雙懸扭擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及平行軸定理的實(shí)驗(yàn)研究

陳洪云 鄭安壽

[中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)理學(xué)院 湖北 武漢 430074]

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雙懸扭擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及平行軸定理的實(shí)驗(yàn)研究

陳洪云 鄭安壽

[中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)理學(xué)院 湖北 武漢 430074]

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性量度的重要物理量，它具有重要的物理意義.本文利用一種雙懸扭擺的實(shí)驗(yàn)裝置來對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究以及對(duì)平行軸定理進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 平行軸定理 雙懸扭擺

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性量度的重要物理量，它具有重要的物理意義，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)、航天、電力、機(jī)械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量.它不僅與剛體的質(zhì)量分布、幾何形狀有關(guān)，而且與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān).對(duì)于形狀簡(jiǎn)單的均勻剛體，測(cè)出其外形尺寸和質(zhì)量，就可以計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.對(duì)于形狀復(fù)雜的、質(zhì)量分布不均勻的剛體，一般利用轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)來測(cè)定其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

1 雙懸扭擺裝置介紹

如圖1所示，雙懸式扭擺的測(cè)量載物籃由上、下兩根懸線懸掛.下懸線的底端與一壓簧相連，通過旋轉(zhuǎn)螺母，在彈簧的作用下，可以改變上、下兩根懸線中的張力，這就有效地解決了剛體繞中心軸旋轉(zhuǎn)時(shí)晃動(dòng)的問題.

圖1 雙懸扭擺示意圖

三角架的水平調(diào)節(jié)螺絲是為了保證剛體的旋轉(zhuǎn)軸和懸線在鉛直方向.載物籃中放置不同的待測(cè)物體，可研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其質(zhì)量大小、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置變化的規(guī)律，并可驗(yàn)證平行軸定理.傳感器的作用是將剛體旋轉(zhuǎn)過程中的擋光信號(hào)轉(zhuǎn)換成電脈沖信號(hào)，以達(dá)到自動(dòng)測(cè)量旋轉(zhuǎn)周期的目的.

實(shí)驗(yàn)中除了雙懸扭擺裝置，還配有標(biāo)準(zhǔn)件(圓環(huán))1個(gè)以及待測(cè)件(圓盤1個(gè)，相同圓柱體2個(gè)).

圖2 標(biāo)準(zhǔn)件及待測(cè)件圖示

2 工作原理

當(dāng)載物籃偏離平衡位置一個(gè)角度θ時(shí)，載物籃將受到上、下兩懸線扭力矩M的作用，顯然有

M=-Dθ

(1)

其中D為扭轉(zhuǎn)系數(shù)，它起源于懸線的切變應(yīng)力.

根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律

(2)

其中J是剛體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.式(2)表明載物籃的運(yùn)動(dòng)滿足諧振動(dòng)方程，運(yùn)動(dòng)周期

(3)

設(shè)空載載物籃相對(duì)懸絲軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，轉(zhuǎn)動(dòng)周期為T0；標(biāo)準(zhǔn)件(圓環(huán))相對(duì)懸絲軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，標(biāo)準(zhǔn)件與載物籃一起轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T1；待測(cè)件相對(duì)懸絲軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jx，待測(cè)件與載物籃一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的周期為Tx，則

(4)

(5)

(6)

可得

(7)

由此可知，只要測(cè)出T0，T1，Tx，便可根據(jù)J1的值計(jì)算出Jx.

T0，T1，Tx的測(cè)量是由單片機(jī)完成的，其精度為10-4s，為進(jìn)一步消除測(cè)量中的誤差，一般采用測(cè)量多個(gè)周期的時(shí)間，然后算出一個(gè)周期的值.

3 數(shù)據(jù)測(cè)量及結(jié)果分析

在測(cè)量之前首先把標(biāo)準(zhǔn)件以及待測(cè)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值算出來，這方便與我們實(shí)驗(yàn)測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.用游標(biāo)卡尺多次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)件及待測(cè)件，計(jì)算出它們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值，結(jié)果如表1和表2.

表1 標(biāo)準(zhǔn)件(圓環(huán))轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值的計(jì)算

表2 待測(cè)件(圓盤)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值的計(jì)算

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)件及待測(cè)件理論值之后，按照實(shí)驗(yàn)裝置操作要求，可測(cè)量待測(cè)件(圓盤)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.為了減少實(shí)驗(yàn)的誤差，測(cè)量過程中，我們重復(fù)測(cè)量10次，最后求出平均值，然后再與理論值進(jìn)行百分差計(jì)算，結(jié)果如表3.

表3 待測(cè)件(圓盤)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量值

從表3可以看出，理論值與測(cè)量值的百分差非常小，表明實(shí)驗(yàn)操作及測(cè)量結(jié)果合理.

4 驗(yàn)證平行軸定理

利用實(shí)驗(yàn)裝置，我們還可以驗(yàn)證平行軸定理.若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，且該軸與過質(zhì)心的軸相距為d，如圖3所示，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，則有

JO=JC+md2

其中JC表示相對(duì)通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，這個(gè)定理稱為平行軸定理.

圖3 平行軸定理剛體示意圖

為了驗(yàn)證平行軸定理，我們對(duì)實(shí)驗(yàn)做了些改進(jìn)，因?yàn)檩d物籃需要在一個(gè)平衡的狀態(tài)下轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)驗(yàn)中我們利用兩個(gè)基本相同的圓柱體，同時(shí)對(duì)稱地放置在載物籃中心的兩邊，保證載物籃在一個(gè)水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).我們首先用游標(biāo)卡尺多次測(cè)量圓柱的直徑，理論計(jì)算其繞自身中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如表4.然后把兩個(gè)圓柱對(duì)稱地放置在距離載物籃中心分別為2，3，4，5，6 cm的地方，利用實(shí)驗(yàn)裝置把各自對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量出來，如表5所示.

表4 待測(cè)件(圓柱)直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論計(jì)算

表5 兩圓柱對(duì)稱放置離載物籃中心不同距離處轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量與計(jì)算值

d/cm65432測(cè)量值Jd/(g·cm2)1436210248682741512264理論值Jx/(g·cm2)1448510244681141402233百分差η1/%0.80.040.20.271.4

由于兩圓柱質(zhì)量相差很小，故可認(rèn)為圓柱在離中心相等的地方對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等，所以有表6.

表6 單個(gè)圓柱放置離載物籃中心不同距離處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量值

d2/cm236251694單個(gè)圓柱在不同位置的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jd/(g·cm2)71815124341420761132

根據(jù)表6，應(yīng)用Origin軟件作圖并線性擬合可得圖4.

從圖4可以看出，Jd與d2為線性關(guān)系，表明了此實(shí)驗(yàn)很好地驗(yàn)證了平行軸定理.為了很好地說明此實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了平行軸定理，我們由Origin軟件擬合Jd和d2之間關(guān)系(Y=A+BX)，可得到表7.

圖4 Jd與d2關(guān)系圖

表7 線性擬合各參數(shù)值

根據(jù)擬合過程和方程Jd=JC+md2可得JC=A=379 g·cm2，與單個(gè)圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算理論值377 g·cm2相比較，兩者相差無幾；同時(shí)，質(zhì)量擬合值(m=B=189.24 g)與質(zhì)量實(shí)際值也非常接近(m1=190.71 g,m2=190.73 g)，說明此實(shí)驗(yàn)很好地驗(yàn)證了平行軸定理！

最后需要說明的是，本實(shí)驗(yàn)在操作過程中，需要注意下列事項(xiàng)：

(1)在將標(biāo)準(zhǔn)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量輸入單片機(jī)時(shí)，以g·cm2為單位，單片機(jī)自動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)閗g·cm2.

(2)在按下單片機(jī)計(jì)算的時(shí)候，計(jì)算數(shù)值的單位為kg·cm2.

(3)驗(yàn)證平行軸定理的時(shí)候，我們需2個(gè)質(zhì)量、外形相差無幾的小圓柱，把它們對(duì)稱地放置在載物籃的兩邊，這跟只利用一個(gè)小圓柱分別放置在載物籃一邊相比，測(cè)量結(jié)果誤差較少，主要原因是載物籃上只放置一個(gè)圓柱在其邊上時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)面有一定傾斜.

5 結(jié)束語(yǔ)

從上面測(cè)量結(jié)果及其分析來看，不管在測(cè)量圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，還是在利用圓柱驗(yàn)證平行軸定理的時(shí)候，我們的測(cè)量結(jié)果都比較合理.同時(shí)，最后在驗(yàn)證平行軸定理時(shí)，借助了計(jì)算軟件進(jìn)行作圖并進(jìn)行相關(guān)分析，這反映了大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生能力方面的重要作用，需要加以重視.

2015-10-26)