一道黑龍江省考題的解法研究

蘇保明●

云南省蒙自市蒙自一中(新校區(qū))(661100)

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一道黑龍江省考題的解法研究

蘇保明●

云南省蒙自市蒙自一中(新校區(qū))(661100)

在平時(shí)的解題中常常會(huì)遇到一類帶條件的整式型最值問題，而這類問題解決難度不大，只要認(rèn)真思考、仔細(xì)研究，就一定能找到最佳解法. 本文列舉一例解析如下：

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

解 (Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以|x+2|+|6-x|-m≥0在R上恒成立，所以|x+2|+|6-x|≥m在R上恒成立，設(shè)g(x)=|x+2|+|6-x|，則g(x)min≥m．

因?yàn)閨x+2|+|6-x|≥|(x+2)+(6-x)|=8，所以g(x)min=8,所以m≤8．

針對第(Ⅱ)問，經(jīng)過筆者認(rèn)真思考和研究，給出下面多種解法.

方法一 常數(shù)代入法

解法1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知m≤8，所以n=8，

方法二 利用公式求最值.

方法三 三角法

評注 遇到二元二次代數(shù)式(或等式),若能化為兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為1時(shí),則可利用cos2α+sin2α=1設(shè)出適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q式，即把所求問題轉(zhuǎn)化為三角問題進(jìn)行求解.

方法四 向量法

方法五 柯西不等式法

評注 柯西不等式的引入，為解決某些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題添增了新的思想方法，并能給解題者一種快樂感和成功感.本題通過柯西不等式把較為復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)不等式問題，從而快速、準(zhǔn)確解決.

方法六 “零值”法

評注 有時(shí)求整式(或分式)的最值問題時(shí)，可通過構(gòu)造“零值”型等式，從而轉(zhuǎn)化為含參數(shù)λ的不等式，其中需要根據(jù)等號成立的條件先求出參數(shù)λ的值，進(jìn)而求出原問題的最值.

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1008-0333(2016)28-0013-02