option to Invest in an Incomplete Market[J].Math.Finan.Econ.,2007,1:103-128.

[31] X Chen,F Yi.Investment,Consumption and Hedging with Lump-sum Payoff in Finite Horizon under Incomplete Market[J].Applicable Analysise,2014,93(3):583-596.

[32] A Bensoussan,J Keppo,S P Sethi.Optimal Consumption and Portfolio Decisions with Partially Observed Real Prices[J].Mathematical Finance,2009,19(2):215-236.

[33] 丁傳明,鄒捷中.考慮通貨膨脹影響的最優(yōu)消費(fèi)投資模型[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào),2004,35(1):167-170.

[34] W Fei.Optimal Consumption and Portfolio under Inflation and Markovian Switching[J].Stochastics:An International Journal of Probability and Stochastic Processes,2013,85(2):272-285.

[35] C Fei,W Fei.Optimal Control of Markovian Switching Systems with Applications to Portfolio Decisions under Inflation[J].Acta Mathematica Scientia,2015,35B(2):439-458.

[36] 費(fèi)為銀,呂會(huì)影,余敏秀.通脹服從均值回復(fù)過(guò)程的最優(yōu)消費(fèi)和投資決策[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2014,29(6):791-868.

[37] 費(fèi)為銀,蔡振球,夏登峰.跳擴(kuò)散環(huán)境下帶通脹的最優(yōu)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào),2015,18(8):83-94.

[38] Z Chen,L Epstein.Ambiguity,Risk and Asset Returns in Continuous Time[J].Econometrica,2002,70:1 403-1 443.

[39] W Fei.Optimal Consumption and Portfolio Choice with Ambiguity and Anticipation[J].Information Sciences,2007,117(23):5 178-5 190.

[40] 費(fèi)為銀,李淑娟.Knight不確定下帶通脹的最優(yōu)消費(fèi)和投資模型研究[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012,29(6):799-806.

[41] 韓立巖,泮敏.基于奈特不確定性隨機(jī)波動(dòng)率期權(quán)定價(jià)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2012,32(6):1 175-1 183.

[42] 費(fèi)為銀,朱濤濤,費(fèi)晨.奈特不確定下帶高水印的對(duì)沖基金最優(yōu)投資組合[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2015,32(6):823-834.

[43] B Eraker.Do Stock Prices and Volatility Jump?Reconciling Evidence from Spot and Option Prices[J].Journal of Finance,2004,59(3):1 367-1 403.

[44] L Wu.Jump and Dynamic Asset Allocation[J].Review of Quantitative Finance and Accounting,2003,20(3):207-243.

[45] 費(fèi)為銀,何丹丹,張偉.跳擴(kuò)散下匯率變動(dòng)的外商直接投資問(wèn)題研究[J].系統(tǒng)工程理論實(shí)踐,2015,35(2):283-290.

[46] 李文漢,劉麗霞,孫紅巖.基于外匯匯率買入的跳擴(kuò)散過(guò)程股票的期權(quán)定價(jià)[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào):A輯,2016(1):21-29.

[47] 費(fèi)為銀,盧琴云,胡慧敏,等.突發(fā)事件沖擊下帶通脹的動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置問(wèn)題研究[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2016,33(3):234-242.

[48] H Chen,J Miao,N Wang.Entrepreneurial Finance and Nondiversifiable Risk[J].Review of Financial Studies,2010,23(12):4 348-4 388.

[49] 費(fèi)為銀,何丹丹,朱永王,等.在借貸約束條件下考慮紅利和退休的最優(yōu)消費(fèi)與投資[J].東華大學(xué)學(xué)報(bào),2013,39(1):124-129.

Research Advance on Entrepreneurs Investments Consumption and Hedging under Uncertain Market Environment

DU Hong-jun,FEI Wei-yin*，SHEN Ming-xuan

(College of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China)

Entrepreneurs often face undiversifiable idiosyncratic risks from their business investments.The standard real options approach is extended to an incomplete markets environment for analyzing the joint decisions of business investments,consumption/savings,and portfolio selection.And the agent can trade the market portfolio to partially hedge against investment risk.Under this context,the status quo of the study on the optimal portfolio and consumption problem was firstly introduced.And then the more detailed introduction was made about entrepreneurs' investment、consumption and hedge research progress,and a commercial investment model with a lump-sum investment payoff and partially hedge against investment risk was presented.Finally,the expansion of the framework of the model under inflation,Knightian uncertainty and jump diffusion environment was put forward.

real options;portfolio;HJB equation;inflation;incomplete markets

1672-2477(2016)05-0068-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71571001)

杜宏俊(1990-)，男，安徽六安人，碩士研究生．

費(fèi)為銀(1963-)，男，安徽蕪湖人，教授，博士．

O211.63； F830.9

A