立體幾何中的轉(zhuǎn)化思想方法

馬怡平●

江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué)(215500)

?

立體幾何中的轉(zhuǎn)化思想方法

馬怡平●

江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué)(215500)

立體幾何中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法.求解立體幾何問(wèn)題時(shí)用得最多的是轉(zhuǎn)化的思想方法，它可把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.下面是常見(jiàn)的幾種轉(zhuǎn)化手段.

一、分割與補(bǔ)形

通過(guò)分割與補(bǔ)形，可把不規(guī)范、不易求解的幾何體轉(zhuǎn)化成規(guī)范的幾何體，化生為熟，化難為易，實(shí)現(xiàn)突破.

例1 如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AA1,BB1,CC1都與面ABC垂直，且AA1=3，BB1=2,CC1=1，求該幾何體ABC-A1B1C1的體積V.

解法1 (分割法)如圖2，過(guò)三點(diǎn)A、B、C1作平面，將這個(gè)不能直接求體積的幾何體分割成兩個(gè)可求體積的三棱錐C1-ABC和四棱錐C1-AA1B1B.

解法2 (補(bǔ)形法)由題設(shè)幾何體的特征，將AA1，BB1,CC1分別接上1，2，3，構(gòu)成正三棱柱ABC-A2B2C2,如圖3.顯然補(bǔ)上的幾何體與原幾何體是等積的，因此該正三棱柱的體積是原幾何體體積的二倍.

二、頂點(diǎn)與底面

對(duì)于四面體(三棱錐)體積的求解，可認(rèn)定某一個(gè)頂點(diǎn)為三棱錐的頂點(diǎn)，該頂點(diǎn)所對(duì)的面為底面，那么就可以用棱錐的體積公式計(jì)算了.由于頂點(diǎn)與底面選擇的多樣靈活性，會(huì)給解題帶來(lái)方便.

例2 如圖4,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E是BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，求三棱錐D1-A1EF的體積.

解 三棱錐D1-A1EF的底面積和高都難求得，變更頂點(diǎn)為F，則F所對(duì)底面A1ED1的面積不難求了.但F到底面A1ED1的距離仍比較難求，為此，取棱AB的中點(diǎn)G，易知GF∥A1D1，可推得GF∥面A1ED1,因此三棱錐F-A1ED1與三棱錐G-A1ED1等體積，但頂點(diǎn)G到面A1ED的距離仍不易求.再次變更頂點(diǎn)，以D1為頂點(diǎn)，A1EG為底面，顯然三棱錐D1-A1EG的底面積、高都易求.因此，VD1-A1EF=VF-A1ED1=VG-A1ED1=VD1-A1EG.

三、平移與旋轉(zhuǎn)

在難以直接求解的立體問(wèn)題中，對(duì)某些幾何元素作一些恰當(dāng)?shù)钠揭?、轉(zhuǎn)動(dòng)等變換，轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，是立體幾何中解題的基本手法.

例3 設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)都是2.

(1)求異面直線CA1與AB1所成角的余弦值；

(2)設(shè)A1C1的中點(diǎn)是M，BB1的中點(diǎn)是N，求由M沿幾何體表面到N的最短距離.

(2)由M沿幾何體表面到N的最短距離，利用旋轉(zhuǎn)法，將兩個(gè)平面轉(zhuǎn)動(dòng)到同一個(gè)平面，轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離.

四、平行與垂直

立體幾何中研究的線與線、線與面，面與面的位置關(guān)系中，最基本，最常見(jiàn)的就是平行與垂直的關(guān)系.而平行與垂直關(guān)系卻是相互依存的，把握它們之間的辯證關(guān)系進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，常可打開(kāi)思路，順利解題.

例4 設(shè)AB是異面直線AC與BD的公垂線段，AC⊥面α,BD⊥面β，α∩β=l,求證AB∥l.

?

? 證法1 (用平行轉(zhuǎn)化)如圖7，由AC、AB確定平面γ，記γ∩α=CE.由

由AB、BD確定平面δ，記δ∩β=FD.同上可得AB∥

說(shuō)明 證法1利用線與線平行的傳遞性，以平行類定理為主線來(lái)證明；而證法2卻從垂直的角度來(lái)思考，構(gòu)造出平面γ，利用AB、l同垂直于平面γ，獲得結(jié)論.兩種證法各展風(fēng)采.

G632

B

1008-0333(2016)28-0045-02