石墨烯對反鐵磁光子晶體的法拉第效應*

郭 鵬,張 強,付淑芳,王相光，胡景瑩，楊瑞，王啟宇，劉林峰，周 勝**

(1.哈爾濱師范大學;2.哈爾濱理工大學;3大慶師范學院)

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石墨烯對反鐵磁光子晶體的法拉第效應*

郭 鵬1,張 強2,付淑芳1,王相光1，胡景瑩1，楊瑞3，王啟宇1，劉林峰1，周 勝1**

(1.哈爾濱師范大學;2.哈爾濱理工大學;3大慶師范學院)

采用線性傳輸矩陣法研究了Faraday位型下含石墨烯層的反鐵磁光子晶體的Faraday效應.當電磁波垂直入射到石墨烯反鐵磁體系時，給出這種位型下的色散關系，設定不同介質中電磁波磁場的波解形式，通過電磁場的邊界條件得出傳遞矩陣，最后給出不同種一維石墨烯反鐵磁光子晶體的透射率和Faraday旋轉角的表達式并進行數(shù)值模擬.研究了兩種結構下的石墨烯磁性光子晶體的透射率及法拉第旋轉隨層數(shù)的變化關系，電介質排布有所不同，會導致其透射率發(fā)生很大變化.當只在光子晶體中間的反鐵磁層上覆蓋單層石墨烯薄膜時，發(fā)現(xiàn)在THz頻域范圍內(nèi)，光子晶體會增強石墨烯對泵浦波的吸收.

石墨烯；法拉第效應；光子晶體

0 引言

隨著科學的發(fā)展，石墨烯材料逐漸走進科學家的視野，因其光學、電子學、力學、熱學等領域都表現(xiàn)出了優(yōu)異的性質[1]，被認為是最有發(fā)展前景的材料之一.石墨烯在光學方面具有突出的性質[2]，具有優(yōu)良的透明度，單層石墨烯的透過率在可見—紅外區(qū)可以達到97.7%，利用這一性質主要針對石墨烯的光學性質進行研究.

磁性光子晶體具有獨特的光子帶隙結構，使其表現(xiàn)出優(yōu)異的光電子學特性.Siew-Choo Limf[3-4]等人研究了電磁波在鐵磁與反鐵磁薄膜表面的光學性質；宋玉玲[5]等人對一維有限厚度的反鐵磁光子晶體的帶結構和透射性質進行了研究. Xuan-Zhang Wang針對Faraday位型，給出了電磁波垂直入射到鐵磁/非磁性多層膜的透反射性質[6]. Inoue小組研究了一維磁性光子晶體的磁光效應，發(fā)現(xiàn)磁性光子晶體可以加強Faraday旋轉效應[7].因此，將石墨烯與磁性光子晶體結合，試圖提高其Faraday效應.

該文主要研究在一維Faraday位型下，不同排列方式的石墨烯與磁性光子晶體結構的Faraday效應.電磁波垂直入射到石墨烯反鐵磁體系上時，將先給出這種位型下的色散關系,設定不同介質中電磁波磁場的波解形式，通過電磁場的邊界條件得出傳遞矩陣.最后給出不同種一維石墨烯反鐵磁光子晶體的透射率和Faraday旋轉角的表達式并進行數(shù)值模擬.

1 法拉第旋轉角的計算

如圖1所示，I0，R0和T分別對應入射，反射和透射波，選擇的坐標系為z軸垂直于光子晶體表面，x-y平面平行于光子晶體表面,入射為x-z平面，外加靜磁場為H0，反鐵磁各項異性場為Ha均沿z軸.

(a)第一種光子晶體結構 (b)第二種光子晶體結構圖1 光子晶體結構和位型

三種典型的光子晶體結構都包含有偶數(shù)個電介質雙層結構.第一種光子晶體結構如圖1(a)所示，石墨烯與反鐵磁膜處于光子晶體的電介質1層與2層中間；第二種光子晶體結構如圖1(b)所示，石墨烯與反鐵磁膜處于光子晶體的電介質2層與1層中間.電介質層的厚度分別為d1和d2，反鐵磁膜的厚度為du，角標 1，2和a分別對應兩種不同的電介質和反鐵磁，介電常數(shù)分別為ε1，ε2和εa，非磁介質的磁導率為μ0=1.首先給出了泵浦波在各種材料內(nèi)部的電磁場波解形式，再通過電磁場邊界連續(xù)條件，得到對應兩種介質之間的傳輸矩陣.利用傳遞矩陣方法和麥克斯韋方程組可計算有限結構的透射率和色散方程.

泵浦波在各介質層內(nèi)部磁場的波解形式分別為：

電場在x方向波解：

電場在y方向波解：

再根據(jù)上面得到的各材料層中磁場與電場波解，利用磁場和電場在邊界處的邊值條件，得到傳輸過程中的矩陣形式，根據(jù)邊值關系可以得到相鄰的電介質層之間的邊界連續(xù)性條件：

電介質1層到電介質2層之間的邊界條件：

(4)

(5)

A2x+B2x=(A1xexp(ik1zd1)+B1xexp(-ik1zd1))

(6)

A2y+B2y=(A1yexp(ik1zd1)+B1yexp(-ik1zd1))

(7)

可以得到振幅之間的關系為：

(8)

同理，可以得到泵浦波由電介質2層到電介質1層的傳輸矩陣：

同樣可以得到泵浦波由電介質2層穿透石墨烯到反鐵磁層的傳輸矩陣：

以及反鐵磁層到電介質1層的傳輸矩陣為：

以及泵浦波由電介質1層光子晶體下部空間的傳輸矩陣：

針對不同組合的光子晶體結構，可以得到不同的傳輸矩陣形式：

第一種石墨烯磁性光子晶體結構：

∏1=T01(T12T21)N/2-1T12×T2gaTa1(T12T21)N/2-1T12T2b

第二種石墨烯磁性光子晶體結構： ∏2=T01×(T12T21)(N-1)/2T1gaTa2(T21T12)(N-1)/2T2b

那么根據(jù)透、反射率以及法拉第旋轉角度的計算公式，就可以得出相對應的結果.

(16)

法拉第角表達式為：

(17)

2 結果與討論

反鐵磁體材料為FeF2，電介質1層為SiO2，電介質2層為ZnF2.該文所討論的石墨烯磁性光子晶體結構，石墨烯層覆蓋于反鐵磁層上，且位于光子晶體中間.因泵浦波在光子晶體中的光程對其透射率以及Faraday效應有影響，所以對于反鐵磁層和電介質層厚度的選擇尤為重要,選取反鐵磁層FeF2厚度為da=22μm，SiO2層厚度d1=30μm，ZnF2層厚度d2=17μm，設兩種結構均為偶數(shù)雙層結構如圖1.入射光只在x方向有能量為S1=1.0kW/cm2.

首先討論第一種石墨烯磁性光子晶體Faraday旋轉，泵浦波透射譜隨電介質雙層結構層數(shù)變化如圖2(a)、(b)所示，圖2(a)為第一種結構不含石墨烯材料的透射曲線，圖2(b)為第一種結構含石墨烯材料的透射曲線.

在反鐵磁共振頻率附近有明顯的透射峰出現(xiàn)，且加入石墨烯材料后，透射率要明顯低于不含石墨烯材料的光子晶體模型，這是由于在THz頻域范圍內(nèi)，由于磁場的存在使得石墨烯中電子出現(xiàn)朗道能級并對THz波呈現(xiàn)出一個較強的吸收. 而光子晶體和石墨烯形成了表面微腔結構使得石墨烯對THz波的吸收比無光子晶體時增強[8].

圖2中圖2中(a) 第一種結構磁性光子晶體透射譜隨電介質雙層結構層數(shù)變化;(b)第一種結構石墨烯/磁性光子晶體透射譜隨電介質雙層結構層數(shù)變化;(c) 第一種結構磁性光子晶體法拉第旋轉角隨電介質雙層結構層數(shù)變化;(d)第一種結構石墨烯/磁性光子晶體法拉第旋轉角隨電介質雙層結構層數(shù)變化

圖2(c)及2(d)給出了兩種結構下，法拉第旋轉角隨光子晶體層數(shù)的變化.隨層數(shù)的增加，法拉第旋轉角逐漸增大.兩種結構相比較發(fā)現(xiàn)，含有石墨烯的磁性光子晶體結構的法拉第旋轉角2d并未高于不含石墨烯的磁性光子晶體2c，這是由于光子晶體結構的法拉第旋轉角在 時就已經(jīng)比簡單的三明治結構增強了7倍左右，光子晶體對法拉第旋轉角的增強效應遠強于單層的石墨烯對于法拉第旋轉角的貢獻.

第二種結構也為非對稱結構，泵浦波透射譜如圖3(a)、(b)所示.

圖3(a)、(b)分別為第二種結構的不含石墨烯材料與含石墨烯材料的透射曲線隨電介質雙層結構層數(shù)的變化.與第一種結構相比，因電介質排列順序不同，直接影響了泵浦波在磁性光子晶體當中的透射率，使得此結構情況下，在反鐵磁共振頻率附近的透射峰值要比第一種結構偏小，而在含有石墨烯薄膜時，由于光子晶體會增強石墨烯的THz吸收，所以其透射率更低，以至于不再有峰值出現(xiàn).所以其法拉第效應也只比不含石墨烯層時略有增強，法拉第效應的峰值幾乎相等如圖3(c)，(d)所示.

圖3中(a) 第二種結構磁性光子晶體透射譜隨電介質雙層結構層數(shù)變化，(b)第二種結構石墨烯/磁性光子晶體透射譜隨電介質雙層結構層數(shù)變化，(c)第二種結構磁性光子晶體法拉第旋轉角隨電介質雙層結構層數(shù)變化，(d)第二種結構石墨烯/磁性光子晶體法拉第旋轉角隨電介質雙層結構層數(shù)變化

3 結束語

該文討論了兩種結構下的石墨烯磁性光子晶體的透射率及法拉第旋轉隨層數(shù)的變化關系，因電介質排布有所不同，導致其透射率也會發(fā)生很大變化.當只在光子晶體中間的反鐵磁層上覆蓋單層石墨烯薄膜時，發(fā)現(xiàn)在THz頻域范圍內(nèi)，光子晶體會增強石墨烯對泵浦波的吸收，且在這些結構中只加入單層的石墨烯，由于磁性光子晶體本身增強Faraday效應的效果很明顯，在 時就已經(jīng)比簡單的三明治結構增強了7倍左右.比電介質/石墨烯/反鐵磁/電介質模型增加了 倍.因而，只加入單層的石墨烯的磁性光子，對法拉第效應的貢獻就不那么明顯.此外，著重對于第一種結構的石墨烯磁性光子晶體隨反鐵磁厚度以及外加靜磁場的變化關系進行了研究，獲得該種結構下法拉第旋轉角的最佳厚度，并隨外加靜磁場的增加而增強，當 時法拉第旋轉角達到飽和.

[1] Ge im A K, Novoselov K S. The rise of graphene [ J]. Nature, 2007(6): 183-191.

[2] Da Haixia， Qiu Chengwei. Graphene-based photonic crystal to steer giant Faraday rotation[J]. Appl Phys L,2012,

[3] Lim Siew-Choo,Osman J, Tilley D R .Theory of a gyromagnetic Fabry - Pérot resonator[J]. J Phys:Condens Matter,1997(9): 8297-8306.

[4] Lim Siew-Choo,Osman J, Tilley D R .The gyromagnetic Fabry-Pérot resonator: II. Dipole-exchange effects[J]. Phy:Condens Matter ,1998(10): 1891-1907.

[5] 宋玉玲，王選章.一維受限反鐵磁光子晶體的性質[J].光學學報,2008,28(12):2404-2407.

[6] Wang L L,Zhou X F, Wang X Z,et al.Transmission by antiferromagnetic-nonmagnetic multilayers[J]. J Phys Condens Matter ,1999(11):2697-2705.

[7] Inoue M, Baryshev A V, Khanikaev A B, et al. Magnetophotonic Materials and Their Applications[J]. Ieice Trans Electron, 2008, E91-C(10): 1630-1638.

[8] 謝凌云， 肖文波，黃國慶，等. 光子晶體增強石墨烯THz吸收[J].2014,5(63): 057803-(1-5).

(責任編輯：季春陽)

Faraday Effect of Graphene on Antiferromagnetic Photonic Crystal

Guo Peng1，Zhang Qiang2，F(xiàn)u Shufang1，Wang Xiangguang1，Hu Jingying1，Yang Rui3，Wang Qiyu1，Liu Linfeng1，Zhou Sheng1

(1.Harbin Normal University;2.Harbin University of Science and Technology;3.Daqing Normal University)

The Faraday effect of graphene and magnetic photonic crystal structure are studied by means of linear transfer matrix method in Faraday mode. When the electromagnetic wave is incident to the graphene antiferromagnetic system, the dispersion relation of this type is given. The wave form of electromagnetic field in different medium is set, and the transfer matrix is obtained by the boundary condition of the electromagnetic field. At last, the expression of the transmission and Faraday rotation angle of the different kinds of one-dimensional graphene anti ferromagnetic photonic crystal are given. The transmittance of graphene magnetic photonic crystals and faraday rotation changes with the number of layers are studied. Different dielectric arrangement will lead to great changes of the transmittance.

Graphene; Faraday effect; Photonic crystal

2016-04-22

*黑龍江教育廳科學技術研究項目(12521154)

O73

A

1000-5617(2016)03-0066-07

**通訊作者：zhousheng_wl@163.com