光學(xué)元件撓性支撐結(jié)構(gòu)廣義建模及優(yōu)化設(shè)計(jì)

曹玉巖，王志臣，周 超，范 磊，韓西達(dá)，張耀祖

(中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033)

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光學(xué)元件撓性支撐結(jié)構(gòu)廣義建模及優(yōu)化設(shè)計(jì)

曹玉巖*，王志臣，周 超，范 磊，韓西達(dá)，張耀祖

(中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033)

建立了撓性支撐結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型及優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，以使光學(xué)元件撓性支撐結(jié)構(gòu)同時(shí)滿(mǎn)足元件定位的剛度要求和溫度適應(yīng)性的柔度要求，同時(shí)給出了相應(yīng)的建模方法?？紤]撓性支撐結(jié)構(gòu)是由圓周對(duì)稱(chēng)分布的撓性單元組成的，故將撓性單元簡(jiǎn)化為超靜定梁結(jié)構(gòu)，應(yīng)用虛功原理推導(dǎo)了撓性單元的徑向及切向剛度。然后，假設(shè)光學(xué)元件為剛性體，根據(jù)力平衡條件及變形協(xié)調(diào)條件，推導(dǎo)了撓性支撐結(jié)構(gòu)的整體剛度，并引入修正因子補(bǔ)償了剛體假設(shè)帶來(lái)的誤差。最后，以撓性支撐結(jié)構(gòu)總變形能為目標(biāo)函數(shù)，推導(dǎo)了同時(shí)考慮撓性支撐結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)形及參數(shù)的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，通過(guò)引入了整型變量將結(jié)構(gòu)整體剛度簡(jiǎn)化為整型變量和離散剛度的線(xiàn)性組合，從而使優(yōu)化模型中不含有諧波函數(shù)項(xiàng)。基于數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)結(jié)構(gòu)剛度模型進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果顯示：實(shí)驗(yàn)、仿真和理論計(jì)算結(jié)果一致。此外，以透鏡支撐為例，驗(yàn)證了撓性支撐結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，有限元分析結(jié)果表明，透鏡面形精度較初始設(shè)計(jì)提高了23%。

光學(xué)元件；撓性支撐結(jié)構(gòu)；廣義模型；超靜定；變形能；優(yōu)化設(shè)計(jì)

1 引 言

撓性結(jié)構(gòu)已廣泛應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，如光學(xué)設(shè)備[1]，陀螺儀[2]，傳感器及驅(qū)動(dòng)器[3]，微位移定位平臺(tái)[4]。撓性結(jié)構(gòu)得以廣泛應(yīng)用主要由于其具有以下優(yōu)點(diǎn)：(1)具有很高的重復(fù)精度；(2)低摩擦性；(3)容易加工制造且成本相對(duì)較低。

光學(xué)元件的面形精度決定了光學(xué)系統(tǒng)性能，而光學(xué)元件的安裝和定位結(jié)構(gòu)又是保證面形精度的關(guān)鍵因素。在光學(xué)設(shè)備中，撓性結(jié)構(gòu)主要用于光學(xué)元件的支撐與定位結(jié)構(gòu)[5-7]。光學(xué)元件，尤其是大口徑的元件，需要非常復(fù)雜的撓性支撐定位結(jié)構(gòu)來(lái)保持元件的位置及面形精度[8-9]。這是因?yàn)閾闲越Y(jié)構(gòu)在某些自由度上具有一定的柔度，容許該自由度上有少量可控的相對(duì)位移，在其它方向上則具有較大剛度。在環(huán)境溫度變化時(shí)，光學(xué)元件及其支撐組件將產(chǎn)生變形，熱變形系數(shù)的不匹配將導(dǎo)致出現(xiàn)接觸應(yīng)力，接觸應(yīng)力將直接影響光學(xué)元件的面形，甚至造成破壞，而撓性結(jié)構(gòu)的柔度可以有效地減小這部分接觸應(yīng)力[10-13]。

盡管撓性結(jié)構(gòu)具有以上優(yōu)點(diǎn)，但撓性支撐結(jié)構(gòu)的建模非常復(fù)雜，尤其是多個(gè)撓性元件同時(shí)作用時(shí)。趙磊等[10]設(shè)計(jì)了光刻投影物鏡中透鏡的支撐結(jié)構(gòu)，軸向采用的是多點(diǎn)撓性支撐結(jié)構(gòu)，支撐中的彈性片簡(jiǎn)化為懸臂梁模型，但未深入分析彈性片數(shù)目對(duì)面形精度的影響。李宇軒等[14]針對(duì)空間遙感器大口徑主反射鏡提出了Cartwheel型雙軸柔鉸的三點(diǎn)撓性支撐結(jié)構(gòu)，柔鉸的參數(shù)采用無(wú)量綱設(shè)計(jì)方法確定。盡管通過(guò)此方法確定的參數(shù)可以滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，但無(wú)法確定此參數(shù)是否為最佳參數(shù)。曹乃亮等[15]提出將NiTi記憶合金絲復(fù)合于柔性件周邊，借助預(yù)應(yīng)變產(chǎn)生的拉應(yīng)力來(lái)降低柔性件根部的應(yīng)力集中問(wèn)題，將柔性件切口等效為彎扭組合的梁結(jié)構(gòu)，根據(jù)NiTi合金絲的本構(gòu)方程設(shè)計(jì)了兩種復(fù)合方案，采用有限元軟件進(jìn)行分析。

撓性支撐結(jié)構(gòu)功能包括兩個(gè)方面：(1)定位，即要求支撐結(jié)構(gòu)具有一定的剛度，使得光學(xué)元件處在不同姿態(tài)時(shí)，能夠保持其光軸位置不變；(2)協(xié)調(diào)變形，即當(dāng)存在溫度梯度時(shí)，支撐結(jié)構(gòu)要有一定撓性來(lái)協(xié)調(diào)因熱變形系數(shù)不匹配帶來(lái)的變形偏差。撓性結(jié)構(gòu)的這兩方面功能是矛盾的，因?yàn)槿绻３治恢貌蛔?，撓性件剛度?yīng)盡可能大，若為協(xié)調(diào)變形，則撓性件柔度應(yīng)盡可能大。為平衡上述矛盾，需要根據(jù)撓性支撐結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型及使用要求，對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而得到合理方案。為此，本文提出了一種撓性支撐結(jié)構(gòu)的廣義模型，該模型適合于多種類(lèi)型的撓性支撐結(jié)構(gòu)。在力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出了一種用于同時(shí)優(yōu)化撓性支撐結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)形和參數(shù)的模型。模型中通過(guò)引入整型變量將撓性支撐結(jié)構(gòu)整體剛度表達(dá)為整型變量與離散剛度的線(xiàn)性組合，從而簡(jiǎn)化模型優(yōu)化的復(fù)雜程度。從數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)角度對(duì)整體剛度模型進(jìn)行驗(yàn)證，此外，以420 mm口徑的透鏡為例，進(jìn)行了撓性支撐結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，并應(yīng)用有限元軟件分析了優(yōu)化設(shè)計(jì)前后透鏡表面面形精度。

2 撓性支撐結(jié)構(gòu)力學(xué)建模

撓性支撐結(jié)構(gòu)如圖1所示。由圖1可知，光學(xué)元件的邊緣被粘接在多個(gè)相同的均勻分布的撓性單元上。相比傳統(tǒng)剛性支撐結(jié)構(gòu)，撓性支撐結(jié)構(gòu)具有很多優(yōu)點(diǎn)：(1)在受到?jīng)_擊、振動(dòng)及溫度應(yīng)力等影響后，光學(xué)元件的位置及共軸精度不會(huì)受到影響，因?yàn)閾闲栽哂凶冃慰苫謴?fù)的特點(diǎn)；(2)當(dāng)溫度變化導(dǎo)致光學(xué)元件與其它結(jié)構(gòu)變形不一致時(shí)，撓性結(jié)構(gòu)可明顯減小溫度應(yīng)力，因?yàn)閾闲詷?gòu)件在光學(xué)元件熱變形方向上具有較大柔度。以Φ110 mm透鏡為例，溫度變化為30 ℃時(shí)，傳統(tǒng)剛性支撐與撓性支撐兩種情況下，透鏡上表面的變形如圖2所示，其中剛性支撐情況下透鏡下面形峰-谷值(PV)和均方根面形(RMS)分別為16.34 nm和4.12 nm，撓性支撐情況下透鏡面形的PV和RMS分別為3.23 nm和0.82 nm。從圖2中可以看出撓性支撐情況下透鏡面形明顯優(yōu)于剛性支撐。此外，還可根據(jù)光學(xué)元件尺寸將該撓性支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為不同的幾何構(gòu)形，以滿(mǎn)足接觸點(diǎn)處的最大應(yīng)力要求，如圖3所示。

盡管撓性支撐結(jié)構(gòu)具有上述優(yōu)點(diǎn)，但由于其存在撓性環(huán)節(jié)，使得光軸處于水平位置時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的偏移，且整個(gè)支撐組件的諧振頻率要低于剛性支撐。為了合理設(shè)計(jì)該結(jié)構(gòu)，需要研究光軸偏差、諧振頻率與結(jié)構(gòu)參數(shù)及幾何構(gòu)形的關(guān)系，進(jìn)而使設(shè)計(jì)滿(mǎn)足性能指標(biāo)要求。

圖1 撓性支撐結(jié)構(gòu)概念

(a)剛性支撐

(b)撓性支撐

Fig.2 Deformation of top surface of lens under rigid and flexure mounting respectively

(a)三撓性單元

(b)四撓性單元

(c)五撓性單元

(d)六撓性單元

2.1 撓性單元?jiǎng)偠确治?/p>

圖1所示的撓性支撐結(jié)構(gòu)中，關(guān)鍵部分為對(duì)稱(chēng)分布的撓性單元，如圖4(a)所示。圖4(b)為其等效模型。對(duì)于圖1所示撓性支撐結(jié)構(gòu)，Yolder[5]將其簡(jiǎn)化為彈簧結(jié)構(gòu)，如圖5所示，每個(gè)撓性單元具有徑向和切向剛度。將撓性單元簡(jiǎn)化為兩個(gè)方向上的彈簧雖是合理的，但在撓性單元與光學(xué)元件結(jié)合點(diǎn)處存在約束不足的問(wèn)題，使得其等效剛度要小于實(shí)際模型剛度。為此，本文采用懸臂梁等效，如圖4(b)所示，在結(jié)合點(diǎn)處增加了轉(zhuǎn)動(dòng)約束ROTz=0，使得結(jié)構(gòu)成為超靜定形式。撓性單元結(jié)構(gòu)參數(shù)包括：有效長(zhǎng)度l，厚度t，面內(nèi)寬度b。

(a)撓性單元

(b)等效模型

圖5 撓性支撐的彈簧模型

解除圖4(b)所示超靜定梁上的連接點(diǎn)B和C的約束，其等效靜定結(jié)構(gòu)如圖6所示，其中Xi(i=1，2，3，4)為未知廣義力，F(xiàn)r為徑向力，F(xiàn)t為切向力。

撓性單元的切向剛度Kt可以直接由下式得到：

(1)

式中：δt為C點(diǎn)處的切向位移，E為彈性模量，A為截面面積。

圖6 超靜定梁的等效靜定結(jié)構(gòu)

由圖6可知，由徑向力Fr和未知力Xi引起的懸臂梁截面上的彎矩為：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

根據(jù)虛功原理，在C點(diǎn)處由Fr和Xi引起的位移分別為：

(8)

(9)

由B點(diǎn)和C點(diǎn)處位移邊界條件，結(jié)合式(8)和(9)可得：

(10)

(11)

撓性單元的最大彎曲應(yīng)力為：

(12)

2.2 撓性支撐結(jié)構(gòu)整體剛度分析

按撓性單元的懸臂梁等效模型，將圖3所示的撓性支撐結(jié)構(gòu)等效為如圖7所示的模型，若其安裝時(shí)存在夾角α，其受力分析和位移分析結(jié)果如圖8所示。模型中考慮了幾何構(gòu)形的因素，即撓性單元數(shù)量對(duì)剛度的影響。圖8中Fi表示連接點(diǎn)Pi處撓性件受到的外力，可將其分解為徑向力和切向力Fir和Fit，F(xiàn)iy為Fi的豎向分力，δir和δit分別表示連接點(diǎn)Pi處的徑向位移和切向位移，δiy表示豎向位移，δix表示橫向位移，n為撓性單元的數(shù)目i=1，2，…，n。

圖7 撓性支撐結(jié)構(gòu)等效模型

(a)力分析

(b)位移分析

根據(jù)幾何關(guān)系，豎向分力Fiy(i=1，2，…，n)可表示為：

(13)

根據(jù)豎向力平衡關(guān)系，即：

(14)

式中G為光學(xué)元件的重力。

豎向位移δiy可表示為：

(15)

由于重力方向豎直向下，撓性支撐結(jié)構(gòu)連接點(diǎn)Pi處將僅有豎向位移，即：

(16)

根據(jù)式(16)知，δir和δit的關(guān)系可表示為：

(17)

與光學(xué)元件相比，撓性支撐整體具有一定的柔度，因此在推導(dǎo)光學(xué)元件整體剛度時(shí)，可假設(shè)光學(xué)元件為一剛性體，則連接點(diǎn)Pi處的位移δiy均相等，即：

(18)

由式(16)和(17)得：

(19)

由式(1)知，每個(gè)連接點(diǎn)Pi的徑向位移和切向位移同樣滿(mǎn)足胡克定律，即：

Fir=Krδir，F(xiàn)it=Ktδit.

(20)

由式(14)，(18)～(20)得：

(21)

撓性支撐結(jié)構(gòu)的整體剛度為：

(22)

將式(1)和(11)代入式(22)得：

(23)

從式(23)可看出，該撓性支撐結(jié)構(gòu)的整體剛度是彈性模量E，厚度t，寬度b，長(zhǎng)度l，撓性單元數(shù)目n及安裝角度α的函數(shù)，即：

Kn=F(E，b，t，l，n，α).

(24)

這里要說(shuō)明，盡管剛度表達(dá)式(23)是按豎向位移推導(dǎo)而來(lái)，但其具有一般性，即其它方向的剛度可以通過(guò)改變?chǔ)林档玫健?/p>

此外，若考慮到光學(xué)元件或其他構(gòu)件自身的變形，則撓性支撐結(jié)構(gòu)的整體剛度小于由式(24)表示的剛度。為此，在整體剛度模型，即式(24)中引入了修正因子λ，即：

Kn=λ·F(E，b，t，l，n，α)，

(25)

式中：λ大小由與撓性元件相連構(gòu)件的剛度決定，完全剛性時(shí)λ=1。

作為特例，b=8，t=0.5，l=20，λ=1，材料為65 Mn，整體剛度Kn隨安裝角度α及撓性單元數(shù)目n的變化曲線(xiàn)如圖9所示。

從圖9中可以看出，隨安裝角度α變化撓性支撐的整體剛度保持不變。而保持參數(shù)不變情況下，隨著連接點(diǎn)數(shù)目增多，整體剛度增大。

圖9 整體剛度與安裝角度及連接點(diǎn)數(shù)目關(guān)系

Fig.9 Relationship between integral stiffness with mounting angle and the number of connecting points

3 考慮幾何參數(shù)及構(gòu)形的撓性支撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

對(duì)于一個(gè)光學(xué)元件，如透鏡或反射鏡，設(shè)計(jì)撓性支撐結(jié)構(gòu)，涉及選擇合適的材料，確定其最佳構(gòu)形及幾何參數(shù)，以滿(mǎn)足光學(xué)指標(biāo)要求。

以往的研究主要是先假定一種初始構(gòu)形，然后優(yōu)化幾何參數(shù)，若得到的幾何參數(shù)不符合工程應(yīng)用實(shí)際，則改變其構(gòu)形，重復(fù)上述過(guò)程。然而，這樣的優(yōu)化并不能保證幾何構(gòu)形及參數(shù)的最佳匹配。為此，本文提出了一種幾何構(gòu)形及參數(shù)協(xié)同優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法。通常，撓性支撐結(jié)構(gòu)材料選擇熱脹系數(shù)較小的銦鋼，其設(shè)計(jì)一般需要滿(mǎn)足以下條件：光軸水平放置時(shí)，光軸的偏移量要盡可能小，每個(gè)撓性單元的最大應(yīng)力要滿(mǎn)足其強(qiáng)度條件，每個(gè)連接點(diǎn)處的應(yīng)力要滿(mǎn)足光學(xué)材料的強(qiáng)度條件，此外，面形精度要盡可能高。

根據(jù)式(23)和上述設(shè)計(jì)要求知，該撓性支撐結(jié)構(gòu)的一般模型可表達(dá)為：

minΦ(E,b,t,l,n)

(26)

式中：Φ為目標(biāo)函數(shù)，可根據(jù)需要選擇不同指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，σf和σfmax分別為撓性單元的應(yīng)力和其材料的最大許用應(yīng)力，σg和σgmax分別為連接點(diǎn)處應(yīng)力及光學(xué)材料的許用應(yīng)力，b0，t0，l0，bmax，tmax，lmax分別為b，t，l的最小值與最大值。

由于撓性單元數(shù)目n無(wú)法加工為任意數(shù)目，且非整數(shù)的連接點(diǎn)數(shù)也無(wú)意義，因此n僅能取整數(shù)值。由式(23)表達(dá)的剛度模型是非常復(fù)雜的諧波函數(shù)，此類(lèi)函數(shù)的優(yōu)化非常困難。仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，若n取為整數(shù)值，則剛度表達(dá)式(23)也變?yōu)榕cn相對(duì)應(yīng)的離散值，為此，在優(yōu)化模型中引入0-1型整數(shù)變量xi(i=n0，n1，…，nmax)來(lái)簡(jiǎn)化剛度表示式(23)。

首先引入徑向剛度系數(shù)Krn和切向剛度系數(shù)Ktn，將式(23)表達(dá)為：

(27)

式中：Krn，Ktn為由n確定的常數(shù)。

然后利用設(shè)計(jì)變量xi(i=n0，n1，…，nmax)，將撓性支撐結(jié)構(gòu)整體剛度表示為：

xn1Kn1+…+xnmaxKnmax，

(28)

式中：設(shè)計(jì)變量xi取值為0或1，有且僅有一個(gè)xi取值為1，其余為0。

利用式(28)，優(yōu)化模型(26)可重新表達(dá)為：

minΦ(E,b,t,l,xi)

(29)

式(29)中不含有諧波函數(shù)，簡(jiǎn)化了模型的復(fù)雜性，使求解過(guò)程變得簡(jiǎn)單。本文采用Lingo軟件整數(shù)和實(shí)數(shù)混合規(guī)劃程序完成上述模型的求解計(jì)算。

4 數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)測(cè)試

為了驗(yàn)證提出的撓性支撐結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型及設(shè)計(jì)撓性支撐結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)形及參數(shù)的協(xié)同優(yōu)化算法，進(jìn)行了如下數(shù)值仿真及實(shí)驗(yàn)。

4.1 撓性支撐結(jié)構(gòu)整體剛度仿真與實(shí)驗(yàn)

以3個(gè)撓性單元情況為例，對(duì)撓性支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)測(cè)試。撓性支撐結(jié)構(gòu)試驗(yàn)件和有限元模型如圖10所示，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。這里，撓性支撐與實(shí)際中用于支撐光學(xué)元件的結(jié)構(gòu)有一些差別，主要為了方便測(cè)試其剛度。測(cè)試內(nèi)容包括：(1)在結(jié)構(gòu)一側(cè)施加拉力，拉力大小由力傳感器監(jiān)視，采用直線(xiàn)光柵尺測(cè)量輸出位移，根據(jù)位移隨力的變化曲線(xiàn)得到結(jié)構(gòu)整體剛度，圖11所示x軸方向；(2)轉(zhuǎn)動(dòng)撓性支撐結(jié)構(gòu)，使其具有一定的安裝角度，測(cè)試其它方向上的剛度，驗(yàn)證結(jié)構(gòu)剛度與安裝角度的關(guān)系，圖11所示y向和Ⅰ及Ⅱ方向。實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置如圖12所示，其中測(cè)力傳感器精度為0.1 N，光柵尺的測(cè)量精度為0.1 μm。

圖10 撓性支撐結(jié)構(gòu)件及其有限元模型

材料參數(shù)幾何參數(shù)彈性模量E/GPa210撓性單元數(shù)目n3泊松比ν0．3撓性單元厚度t/mm0．5密度ρ/(kg·m-3)7800撓性單元長(zhǎng)度l/mm35撓性單元寬度b/mm4

圖11 剛度測(cè)試方向

圖12 實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置

分別對(duì)撓性結(jié)構(gòu)件x軸，y軸和Ⅰ方向施加0～400 N的作用力(Ⅱ方向與Ⅰ方向反對(duì)稱(chēng))，間隔為20 N，并在有限元模型及本文推導(dǎo)的理論模型上施加同樣的力，測(cè)量和計(jì)算得到的數(shù)據(jù)如表2～4所示。

表2 試驗(yàn)件x向剛度測(cè)試數(shù)據(jù)

表3 試驗(yàn)件y向剛度測(cè)試數(shù)據(jù)

表4 試驗(yàn)件Ⅰ向剛度測(cè)試數(shù)據(jù)

應(yīng)用最小二乘法分別對(duì)3個(gè)方向上剛度測(cè)試得到的離散位移數(shù)據(jù)進(jìn)行線(xiàn)性擬合，得到的擬合結(jié)果、數(shù)值仿真及理論計(jì)算結(jié)果如圖13～15所示。

從圖13～15可以看出，3個(gè)方向上位移測(cè)試數(shù)據(jù)與有限元仿真數(shù)據(jù)吻合的非常好。然而，從圖13～15中還可以看出，由整體剛度模型(23)(即修正因子λ=1)計(jì)算得到的結(jié)果明顯小于實(shí)測(cè)及有限元仿真結(jié)果，其原因在于推導(dǎo)式(23)時(shí)，假設(shè)除撓性單元外其余部分為剛體，而試驗(yàn)件的外框架并非理想剛體，因此實(shí)際撓性支撐結(jié)構(gòu)的整體剛度低于理論計(jì)算結(jié)果。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)修正因子λ=0.65時(shí)，3個(gè)方向上的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)及仿真結(jié)果完全吻合。

此外，從3個(gè)方向的測(cè)試數(shù)據(jù)可看出，3個(gè)方向上的位移數(shù)據(jù)基本一致，證明此撓性件在各個(gè)方向上的剛度是一致的，與本文推導(dǎo)的理論模型結(jié)論一致。

圖13 x方向數(shù)據(jù)結(jié)果

圖14 y方向數(shù)據(jù)結(jié)果

圖15 Ⅰ方向數(shù)據(jù)結(jié)果

4.2 撓性支撐結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

以透鏡支撐為例，透鏡的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表5所示，設(shè)計(jì)該透鏡的撓性支撐結(jié)構(gòu)，使其面形精度達(dá)到最優(yōu)，且在不同仰角位置光軸晃動(dòng)量小于0.5 μm。由于透鏡面形精度很難用解析式表達(dá)，通常是采用有限元方法計(jì)算其變形，然后通過(guò)曲面擬合得到面形精度值[16-17]，這使得優(yōu)化模型時(shí)無(wú)法直接利用面形精度作為目標(biāo)函數(shù)或約束條件，而只能采用間接的方法。已有研究表明，面形精度隨透鏡與撓性單元作用力的增大而變差，但并未考慮撓性單元數(shù)目的影響。為此，本文以撓性支撐結(jié)構(gòu)的總變形能作為目標(biāo)函數(shù)，這樣能夠同時(shí)考慮撓性單元與透鏡的相互作用力及撓性單元數(shù)目對(duì)面形精度的影響，材料選取銦鋼4J32，參數(shù)如表6所示，將光軸位移作為約束條件，則優(yōu)化模型可表達(dá)為：

(30)

式中：δT是溫差為ΔT是透鏡的徑向變形，撓性件幾何參數(shù)約束由加工能力決定，這里為簡(jiǎn)化模型取l=35 mm。

表5 透鏡參數(shù)

表6 銦鋼材料參數(shù)

以3個(gè)撓性連接點(diǎn)情況為初始設(shè)計(jì)，首先調(diào)整撓性支撐結(jié)構(gòu)參數(shù)，即厚度t和寬度b使得光軸水平時(shí)，光軸偏移滿(mǎn)足要求，并以此為初始設(shè)計(jì)參數(shù)。應(yīng)用本文提出的優(yōu)化模型即式(30)對(duì)透鏡撓性支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，確定最佳的撓性單元數(shù)目及結(jié)構(gòu)參數(shù)。

針對(duì)初始和最優(yōu)情況下的結(jié)構(gòu)參數(shù)，分別建立相應(yīng)的有限元模型，并分析在環(huán)境溫差為50 ℃時(shí)，透鏡上表面的變形，其中有限元分析在PATRAN/NASTRAN軟件中實(shí)現(xiàn)。然后，分別對(duì)得到的變形數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，除去剛體位移項(xiàng)，計(jì)算透鏡表面的面形誤差RMS值。由于理想的溫差環(huán)境及在此環(huán)境下檢測(cè)透鏡面形需要的實(shí)驗(yàn)條件非常復(fù)雜，在此僅對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值仿真分析。

初始設(shè)計(jì)參數(shù)與最佳設(shè)計(jì)參數(shù)如表7所示，其中面形誤差RMS值為透鏡上表面面形，初始和最優(yōu)情況下透鏡的變形如圖16(彩圖見(jiàn)期刊電子版)所示。

表7 初始及最佳參數(shù)

圖16 初始情況和最佳情況下透鏡變形云圖

模型的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為環(huán)境存在溫差ΔT時(shí)撓性件的總變形能，從表7可以看出，最優(yōu)情況下的變形能及面形誤差均小于初始3個(gè)連接點(diǎn)情況，表明撓性件變形能可以反映透鏡的面形誤差，以此為目標(biāo)函數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化優(yōu)化模型是合理的。此外，通過(guò)有限元分析得到的透鏡面形誤差RMS值可以看出，通過(guò)優(yōu)化透鏡的面形精度提高了23%。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)光學(xué)元件撓性支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中剛度和柔度要求之間的矛盾，建立了光學(xué)元件撓性支撐結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型及優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。根據(jù)撓性支撐結(jié)構(gòu)的特性，將各個(gè)撓性單元簡(jiǎn)化為超靜定的梁，并推導(dǎo)了撓性單元的徑向及切向剛度。假設(shè)光學(xué)元件為剛性體，根據(jù)力平衡條件及變形協(xié)調(diào)條件，推導(dǎo)了撓性支撐結(jié)構(gòu)的整體剛度，并引入了修正因子補(bǔ)償由剛體假設(shè)帶來(lái)的誤差。以撓性結(jié)構(gòu)總變形能為目標(biāo)函數(shù)，推導(dǎo)了同時(shí)考慮撓性支撐結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)形及參數(shù)的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，模型中通過(guò)引入了整型變形將結(jié)構(gòu)整體剛度簡(jiǎn)化為整型變形和離散剛度的線(xiàn)性組合，從而使優(yōu)化模型中不含有諧波函數(shù)項(xiàng)。從數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)角度對(duì)整體剛度模型進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真及理論計(jì)算結(jié)果吻合的非常好。此外，透鏡撓性支撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果表明，通過(guò)優(yōu)化，透鏡面形精度較初始設(shè)計(jì)提高了23%。

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曹玉巖(1986-)，男，吉林大安人，助理研究員，2009年、2012年于西安電子科技大學(xué)分別獲學(xué)士、碩士學(xué)位，主要從事結(jié)構(gòu)有限元理論、結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制技術(shù)研究。E-mail：yuyan_cao@126.com

王志臣(1980-)，男，黑龍江大興安嶺人，副研究員，主要從事望遠(yuǎn)鏡光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究。E-mail：zcwang911@163.com

(本欄目編輯：馬 健)

(版權(quán)所有 未經(jīng)許可 不得轉(zhuǎn)載)

General modeling and optimal design of flexure supporting structure for optical components

CAO Yu-yan*， WANG Zhi-chen， ZHOU Chao， FAN Lei， HAN Xi-da， ZHANG Yao-zu

(Changchun Institute of Optics， Fine Mechanics and Physics，ChineseAcademyofSciences，Changchun130033，China)

A mechanical and a parameter optimization model for flexure support structure of optical components were proposed to allow the flexure structure meet simultaneously the requirements of the stiffness for optical component position and the compliance for temperature adaptability。Meanwhile， the corresponding modeling method was investigated. As this flexure structure was consisted of several identical flexure parts， it was simplified into an indeterminate beam structure， and the radical stiffness and tangential stiffness were derived using the virtual work principle. Then， by assuming optical components for the rigid body， the whole stiffness of the flexure support structure was derived based on the force equilibrium and its compatible deformation， and the correction factor was introduced to compensate the error caused by the rigid assumption. Finally， the total strain energy of the flexure structure was taken as the objective function， and the collaborative optimization model was derived considering the geometrical pattern and parameters simultaneously. By introducing the integral variables， the whole stiffness of the structure was simplified into a linear combination of the integral variable and discrete stiffness， and the harmonic terms were eliminated. The whole stiffness model was verified by the simulation and experiment， and the experiment results are highly in agreement with the simulation results. A lens mounting was taken for an example， the optimization method of the flexure mounting structure was verified. The finite element simulation results show that the surface precision of the lens has been improved by 23%.

optical component； flexure mounting structure； general model； indetermination； strain energy； optimization design

2015-12-23；

2016-02-04.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.11403023)

1004-924X(2016)11-2792-12

TH703；TP273

A

10.3788/OPE.20162411.2792

*Correspondingauthor，E-mail：yuyan_cao@126.com