大森-宇津定律的一種可能機(jī)制
----以唐山大地震為例*

胡才博 蔡永恩

1) 中國北京100049中國科學(xué)院計(jì)算地球動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2) 中國北京100049中國科學(xué)院大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院 3) 中國北京100871北京大學(xué)地球與空間科學(xué)學(xué)院

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大森-宇津定律的一種可能機(jī)制
----以唐山大地震為例*

胡才博1,2)蔡永恩3),*

1) 中國北京100049中國科學(xué)院計(jì)算地球動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2) 中國北京100049中國科學(xué)院大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院 3) 中國北京100871北京大學(xué)地球與空間科學(xué)學(xué)院

為了探討大森-宇津定律的物理機(jī)制，本文在余震區(qū)等效黏度遠(yuǎn)低于其外部，且構(gòu)造應(yīng)力場在整個(gè)余震活動(dòng)時(shí)間間隔內(nèi)基本保持不變的假設(shè)條件下，提出了一個(gè)開爾文黏彈性地震震源體概念模型．該模型可用于模擬主震后斷層蠕變和震源區(qū)應(yīng)力調(diào)整觸發(fā)的余震序列以及蠕變停止后余震終結(jié)、介質(zhì)恢復(fù)到彈性狀態(tài)、斷層重新閉鎖和積累下一次地震的整個(gè)過程．有限元方法可用來計(jì)算非均勻黏彈性地震震源體模型中主震和每次余震所引起的應(yīng)力場及其隨時(shí)間的演化過程．在此基礎(chǔ)上，采用開爾文黏彈性地震震源體概念模型和有限元方法模擬了1976年唐山MS7.8地震余震序列．結(jié)果表明：經(jīng)驗(yàn)的大森-宇津定律可以用開爾文黏彈性震源體模型來解釋，這意味著余震衰減的頻度取決于蠕變的速率；余震序列持續(xù)時(shí)間受控于震源體的黏度，即黏度越大，蠕變時(shí)間越長，余震持續(xù)的時(shí)間也就越長．

大森-宇津定律 開爾文地震震源體模型 有限元方法 唐山大地震

引言

大地震后，余震的大小、時(shí)空展布及其遷移規(guī)律等方面的研究對(duì)防震減災(zāi)和震后重建等具有重要的意義，不同研究人員從統(tǒng)計(jì)學(xué)、巖石力學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬等角度對(duì)這些問題進(jìn)行了研究，其中基于統(tǒng)計(jì)學(xué)得到的用于預(yù)測余震規(guī)律的“三定律”在地震學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用．其一為大森-宇津定律(Omori，1894; Utsu，1961)，該定律最早用于1891年日本Nobi地震的余震序列(Omori，1894)，后經(jīng)Utsu(1961)修訂完成，可用于預(yù)測余震次數(shù)隨時(shí)間的衰減關(guān)系；其二為古登堡-里克特定律(Gutenberg，Richter，1954)，描述在給定區(qū)域和一定時(shí)間范圍內(nèi)的地震震級(jí)與地震次數(shù)之間的關(guān)系，可以預(yù)測余震次數(shù)的對(duì)數(shù)隨余震震級(jí)呈線性減少的規(guī)律，但不能預(yù)測余震的發(fā)震地點(diǎn)和時(shí)間；其三為巴特(B?th)定律(Richter，1958; Utsu，1961; B?th，1965)，描述主震震級(jí)與最大余震震級(jí)之間的關(guān)系，最大余震震級(jí)一般比主震震級(jí)小1.1—1.2，兩者的差值隨主震震級(jí)的增加而減少，該定律同樣不能確定最大余震的發(fā)震地點(diǎn)和時(shí)間．關(guān)于古登堡-里克特定律的物理機(jī)制，Ohnaka(2000)和Yamaguchi等(2011)已經(jīng)進(jìn)行了很好的解釋；但關(guān)于大森-宇津定律和巴特定律的物理機(jī)制，目前仍不是很清楚(Dieterich，1994)．

大地震之后，余震發(fā)生是一種普遍現(xiàn)象，目前至少有兩種機(jī)制可以解釋其成因．一種是地震導(dǎo)致的下地殼和上地幔的應(yīng)力松弛(Freed，Lin，1998，2001)．一般認(rèn)為，下地殼和上地幔的黏度為1017—1023Pa·s (Dengetal，1998；Fleschetal，2000；Huetal，2004; Zhu，Cai，2006; Bürgmann，Dresen，2008; Thatcher，Pollitz，2008；Changetal，2013)．假定巖石的剪切模量為10 GPa，則對(duì)應(yīng)的特征松弛時(shí)間為0.3 a—0.1 Ma，即在高黏度情形下，下地殼和上地幔的應(yīng)力松弛對(duì)發(fā)震斷層應(yīng)力狀態(tài)的影響將持續(xù)很長時(shí)間(Stein，Liu，2009)．另一種是速率-狀態(tài)摩擦定律，其預(yù)測得到的余震次數(shù)隨時(shí)間的衰減規(guī)律符合大森-宇津定律(Dieterich，1994; Marsan，2006)．對(duì)于簡單的斷層幾何形狀，余震持續(xù)時(shí)間可用特征松弛時(shí)間來表示，反比于斷層加載速率(Savage，Burford，1973；Stein，Liu，2009)．Stein和Liu(2009)根據(jù)速率-狀態(tài)摩擦定律預(yù)測緩慢變形大陸內(nèi)的余震序列較快速加載的板塊邊緣的余震序列要持續(xù)更長時(shí)間．

介質(zhì)的不均勻性也嚴(yán)重影響著余震的時(shí)空分布．Hu等(2009a)利用將主震震源區(qū)介質(zhì)不均勻性考慮在內(nèi)的靜態(tài)線彈性有限元模型，研究了1976年唐山大地震的余震分布，結(jié)果表明：該模型雖然可用來解釋大型走滑型地震斷層兩側(cè)的余震分布，但不能確定其時(shí)間序列．Masterlark (2003)也利用三維有限元模型證明了介質(zhì)不均勻性會(huì)對(duì)震源區(qū)的變形和應(yīng)力演化產(chǎn)生顯著影響．

目前用于地震模擬的數(shù)值模型較多，常見的有地震位錯(cuò)模型(Okada，1992)、損傷模型(Huetal，2009a，b，2012，2013)和摩擦接觸力學(xué)模型(蔡永恩等，1999；Zhu，Zhang，2010，2013)等．地震位錯(cuò)模型將斷層視為數(shù)學(xué)上的位移不連續(xù)面，在斷層破裂過程的反演和同震、震后變形以及應(yīng)力調(diào)整的正演等方面得到了廣泛應(yīng)用．損傷模型通過降低斷層帶的彈性模量或者剪切模量來模擬地震發(fā)生，摩擦接觸力學(xué)模型則通過降低斷層接觸面上的摩擦系數(shù)來模擬地震發(fā)生；二者均為動(dòng)力學(xué)模型，均考慮了初始應(yīng)力場的影響并均能研究斷層的自發(fā)破裂，但不同的是：前者將斷層視為有一定厚度的斷層帶，后者將斷層視為物理上的摩擦不連續(xù)面．對(duì)于損傷模型，一般只考慮主震震源區(qū)的彈性參數(shù)變化，而未考慮介質(zhì)流變性對(duì)余震時(shí)空演化的影響(Huetal，2009a，b，2013)，故本文擬基于地震模擬的損傷模型，提出一個(gè)開爾文黏彈性地震震源體概念模型，并通過模擬1976年唐山MS7.8地震余震的衰減規(guī)律，探討大森-宇津定律的可能物理機(jī)制．

1 大森-宇津定律機(jī)制的力學(xué)概念模型

本文將主震斷層破裂區(qū)及其前震和余震區(qū)統(tǒng)稱為震源體．從巖石力學(xué)實(shí)驗(yàn)、野外地質(zhì)調(diào)查和地震波速(Goodman, 1989; Scholz，2002; Lietal，2002; Gudmundsson，2004)等均可推斷出震源體介質(zhì)是不均勻的，尤其是主震后斷層滑動(dòng)導(dǎo)致震源體內(nèi)裂隙增多，加劇了它的不均勻性．一般認(rèn)為，斷層是具有一定厚度的帶，由斷層核和損傷區(qū)組成(Schulz，Evans，2000; Gudmundsson，2004)．?dāng)鄬雍耸莿×椅诲e(cuò)和變形的高發(fā)區(qū)，損傷區(qū)則可能包含一系列微破裂、小斷層、巖脈和微觀變形等(Chesteretal，1993; Goddard，Evans，1995; Caine，F(xiàn)orster，1999)．例如，Li等(2002)利用斷層帶內(nèi)的導(dǎo)波確定出美國?？颂芈?Hector Mine)地震斷層帶的厚度為75—100 m，相當(dāng)于加利福尼亞蘭德斯(Landers)地震破裂帶厚度(150—250 m)的一半．

余震可視為震后震源體(余震區(qū))應(yīng)力調(diào)整的一個(gè)時(shí)間序列．本文在假設(shè)余震區(qū)等效黏度遠(yuǎn)低于其外部，且構(gòu)造應(yīng)力場在整個(gè)余震活動(dòng)時(shí)間間隔基本不隨時(shí)間改變的前提下，提出了一個(gè)開爾文黏彈性地震震源體概念模型，以探討發(fā)震斷層及震源體蠕變和應(yīng)力調(diào)整(Savage，Svarc，1997)觸發(fā)的余震與大森-宇津定律的關(guān)系．由開爾文黏彈性體的力學(xué)特性可知，當(dāng)蠕變停止后，余震終結(jié)，介質(zhì)恢復(fù)到彈性狀態(tài)，斷層閉鎖，并開始積累下一次地震的能量．其中，開爾文黏彈性模型的本構(gòu)關(guān)系(楊挺青，1990)為

(1)

(2)

式中，σij和εij分別為應(yīng)力張量和應(yīng)變張量，δij為狄拉克函數(shù)．

綜合式(1)和(2)，并寫成矩陣和向量形式，得到

(3)

{σ}=[σxxσyyσxy]T， {ε}=[εxxεyyεxy]T，

開爾文黏彈性地震震源體概念模型如圖1所示．主震震源區(qū)包括一條長90 km、厚200 m的主震斷層(圖1中白色長線)和一些長2.5 km、厚200 m的小裂縫(圖1中黑色短線)．震源區(qū)的主震斷層帶、小裂縫和原巖區(qū)等3部分的彈性模量分別為63，73和88 GPa，泊松比分別為0.40，0.40和0.25．將主震斷層帶和小裂縫假設(shè)為開爾文黏彈性體，其黏度均為1.0×1017Pa·s (Zhaoetal，1996; Faulkneretal，2006; Audetetal，2009)．主震震源區(qū)之外彈性介質(zhì)的彈性模量和泊松比分別為95 GPa和0.25(Zhu，Cai，2006; Thatcher，Poliltz，2008; Changetal，2013)．內(nèi)摩擦系數(shù)μ隨著離開主震斷層的距離越遠(yuǎn)而增加，在紅色、黃色、綠色和藍(lán)色區(qū)域分別為0.36，0.40，0.45和0.56．以上介質(zhì)參數(shù)據(jù)地震層析成像和冰后回升資料確定(Zhaoetal，1996; Faulkneretal，2006; Zhu，Cai，2006; Thatcher，Pollitz，2008; Changetal，2013)．

模型的幾何及邊界條件如圖1a所示，最大主應(yīng)力σ1和最小主應(yīng)力σ3分別為180 MPa和84 MPa，分別作用于東部邊界和北部邊界；滾筒支撐施加于西部和南部邊界．主震通過將主震斷層帶的剪切模量從22.5 GPa降為0.225 GPa來模擬，相當(dāng)于產(chǎn)生1.6 m的平均位錯(cuò)．地震后斷層內(nèi)的剪切波速度會(huì)減小(Lietal，2002)，這意味著斷層的介質(zhì)受到損壞，因此地震模擬可以通過降低斷層的剪切模量來實(shí)現(xiàn)(Huetal，2009a，b, 2013)．主震之后，當(dāng)主震震源區(qū)內(nèi)小裂隙處的應(yīng)力達(dá)到屈服強(qiáng)度時(shí)，令其剪切模量從26.1 GPa降低至0.261 GPa來模擬余震的發(fā)生．區(qū)域外的其它介質(zhì)在主震前后不發(fā)生變化，邊界條件在主震前后也不發(fā)生變化，計(jì)算的時(shí)間步長為1個(gè)月．

圖1 開爾文黏彈性震源體概念模型(a) 材料模型和邊界條件；(b) 主震震源區(qū)局部放大圖圖中DWE和DNS分別代表東西方向和南北方向的距離；滾筒表示切向自由滑動(dòng)而法向位移為零．震源體是由3種材料組成，其材料力學(xué)性質(zhì)分別用紅色、黃色和綠色代表．紅色區(qū)域表示主震震源區(qū)(包括主震斷層和破壞區(qū))，其中白色長線表示斷層核，黑色短線表示震前小破裂(前震)；藍(lán)色表示震源體外的原巖區(qū)

DWEandDNSare the distances in the N--S and E--W directions，respectively. The roll boundary denotes sliding in the tangential direction and no displacement in normal direction，respectively. The earthquake source body is composed of three regions with different material properties marked by the red，yellow and green. The red rectangular denotes the mainshock source region including mainshock fault and damaged zone，in which the white long line and black short lines mark the mainshock fault core and pre-seismic cracks (foreshocks); the blue marks the host rock region

為了定量地描述余震觸發(fā)的力學(xué)機(jī)制，Hu等(2009b)定義了一個(gè)無量綱的地震觸發(fā)因子C=|τn|/(μσn)的變化，ΔC=Ca-Cb，來作為地震觸發(fā)的判定準(zhǔn)則．其中，τn和σn分別為外法線為n的微元面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，μ為內(nèi)摩擦系數(shù)，Ca和Cb分別為震后和震前的地震觸發(fā)因子．在彈性有限元模擬中，若有限元單元的C>1或C=1，則意味著這些單元將發(fā)生庫侖破裂(余震)．發(fā)生過余震的地方將C值設(shè)定為0，以便統(tǒng)計(jì)余震次數(shù)．

2 模型結(jié)果

本文利用開爾文黏彈性地震震源體概念模型模擬了1976年唐山MS7.8大地震及其余震的時(shí)空演化．圖2和圖3分別給出了有限元模擬得到的地震觸發(fā)因子C和唐山大地震實(shí)際余震的時(shí)空分布圖．

圖2 有限元模擬得到的主震后地震觸發(fā)因子C的時(shí)空分布圖(a) 主震后第1個(gè)月；(b) 主震后第2個(gè)月；(c) 主震后第3個(gè)月；(d) 主震后第4個(gè)月；(e) 主震后第6個(gè)月；(f) 主震后第9個(gè)月；(g) 主震后第36個(gè)月；(h) 主震后第40個(gè)月模型尺寸為200 km×200 km. 白色區(qū)域表示地震觸發(fā)因子C≥1，余震發(fā)生；紅色區(qū)域表示臨近庫侖破裂; 藍(lán)色區(qū)域表示地震觸發(fā)因子C=0，意味著之前已發(fā)生過余震

從圖2可以看出：在大地震之后的第1個(gè)月，大部分余震發(fā)生在主震震源區(qū)，特別是在主震斷層帶的兩個(gè)尖端附近區(qū)域(白色區(qū)域)，還有一些余震發(fā)生在主震斷層帶的兩側(cè)(圖2a)；主震后第2—4個(gè)月，在主震斷層尖端，余震會(huì)隨時(shí)間逐漸向外遷移，余震次數(shù)隨時(shí)間迅速減少(圖2b--d)；主震后第2—9個(gè)月，在主震斷層的兩個(gè)尖端附近逐漸形成四葉形的紅色和橙色區(qū)域(圖2b--f)，這些區(qū)域非常接近庫侖破裂，與庫侖應(yīng)力變化ΔCFS>0區(qū)域較類似；主震后36—40個(gè)月，地震觸發(fā)因子C≥1的區(qū)域(白色區(qū)域)非常小，意味著余震次數(shù)也非常少(圖2g，h)．四葉形的紅色區(qū)域在36個(gè)月之后趨于穩(wěn)定，不再增大或縮小，該結(jié)果與馬克斯威爾黏彈性模型得到的庫侖應(yīng)力變化ΔCFS>0的區(qū)域會(huì)在主震之后逐漸擴(kuò)大的結(jié)果(Freed，Lin，1998，2001)非常不一樣．

圖3 1976年MS7.8唐山大地震之后6年的實(shí)際余震(MS>4.0)的時(shí)空分布圖*地震數(shù)據(jù)引自中國地震局臺(tái)網(wǎng)中心內(nèi)部資料.(a) 第1年內(nèi); (b) 第2年內(nèi)；(c) 第3年內(nèi)；(d) 第4年內(nèi)；(e) 第5年內(nèi)；(f) 第6年內(nèi)圖中八角星為唐山大地震主震，圓圈表示其余震

將有限元概念模型模擬的地震觸發(fā)因子(圖2)與唐山大地震實(shí)際余震(圖3)的時(shí)空分布圖進(jìn)行對(duì)比可知，兩者具有很好的一致性，均顯示出余震次數(shù)隨時(shí)間逐漸減小的規(guī)律，符合大森-宇津定律．

假設(shè)每個(gè)時(shí)間步得到的地震觸發(fā)因子C≥1的有限元單元個(gè)數(shù)近似等效于余震次數(shù)，有限元模型預(yù)測得到的余震次數(shù)隨時(shí)間的變化如圖4a所示．可以看出，用概念模型得到的結(jié)果與唐山大地震實(shí)際觀測得到的衰減規(guī)律具有很好的一致性(圖4)，余震次數(shù)隨時(shí)間急劇衰減的規(guī)律與大森-宇津定律(Omori，1894)的預(yù)測結(jié)果一致．

圖4 1976年唐山大地震的有限元模擬余震次數(shù)(a)和實(shí)際余震(MS>4.0)(b)隨時(shí)間的變化曲線

3 討論與結(jié)論

本文采用開爾文黏彈性震源體概念模型來研究走滑地震之后余震的時(shí)空分布．結(jié)果表明：模型預(yù)測的余震次數(shù)隨時(shí)間的衰減符合大森-宇津定律，這意味著余震衰減的頻度取決于震源體蠕變的速率；余震序列的持續(xù)時(shí)間受控于震源體的黏度，即黏度越大，蠕變時(shí)間越長，余震的持續(xù)時(shí)間也就越長．本文的重心不在于具體確定大森-宇津定律中的參數(shù)，這些參數(shù)僅描述了余震的統(tǒng)計(jì)特性，其物理意義目前還未明確．

本文提出的開爾文黏彈性地震震源體模型，主要考慮的是震源體的震后蠕變；而馬克斯威爾黏彈性模型，考慮的是主震后下地殼和上地幔的黏彈性應(yīng)力松弛對(duì)余震觸發(fā)的影響，并廣泛應(yīng)用于模擬余震觸發(fā)研究中．開爾文黏彈性地震震源體模型可以解釋震后斷層的緩慢滑動(dòng)，正是這種滑動(dòng)引起的震源體應(yīng)力變化觸發(fā)了余震；當(dāng)蠕變終結(jié)，余震停止，介質(zhì)恢復(fù)到彈性狀態(tài)，斷層閉鎖后開始積累下一次地震的能量．?dāng)鄬酉到y(tǒng)的復(fù)雜幾何形狀同樣會(huì)影響余震分布(Saucieretal，1992；Li，Liu，2006; Lietal，2009)，而本文使用的斷層幾何模型雖然很簡單，但不會(huì)改變余震隨時(shí)間衰減的大森-宇津定律基本特征．

通過有限元模擬得到了1976年唐山大地震余震次數(shù)與時(shí)間之間的衰減關(guān)系．其中，假設(shè)每個(gè)時(shí)間步內(nèi)地震觸發(fā)因子C≥1的有限元單元個(gè)數(shù)與余震次數(shù)等效，這個(gè)假設(shè)非常粗略，因?yàn)樵摷僭O(shè)暗示有限元單元的尺寸與余震震源的尺寸相同，而未考慮余震震級(jí)大小的不同．從有限元模型預(yù)測的結(jié)果來看，盡管這個(gè)假設(shè)較為粗略，但還是可以解釋大森-宇津定律以及唐山大地震實(shí)際余震次數(shù)隨時(shí)間的衰減規(guī)律．

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A possible mechanism of Omori-Utsu’s law through an example of the great Tangshan earthquake

Hu Caibo1,2)Cai Yongen3),*

1)KeyLaboratoryofComputationalGeodynamics，ChineseAcademyofSciences，Beijing100049，China2)CollegeofEarthSciences，UniversityofChineseAcademyofSciences，Beijing100049，China3)DepartmentofGeophysics，PekingUniversity，Beijing100871，China

This paper proposes a conceptual model of earthquake source body with Kelvin viscoelastic property to investigate the physical mechanism of Omori-Utsu’s law，supposing that tectonic stress field after main shock does not change with time and equivalent viscosity in the aftershock region is much lower than that of its outside in the period of total aftershock activity. This model can simulate aftershock sequence induced by post-seismic creep and stress readjustment，and the whole process including creep stopping，materials recovering to its elastic state，and faulting turning to stick state for next earthquake. Finite element method is used to calculate stress field evolution caused by a main shock and its aftershocks in the model with heterogeneous material properties. Further- more，the model and the method are used to simulate decay of the aftershock frequency of the 1976MS7.8 Tangshan earthquake. The results show that the mechanism of Omori-Utsu’s law may be attributed to the stress changes caused by the creep of the fault and earthquake source body，which implies that aftershock frequency depends on the creep rate and decay time of the aftershocks is controlled by the equivalent viscosity. The lager the viscosity is，the longer the creep time or the aftershocks last.

Omori-Utsu’s law；Kelvin earthquake source body model；finite element method；the great Tangshan earthquake

10.11939/jass.2016.04.005.

國家自然基金(41474085, 41474080和41004038)、中國科學(xué)院大學(xué)校長基金(Y35101EY00)和中國博士后基金(20090460130)共同資助.

2016-05-09收到初稿，2016-06-20決定采用修改稿.

10.11939/jass.2016.04.005

P315.08

A

胡才博，蔡永恩. 2016. 大森-宇津定律的一種可能機(jī)制----以唐山大地震為例. 地震學(xué)報(bào), 38(4): 580--589.

Hu C B, Cai Y E. 2016. A possible mechanism of Omori-Utsu’s law through an example of the great Tangshan earthquake.ActaSeismologicaSinica, 38(4): 580--589.doi:10.11939/jass.2016.04.005.

*通訊作者 e-mail: yongen@pku.edu.cn