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    芻議高中數(shù)學(xué)中幾何證明題的解題技巧

    2016-12-16 08:20:22唐家泰
    數(shù)理化解題研究 2016年28期
    關(guān)鍵詞:證明題題干解題技巧

    唐家泰●

    湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)(410000)

    ?

    芻議高中數(shù)學(xué)中幾何證明題的解題技巧

    唐家泰●

    湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)(410000)

    幾何證明題是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),也是高考考試中出現(xiàn)頻率很高的一種題型,它主要考查了同學(xué)們的邏輯思維能力和分析解決問(wèn)題的能力.在解決幾何證明題的過(guò)程中,通過(guò)采取適當(dāng)?shù)慕忸}技巧,可達(dá)到事半功倍的效果.本文根據(jù)幾個(gè)證明題實(shí)例分析了幾何問(wèn)題的幾個(gè)解決方法,同學(xué)們可以參考這些解題技巧,靈活運(yùn)用,提高自身的數(shù)學(xué)成績(jī).

    高中數(shù)學(xué);幾何證明題;解題技巧

    幾何證明題在我們的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占很大一部分,同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí),經(jīng)常出現(xiàn)以下幾個(gè)問(wèn)題.首先,當(dāng)我們看到這類(lèi)題會(huì)存在畏懼心理,潛意識(shí)感覺(jué)題目較難,不易解答;其次,同學(xué)們經(jīng)常對(duì)幾何問(wèn)題中的概念或定義理解不深或認(rèn)識(shí)不全,在解題過(guò)程中容易出現(xiàn)偏差;再者,平時(shí)對(duì)這類(lèi)題目的訓(xùn)練較少,運(yùn)算能力差,導(dǎo)致解題過(guò)程出現(xiàn)差錯(cuò);另外,解決幾何問(wèn)題時(shí),向量也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇,一味采用普通解題方法導(dǎo)致解題過(guò)程繁雜,錯(cuò)誤頻出;最后是對(duì)幾何證明題的數(shù)學(xué)思想方法理解不足,靈活性欠缺,題目經(jīng)稍加變形或與其它題型綜合后,便不能較好地解答.下面我總結(jié)了幾個(gè)高中數(shù)學(xué)中幾何證明題的解題技巧,希望能給同學(xué)們帶來(lái)新的思路或解題方法.

    1.添加輔助線或輔助圖形

    解析幾何證明類(lèi)題目,通常只有題干,沒(méi)有配圖,有些即使配有圖,但表現(xiàn)不明確,這就需要同學(xué)們自己經(jīng)過(guò)對(duì)題干的分析,畫(huà)出相應(yīng)幾何圖形,并根據(jù)條件添加適當(dāng)輔助線或輔助圖形,方便題目解答.

    例1 設(shè)有一個(gè)三棱錐,D點(diǎn)為頂點(diǎn),底面為三角形△ABC,三條棱DA,DB,DC兩兩互相垂直,P是底面△ABC內(nèi)的一點(diǎn),若DP與面DBC和面DAB所成的角分別是 30°和45°,求PD與平面DAC所成角的正弦值.

    解析 以DP為對(duì)角線,DA,DB,DC所在直線為三條邊,構(gòu)建一個(gè)長(zhǎng)方體.則該問(wèn)題就特殊化了:求長(zhǎng)方體對(duì)角線DP與側(cè)面DAC的夾角的正弦值.

    設(shè)DP與面DBC、面DAB、面DAC的夾角分別為α、β、γ,則sin2α+sin2β+sin2γ=1. 已知條件α=30°,β=45°則sin2γ=1-(sin2α+sin2β)=1/4,所以sinγ=1/2.

    2.以結(jié)論推條件

    在解題過(guò)程中,可預(yù)先對(duì)結(jié)論進(jìn)行假設(shè),把假設(shè)的結(jié)論作為條件,反過(guò)來(lái)推導(dǎo)與題干相關(guān)的結(jié)論,經(jīng)過(guò)對(duì)比明確假定結(jié)論的正確性,該方法可實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的明確性.

    解析 (1) 證明sinα+sin2β=0,即是證明sinα=-sin2β;等式兩邊為不同的三角函數(shù),可先假設(shè)兩者相等,經(jīng)過(guò)三角函數(shù)變換得到cos(π/2-α)=cos(π-2β),即需要證明π/2-α=π-2β.這一點(diǎn)經(jīng)繪圖后可明顯看出.

    3.采用數(shù)形結(jié)合

    數(shù)形結(jié)合的定義就是把題干中所給出條件的數(shù)字與具體圖形一一對(duì)應(yīng)起來(lái),用直觀且簡(jiǎn)單的幾何圖形把復(fù)雜且抽象的數(shù)量關(guān)系、語(yǔ)言及位置關(guān)系直觀地表示出來(lái),通過(guò)抽象與想象思維之間的結(jié)合,以數(shù)解形來(lái)使得復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單;抽象的問(wèn)題變得具體,成功的優(yōu)化解決問(wèn)題的途徑.

    在進(jìn)行數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題時(shí),要理清以下要素,首先要確定題目中所給的函數(shù)式具有明顯的幾何意義,能夠通過(guò)圖形表示出函數(shù)所表達(dá)的范圍;確定以三角函數(shù)、向量及復(fù)數(shù)等在幾何條件背景中成功建立的條件;明確圖形與函數(shù)、數(shù)軸與實(shí)點(diǎn)、曲線與方程等的具體對(duì)應(yīng)關(guān)系.

    4.分析題干信息,提取必要條件

    高中數(shù)學(xué)考查的不只是同學(xué)們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度,還在一定程度上對(duì)同學(xué)們的細(xì)心程度進(jìn)行檢驗(yàn).在解題時(shí),要對(duì)題干中的一些干擾條件進(jìn)行區(qū)分,明確對(duì)結(jié)論有幫助的條件,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行題目解析,可有效地提高解題效率.“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”,以上介紹的也只是解題技巧,同學(xué)們可以輕松地記憶和理解這些解題技巧,但要將這些技巧成功地運(yùn)用到解題過(guò)程中,需要我們進(jìn)行大量的題型訓(xùn)練,采用一題多練、一題多解等等方法不斷重復(fù)練習(xí)該類(lèi)幾何證明題.并在此基礎(chǔ)上做好錯(cuò)題分析與歸納整理,實(shí)現(xiàn)解題過(guò)程中質(zhì)量的提升.

    [1] 江士彥.芻議高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧[J].讀與寫(xiě): 教育教學(xué)刊,2015 (11)

    [2] 陳彩堂,陳雪蛟.新課改下高中數(shù)學(xué)解答題解題規(guī)范問(wèn)題與對(duì)策[J].河北理科教學(xué)研究,2009(5)

    [3] 魏華.高中數(shù)學(xué)解題策略分析 ——以高中的立體幾何作為具體例子進(jìn)行分析[J].神州,2012(05)

    [4] 姜勇鋼.緊扣問(wèn)題特性 提升學(xué)習(xí)效能——淺議高中數(shù)學(xué)問(wèn)題教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)[J].文理導(dǎo)航(中旬),2012(11)

    G632

    B

    1008-0333(2016)28-0036-01

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