不確定環(huán)境下應(yīng)急設(shè)施選址問題兩階段魯棒優(yōu)化模型

杜 博， 周 泓

?

不確定環(huán)境下應(yīng)急設(shè)施選址問題兩階段魯棒優(yōu)化模型

杜 博， 周 泓

(北京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100191)

對于應(yīng)急物流管理而言，應(yīng)急物資集散中心選址是一個重要的決策要素。針對應(yīng)急突發(fā)事件的不確定性特征，本文提出了一個應(yīng)急設(shè)施選址問題兩階段魯棒優(yōu)化模型，以實(shí)現(xiàn)“預(yù)選址—重選址”兩者的協(xié)同優(yōu)化。第一階段在需求和成本變動、設(shè)施損毀存在不確定因素的情況下，綜合考慮選址策略在災(zāi)前規(guī)劃、災(zāi)后反應(yīng)、設(shè)施重建階段的不同需求，建立了一種基于p-center的魯棒“預(yù)選址”模型；第二階段針對災(zāi)后新信息的獲得，建立了一種基于反應(yīng)式修復(fù)和調(diào)整策略的新建設(shè)施“重選址”模型。算例分析表明，本文模型對于應(yīng)急設(shè)施選址問題比傳統(tǒng)p-center模型更為合理有效。

應(yīng)急物流管理；設(shè)施選址；魯棒優(yōu)化

DUBo,ZHOUHong

(SchoolofManagementandEconomics,BeihangUniversity,Beijing100191,China)

Keywords：emergencylogisticsmanagement;facilitylocation;robustoptimization

近年來，突發(fā)性自然災(zāi)害和人為事故所造成的危害程度正在不斷增加，提高突發(fā)事件下的應(yīng)急管理能力逐漸成為了管理學(xué)界的研究重點(diǎn)和熱點(diǎn)。在突發(fā)事件處置工作中，不可避免地要處理大量應(yīng)急或救援物資，因而應(yīng)急物流管理成為應(yīng)急突發(fā)事件管理中的核心問題之一。而應(yīng)急設(shè)施選址問題又有著獨(dú)特的地位，是應(yīng)急物資管理的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，是不可或缺的重要組成部分。本文主要針對應(yīng)急物資集散中心的選址開展研究。

1 文獻(xiàn)綜述

1.1 應(yīng)急設(shè)施選址問題

國內(nèi)外學(xué)者針對應(yīng)急設(shè)施選址問題一直在進(jìn)行不懈的研究。與普通選址問題類似，應(yīng)急設(shè)施選址問題的模型主要有3種：覆蓋(covering)模型、p-中值(p-median)模型、p-中心(p-center)模型[1，3- 4]。這3類模型的主要區(qū)別在于優(yōu)化目標(biāo)不同，覆蓋模型的目標(biāo)是以最少的設(shè)施覆蓋所有需求點(diǎn)或者是尋求覆蓋最大比例的需求點(diǎn)；p-中值模型以優(yōu)化需求點(diǎn)和設(shè)施之間的總距離(成本)為目標(biāo)；p-中心問題則體現(xiàn)了公平性的思想，以優(yōu)化需求點(diǎn)和設(shè)施之間最大距離為目標(biāo)。不同的目標(biāo)使這3類模型可適用于不同類型的突發(fā)事件，Jia等[4]將3種模型分別用于應(yīng)對臟彈、炭疽熱、天花病毒3種恐怖襲擊的救災(zāi)物資儲備設(shè)施選址。Guan等[5]將軸-輻式網(wǎng)絡(luò)模型與覆蓋模型相結(jié)合用于應(yīng)急設(shè)施選址，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)中的樞紐應(yīng)對突發(fā)事件。王成等[6]提出一種基于覆蓋率的遞歸k-means選址方法，可以自動計算出某區(qū)域所需要的應(yīng)急設(shè)施數(shù)量和位置。樊博[7]應(yīng)用空間聚類技術(shù)研究了應(yīng)急服務(wù)機(jī)構(gòu)的選址問題，通過采用聚類分析的數(shù)據(jù)模型，在改進(jìn)既有空間聚類算法的基礎(chǔ)上，提出以k-means聚類算法縮減解空間的搜索范圍、以模擬退火算法為尋優(yōu)搜索策略，并基于GIS系統(tǒng)提出一種空間聚類算法，以實(shí)現(xiàn)應(yīng)急救援設(shè)施的選址。Zhang等[8]針對應(yīng)急物流系統(tǒng)提出了一個基于節(jié)點(diǎn)加權(quán)的瓶頸斯坦納樹多目標(biāo)選址優(yōu)化模型，并利用細(xì)胞隨機(jī)擴(kuò)散搜索方法來對此選址優(yōu)化模型進(jìn)行求解。黃向榮等[9]則考慮到大型突發(fā)事件的突發(fā)性、不確定性以及食品在運(yùn)輸和存儲過程中易腐受損等特點(diǎn)，建立了一個針對食品物流應(yīng)急配送中心選址的評價指標(biāo)體系，并在此基礎(chǔ)上建立了一個基于蟻群算法和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的選址模型。Gang等[10]在雙層選址模型中應(yīng)用機(jī)會約束來表示環(huán)境的不確定性，并引入滿意度的指標(biāo)保證上層政府和下層所有需求點(diǎn)的公平性。

1.2 魯棒選址問題

針對自然災(zāi)害的應(yīng)急物流系統(tǒng)建模中，一個不可回避的因素是設(shè)施損毀問題。Drezner[11]首先提出了考慮設(shè)施可靠性的選址問題，在應(yīng)急管理中具有很強(qiáng)的實(shí)際意義。朱建明[12]在設(shè)施損毀情景的基礎(chǔ)上提出了一種應(yīng)急設(shè)施選址的多目標(biāo)決策方法，用覆蓋為目標(biāo)反映救援時效性，最大救援半徑反映均衡性，設(shè)施損毀情境下額外增加的救援變更時間反映魯棒性。在突發(fā)事件中，魯棒優(yōu)化(robustoptimization)方法注重在有限的信息下，使不確定情景中最壞情況下的目標(biāo)最優(yōu)，這能夠保證在應(yīng)急救援中的決策在任何條件下不會得到太差的結(jié)果。隨著事件發(fā)展，不確定性的降低，利用魯棒優(yōu)化可引入新信息實(shí)現(xiàn)后續(xù)策略調(diào)整，得到更好的結(jié)果[2]。葛春景等[13]在集覆蓋軸-輻網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上，提出了應(yīng)急服務(wù)設(shè)施軸-輻網(wǎng)絡(luò)布局的雙重魯棒優(yōu)化模型，用魯棒偏差系數(shù)控制魯棒解與預(yù)設(shè)情境下最優(yōu)解之間的最大出行時間的偏差以及目標(biāo)函數(shù)值的偏差。張玲等[14]提出了一個基于不確定需求的二階段應(yīng)急資源配置模型，并應(yīng)用可調(diào)整魯棒優(yōu)化方法進(jìn)行求解。張玲等[15]提出了基于情景的最小最大后悔值準(zhǔn)則的應(yīng)急設(shè)施選址-調(diào)度魯棒優(yōu)化模型，并利用情景松弛的迭代算法進(jìn)行求解。馮春等[16]在需求不確定的情景下，提出了一個有最大運(yùn)輸距離限制的應(yīng)急物資儲備庫選址問題魯棒優(yōu)化模型。Lu[17]提出了一個魯棒p-center選址模型，用區(qū)間數(shù)來表示物流成本和需求的不確定性集合，以最差情況下最大需求加權(quán)距離和最優(yōu)最大需求加權(quán)距離的偏差為優(yōu)化目標(biāo)，提出了一個能在該模型下識別最差情景的定理，并根據(jù)該定理使用遺傳算法和模擬退火算法對模型進(jìn)行求解。Zeng等[18-19]基于經(jīng)典的魯棒優(yōu)化模型提出一個兩階段魯棒p-median選址混合整數(shù)規(guī)劃模型，在考慮設(shè)施可靠性條件下，以最差情境下的性能最優(yōu)為目標(biāo)，在第1階段得到具有魯棒性的選址方案，同時隱含了第2階段情景發(fā)生時的調(diào)整決策，并設(shè)計一種精確算法來求解這一問題。

由于突發(fā)事件往往前兆不充分，具有明顯的復(fù)雜性特征，尤其是信息具有高度不確定性，且隨著時間的推進(jìn)呈動態(tài)變化規(guī)律，因此決策活動也是一個遞進(jìn)和序貫的過程。突發(fā)事件發(fā)生時，預(yù)先安排好的方案可能無法順利實(shí)施，有效的解決手段是尋找一個高魯棒性的預(yù)規(guī)劃，并在實(shí)際運(yùn)作過程中針對發(fā)生的變化和新信息對初始規(guī)劃進(jìn)行修正。在前述研究的基礎(chǔ)上，本文考慮需求和成本變動、設(shè)施損毀的不確定性，提出了一種應(yīng)急設(shè)施選址問題兩階段魯棒優(yōu)化模型，第1階段為魯棒性的“預(yù)選址”，模型在傳統(tǒng)的p-center選址模型基礎(chǔ)之上，又同時考慮了選址策略在災(zāi)后、新設(shè)施建立前后的性能需求；第2階段為基于反應(yīng)式修復(fù)和調(diào)整策略的新建設(shè)施“重選址”，以綜合成本最小為目標(biāo)。與文獻(xiàn)[18]中的p-median魯棒選址模型相比，本文采用的p-center選址模型更能體現(xiàn)公平性，更符合應(yīng)急突發(fā)事件的特征；在“預(yù)選址”模型中不僅考慮新建設(shè)施，同時考慮了災(zāi)后反應(yīng)的需求；本文的第2階段“重選址”模型是在“預(yù)選址”策略的基礎(chǔ)之上，針對新信息做出重建設(shè)施的決策。最后通過算例分析，表明了本文模型得到的魯棒性選址策略的可行性；并通過與傳統(tǒng)p-center模型的對比，體現(xiàn)了本文模型所得策略的優(yōu)越性與合理性。

2 應(yīng)急設(shè)施選址問題兩階段魯棒優(yōu)化模型

p-center模型能夠體現(xiàn)對于每個需求點(diǎn)公平性。本文基于這一出發(fā)點(diǎn)，在傳統(tǒng)p-center模型基礎(chǔ)上考慮預(yù)選址與重選址2個階段，預(yù)選址決策同時考慮災(zāi)前規(guī)劃、災(zāi)后反應(yīng)、設(shè)施重建3個時段的最大需求加權(quán)成本，得到具有魯棒性的預(yù)規(guī)劃；重選址在預(yù)選址和實(shí)際災(zāi)情的基礎(chǔ)之上，以最小的綜合成本進(jìn)行新建設(shè)施及設(shè)施分配的重新規(guī)劃，在最小綜合成本中，考慮了由于物資重新分配所產(chǎn)生的調(diào)整成本和計劃變更所帶來的不便，因此目標(biāo)函數(shù)同時包括了性能指標(biāo)和魯棒性指標(biāo)。

2.1 問題描述

突發(fā)事件發(fā)生前，決策者無法獲得準(zhǔn)確的信息，只能根據(jù)可能發(fā)生的情景、需求和成本的估計值來進(jìn)行預(yù)選址規(guī)劃；突發(fā)事件發(fā)生后，新的需求和成本信息隨之出現(xiàn)，此時部分應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)被破壞，而未被破壞的設(shè)施可滿足部分需求；最后，決策者根據(jù)新信息選擇未被破壞的地點(diǎn)新建設(shè)施，并滿足剩余需求。

針對以上問題，假定平面上存在2個集合，分別是需求點(diǎn)集合和可選設(shè)施點(diǎn)集合。在不考慮設(shè)施容量的前提下，已知：所有需求點(diǎn)在災(zāi)難發(fā)生時的預(yù)期需求；任意兩點(diǎn)間在正常情況下的運(yùn)輸成本；災(zāi)難發(fā)生時，設(shè)施點(diǎn)破壞情況的情景集合(假設(shè)每個情境下都有若干個可選設(shè)施點(diǎn)受災(zāi)使得位于這些點(diǎn)的設(shè)施被破壞，并且設(shè)施不能在原地重建)；每個情景發(fā)生時，任意兩點(diǎn)間的運(yùn)輸成本；每個情景發(fā)生時，重建設(shè)施前的預(yù)期需求和重建設(shè)施后的預(yù)期剩余需求；設(shè)施數(shù)量上限為p。

定義參數(shù)及決策變量如下。

1)參數(shù)。

I為需求點(diǎn)集合；

J為可選設(shè)施點(diǎn)集合；

K為情景集合；

k={kj|j∈J}∈K為情景；若設(shè)施點(diǎn)j損毀，則kj=1，否則kj=0。

cij為i,j兩點(diǎn)間正常情況下的單位運(yùn)輸成本；

di為i點(diǎn)的需求；

p為設(shè)施數(shù)量上限；

cij(k)為情景k發(fā)生時，i,j兩點(diǎn)間單位運(yùn)輸成本；

di(k)為情景k發(fā)生時，重建設(shè)施前，i點(diǎn)的需求；

di'(k)為情景k發(fā)生時，重建設(shè)施后，i點(diǎn)的剩余需求；

B為新建設(shè)施的成本；

Lmax為每個需求點(diǎn)的運(yùn)輸成本最高預(yù)算；

α1,α2,α3,γ為權(quán)重。

2)決策變量。

yj:當(dāng)點(diǎn)j被選擇修建設(shè)施時為1,否則為0；

xij:需求點(diǎn)i被分配至設(shè)施j時為1,否則為0；

wij:新建設(shè)施前，需求點(diǎn)i的需求由設(shè)施j滿足時為1,否則為0；

uj:在點(diǎn)j為新建設(shè)施時為1,否則為0；

vij:新建設(shè)施后，需求點(diǎn)i被分配至設(shè)施j時為1,否則為0。

2.2 魯棒p-center預(yù)選址模型

(1)

subjectto

,?i;

(2)

(3)

(4)

(5)

xij≤yj，?i,j;

(6)

(7)

wij≤yj,?i,j;

(8)

wij≤1-kj,?i,j;

(9)

(10)

vij≤yj+uj,?i,j;

(11)

vij≤1-kj,?i,j;

(12)

(13)

uj+yj≤1,?j;

(14)

uj+kj≤1,?j;

(15)

(16)

xij,yj,wij,uj,vij=0或1。

(17)

式(1)為目標(biāo)函數(shù)，由3個部分組成，L1為災(zāi)前需求點(diǎn)與設(shè)施之間的最大運(yùn)輸成本，L2為災(zāi)后情境k下設(shè)施重建前，需求點(diǎn)與設(shè)施之間的最大運(yùn)輸成本，L3為災(zāi)后情境k下設(shè)施重建后，需求點(diǎn)與設(shè)施之間的最大運(yùn)輸成本；式(5)限制設(shè)施數(shù)量不超過p個；式(6)表示修建設(shè)施的節(jié)點(diǎn)才能服務(wù)于需求點(diǎn)；式(7)表示每個需求點(diǎn)由一個設(shè)施服務(wù)，同式(10)和(13)；式(8)和(9)表示僅當(dāng)j點(diǎn)有設(shè)施、且該設(shè)施未被破壞時，才能在災(zāi)后設(shè)施重建前服務(wù)于需求點(diǎn)；式(11)和(12)含義類似，只有在災(zāi)前或?yàn)?zāi)后修建設(shè)施的設(shè)施點(diǎn)才能服務(wù)于需求點(diǎn)；式(14)和(15)表示只有未修建設(shè)施且未被破壞的設(shè)施點(diǎn)才能新建設(shè)施；式(16)為災(zāi)后設(shè)施數(shù)量限制。

2.3 重選址模型

(18)

subjectto

vij≤yj+uj,?i,j;

(19)

vij≤1-kj,?i,j;

(20)

(21)

uj+yj≤1,?j;

(22)

uj+kj≤1,?j;

(23)

(24)

(25)

uj,vij=0或1。

(26)

在第2階段的重選址模型中，式(18)由3個部分的成本組成：總運(yùn)輸成本、新建設(shè)施的成本和需求點(diǎn)重分配產(chǎn)生的調(diào)整成本。約束中式(19)～(24)與第一階段模型中式(11)～(16)的意義相同，式(25)為每個需求點(diǎn)設(shè)置了運(yùn)輸成本最高預(yù)算，保證一定的公平性。

3 算例分析

在100×100的平面上，隨機(jī)生成10個需求點(diǎn)、6個設(shè)施候選點(diǎn)及其相應(yīng)的初始需求。假設(shè)存在3個不同情景(隨機(jī)生成設(shè)施損壞情況，每個情景下?lián)p壞的設(shè)施數(shù)量不超過2個)，且在第2階段隨機(jī)選擇實(shí)際發(fā)生的情景。其它參數(shù)設(shè)置如下。取p=3；α1=0.3,α2=0.2,α3=1，B=2 000，γ=1 000，Lmax=15 000。本文使用CPLEX軟件對2個階段的模型進(jìn)行求解。

為便于求解，將模型目標(biāo)轉(zhuǎn)化為式(27)所示的等價形式。

minF(x,y)=α1L1+α2M+α3N+

(27)

其中，ε為一個充分小的常數(shù)，可保證式(1)與式(27)同時達(dá)到最??；M、N分別為設(shè)施重建前后最壞情景下的運(yùn)輸成本，也即滿足

M≥L2(k),?k∈K;

(28)

N≥L3(k),?k∈K。

(29)

為分析和評估本文模型的有效性，分別采用了

圖1 魯棒p-center模型與傳統(tǒng)p-center模型的對比

模型災(zāi)前規(guī)劃最大運(yùn)輸成本災(zāi)后反應(yīng)最大運(yùn)輸成本重建設(shè)施后最大運(yùn)輸成本重選址總成本總運(yùn)輸成本設(shè)施建設(shè)成本需求分配調(diào)整成本rp-center360338693081244701447020008000p-center21171117430813090416904200012000

1)rp-center表示魯棒p-center模型。

本模型和傳統(tǒng)p-center模型對隨機(jī)生成的算例進(jìn)行了計算。一組典型數(shù)據(jù)的計算結(jié)果如圖1與表1所示，分別顯示了災(zāi)前規(guī)劃、災(zāi)后應(yīng)急響應(yīng)(設(shè)施新建前)、以及設(shè)施新建后的選址與設(shè)施分配策略及相應(yīng)的成本，其中圖1(a)部分表示本文模型結(jié)果，圖1(b)部分表示傳統(tǒng)p-center模型結(jié)果。圖中還表示出了“預(yù)選址—重選址”二階段魯棒優(yōu)化模型的運(yùn)作流程。圖1(a)-1與圖1(b)-1中表示第1階段的“預(yù)選址”規(guī)劃；圖1(a)-2與圖1(b)-2表示災(zāi)難實(shí)際發(fā)生后剩余設(shè)施對需求點(diǎn)的最佳服務(wù)情況；圖1(a)-3與圖1(b)-3表示第2階段的重新選址和分配規(guī)劃。表1中的計算結(jié)果包括災(zāi)前規(guī)劃、災(zāi)后反應(yīng)和設(shè)施重建3個時段需求點(diǎn)與設(shè)施之間的最大運(yùn)輸成本，以及重選址階段的綜合成本、總運(yùn)輸成本、設(shè)施建設(shè)成本、需求分配調(diào)整成本。其中，災(zāi)前規(guī)劃的最大運(yùn)輸成本即為前文模型中的L1。

在災(zāi)前規(guī)劃階段，2個模型得到了不同的選址方案，可以看出p-center模型給出的選址方案中3個設(shè)施的分布較為分散，但最大運(yùn)輸成本較??；災(zāi)難發(fā)生后，2種方案均只有一個設(shè)施幸存，此時由于傳統(tǒng)p-center模型的方案中剩余設(shè)施的位置較為偏遠(yuǎn)，造成最大運(yùn)輸成本較高，所以本文模型方案中剩余設(shè)施具有更好的反應(yīng)能力；在設(shè)施重建階段，2種方案均只新建了一個設(shè)施，但由于預(yù)規(guī)劃的需求分配不同以及調(diào)整成本的限制，2種方案產(chǎn)生了不同的運(yùn)輸成本和需求分配調(diào)整成本。

隨機(jī)產(chǎn)生2 000組數(shù)據(jù)并計算得出表2。可以看出，本文的模型在大部分情況中優(yōu)于傳統(tǒng)p-center模型，在災(zāi)前規(guī)劃階段損失很少性能的前提下，能夠顯著的降低災(zāi)難發(fā)生后的最大運(yùn)輸成本，并減少綜合成本，特別是設(shè)施建設(shè)成本和需求分配調(diào)整成本。

表2 魯棒p-center模型與傳統(tǒng)p-center模型計算結(jié)果對比

1)rp-center≥p-center表示魯棒p-center模型的結(jié)果不劣于傳統(tǒng)p-center模型的頻率。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)的物流設(shè)施選址通常是固定位置的，而突發(fā)事件發(fā)生時，應(yīng)急物流設(shè)施的設(shè)置往往具有臨時性和動態(tài)性，可能會隨著事件發(fā)展需要和新信息的獲取而有所調(diào)整。本文基于p-center選址模型，提出了一個應(yīng)急設(shè)施選址問題兩階段魯棒優(yōu)化模型，在需求和成本變動、設(shè)施損毀存在不確定因素的情況下，首先進(jìn)行魯棒性的“預(yù)選址”，并在災(zāi)難發(fā)生后進(jìn)行反應(yīng)式的“重選址”。算例分析說明了與傳統(tǒng)p-center選址模型相比，兩階段魯棒優(yōu)化模型解決應(yīng)急設(shè)施選址問題的有效性。

在實(shí)際的應(yīng)急管理中，可能會遇到更加復(fù)雜的問題，所以將本文的模型應(yīng)用于實(shí)際案例的研究將能夠進(jìn)一步對模型進(jìn)行驗(yàn)證；解決大規(guī)模的魯棒優(yōu)化選址問題時，精確算法將不再適用，需要針對問題特點(diǎn)開發(fā)啟發(fā)式算法來獲得更好的性能；在未來的研究中，可以考慮將應(yīng)急管理的其它環(huán)節(jié)與選址問題相結(jié)合的集成魯棒優(yōu)化，進(jìn)一步提高應(yīng)急救援的效率。

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A Two-stage Robust Optimization Model for Emergency Facility Location Problems under Uncertainties

Foremergencylogisticsmanagement,decisionmakingofsupplydistributionfacilitylocationisimportant.Accordingtotheuncertaintiesinemergencies,atwo-stagerobustoptimizationmodelforemergencyfacilitylocationproblemstoachievecoordinationbetween“pre-location”and“re-location”isproposed.Inthefirststagewhendemand,costandfacilitydisruptionisuncertain,intheconsiderationofdifferentneedsofpre-disasterplanning,post-disasterresponseandfacilityre-location,arobust“pre-location”modelispresentedbasedonp-centermodel.Inthesecondstage,withtheacquisitionofpost-disasterinformation,a“re-location”modelforbuildingnewfacilitiesispresentedbasedonreactiverepairingandadjustmentforpreviousstrategies.Anumericalstudyshowsthemodelismoreeffectivethantraditionalp-centermodelforemergencyfacilitylocation.

2016- 03- 16

國家自然科學(xué)基金資助項目(71471007，91224007)

杜博(1989-)，男，遼寧省人，博士研究生，主要研究方向?yàn)槲锪飨到y(tǒng)優(yōu)化、現(xiàn)代啟發(fā)式算法等.

10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.05.007

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