淺談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

文/卜朝輝

淺談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

文/卜朝輝

“數(shù)缺形時(shí)少知覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非?！?這幾句話形象而貼切地解讀了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想?！皵?shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象。那何為數(shù)形結(jié)合呢？所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，它可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，也可以使某些直觀的數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象化，是抽象思維與形象思維的相互轉(zhuǎn)化過(guò)程，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。

根據(jù)對(duì)人類大腦的研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦的兩半球具有不同的功能，其中，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，穩(wěn)定封閉。而人的右半腦功能則偏重于形象思維，講究直覺(jué)想象，自由發(fā)散。左右半腦的功能各有特征，如果互相補(bǔ)充就會(huì)使大腦功能更加健全和發(fā)達(dá)。數(shù)形結(jié)合思想就同時(shí)運(yùn)用了左右半腦的功能，在解決問(wèn)題的同時(shí)，能達(dá)到既培養(yǎng)形象思維能力，又促進(jìn)邏輯思維能力發(fā)展的效果。

我的疑問(wèn)——數(shù)形結(jié)合是先有數(shù)，還是先有形？

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想。我不禁深深地思考一個(gè)問(wèn)題：數(shù)形結(jié)合到底是先有數(shù)后有形，還是先有形后有數(shù)呢？很多人說(shuō)法不一。根據(jù)對(duì)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行分析，一般認(rèn)為在小學(xué)的兩個(gè)學(xué)段中，這兩種情況各有側(cè)重。

第一學(xué)段，由于學(xué)生以具體形象思維為主，一般是先有形，從形中抽象出數(shù)。比如：學(xué)習(xí)“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，在了解“十”與“百”之間的十進(jìn)制關(guān)系，認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位“百”這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，可先讓學(xué)生先從學(xué)具盆中拿出10塊糖放成一堆，問(wèn)：“10個(gè)一是多少？”接著又拿出“1個(gè)十”，問(wèn)：“現(xiàn)在是幾個(gè)十？”把剩下的十個(gè)一堆擺出來(lái)，并要求學(xué)生十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，得出：10個(gè)十是一個(gè)百。然后出示10個(gè)小正方體，說(shuō)明10個(gè)一是1個(gè)十，接著繼續(xù)出示小正方體又讓學(xué)生十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)到一百。這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)從“實(shí)物——圖形——數(shù)字”，是一個(gè)從具體到抽象的過(guò)程，這里的數(shù)形結(jié)合的思想就是先有形，近而抽象出數(shù)。

第二學(xué)段，學(xué)生從具體形象思維已逐漸向抽象邏輯思維發(fā)展，這時(shí)數(shù)形結(jié)合的思想一般是先有數(shù)，后以形作為數(shù)的支撐。比如：有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題。“在甲、乙兩地間鋪一條光纜。當(dāng)完成全部工程的時(shí)，恰好超過(guò)中點(diǎn)80千米。這條光纜全長(zhǎng)多少千米？”這個(gè)題目的數(shù)量關(guān)系學(xué)生只從字面理解有困難，但是復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，如果結(jié)合了直觀線段圖，問(wèn)題馬上就化難為易了。這里是先有數(shù)，而后有形，數(shù)形結(jié)合解決了實(shí)際問(wèn)題。

數(shù)形結(jié)合是先有數(shù)，還是先有形？這個(gè)問(wèn)題，引領(lǐng)人們不斷去研究教材，從而對(duì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想有了進(jìn)一步的了解?？磥?lái)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中要根據(jù)不同的學(xué)段靈活運(yùn)用。

以形助數(shù)，以數(shù)解形，演繹數(shù)與形的完美結(jié)合

數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面。前者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的；后者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的。數(shù)與形互為依存，兩者無(wú)法分割。在教學(xué)中，哪些方面的內(nèi)容可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想呢？

以形助數(shù) 首先，在數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想。在小學(xué)階段數(shù)的認(rèn)識(shí)主要包括認(rèn)識(shí)自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)。在認(rèn)識(shí)自然數(shù)和小數(shù)時(shí)，因?yàn)樗鼈兌际鞘M(jìn)制計(jì)數(shù)法，因此在教學(xué)時(shí)都可以采用前面舉例中提到的“認(rèn)識(shí)100以內(nèi)數(shù)”的方法，采用小正方體或小正方形的直觀圖，幫助學(xué)生建立數(shù)概念。對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)更是離不開(kāi)圖形，往往單位“1”概念的形成都是以圖形作為表象，從而達(dá)以理解分?jǐn)?shù)的意義。在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)，數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使抽象的負(fù)數(shù)能夠形象地印在了學(xué)生的腦海里。從這些例子可以看出，認(rèn)識(shí)數(shù)的教學(xué)，真的離不開(kāi)形。形是溝通實(shí)物與數(shù)的橋梁，也是思維發(fā)展的橋梁。

第二，在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想。小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，數(shù)的運(yùn)算是重頭戲。計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)就是引導(dǎo)學(xué)生理解算理，掌握算法。算理是計(jì)算方法的道理，學(xué)生不明白道理又怎么能更好地掌握計(jì)算方法呢？正所謂“知其然、還要知其所以然”。那么在幫助學(xué)生理解算理的過(guò)程中，就可以適時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。如：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的教學(xué)，，理解其算理

第三，在解決問(wèn)題的教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想。在解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想又成了一種解決的方法。小學(xué)階段主要是利用線段圖來(lái)幫助分析、解決。從低年級(jí)有關(guān)“倍”的實(shí)際問(wèn)題，到中年級(jí)的“行程”問(wèn)題，再到高年級(jí)的分、百實(shí)際問(wèn)題，解決這些問(wèn)題都是把反映數(shù)量關(guān)系的“數(shù)量”與“線段圖”緊密結(jié)合，這樣很快就能找到了解題方法。這里利用數(shù)形結(jié)合的思想主要目的是借助圖形把抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系形象化、直觀化，以幫助理解題中的數(shù)量關(guān)系，拓寬解題思路，提高解題能力。

第四，在探索規(guī)律的教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想。新課改后，數(shù)學(xué)教學(xué)中新增加了“探索規(guī)律”的內(nèi)容。其中很多題目都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。如：

這個(gè)題目，每增加一個(gè)小正方形，所擺小棒的根數(shù)也會(huì)有規(guī)律地增加。這類從圖中隱藏的規(guī)律，用數(shù)的形式表示出來(lái)的題目，數(shù)形結(jié)合對(duì)于學(xué)生思維的發(fā)展非常有益。

以數(shù)解形 上面更多的談到的是以形助數(shù)的例子。實(shí)際在圖形教學(xué)中，“數(shù)”也起到了非常重要的作用?！靶巍本哂行蜗笾庇^的優(yōu)勢(shì)，但也有其粗略、煩瑣和不便于表達(dá)的劣勢(shì)。只有以簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)描述、形式化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)“形”的特性，才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象化與形式化的魅力，使學(xué)生更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)和把握“形”。

其中對(duì)于圖形的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算公式的歸納都是學(xué)生對(duì)形體直觀知覺(jué)的深化。如：學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的體積，是把一定數(shù)量的小正方體擺成不同的長(zhǎng)方體，從中得出了長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)寬高有密切的聯(lián)系。得出了長(zhǎng)方體的體積公式。這個(gè)過(guò)程就是以數(shù)解形的過(guò)程，長(zhǎng)方體體積最終是用數(shù)表現(xiàn)出來(lái)。這樣的例子還有很多：“π”一個(gè)數(shù)值便揭示了圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系；小小的13明確了等底等高圓柱和圓錐體積的內(nèi)在聯(lián)系。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，所涉及的數(shù)形結(jié)合，決非僅局限于以上列舉的幾個(gè)方面。但無(wú)論是“以形助數(shù)”還是“以數(shù)解形”，數(shù)與形都猶如鳥(niǎo)的雙翼、草的根莖，二者密不可分。數(shù)與形的完美結(jié)合，演繹了數(shù)學(xué)的精彩。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想需要注意的兩個(gè)問(wèn)題

滲透有度，潤(rùn)物無(wú)聲 小學(xué)階段要讓學(xué)生獲得一些數(shù)學(xué)思想方法，但絕不是大張旗鼓地告訴學(xué)生，而是在教師精心設(shè)計(jì)下，讓學(xué)生自己體會(huì)，逐漸滲透。這種滲透的結(jié)果，是讓學(xué)生能見(jiàn)到有關(guān)數(shù)的問(wèn)題，便會(huì)想到用形來(lái)幫助解決；而有關(guān)形的知識(shí)，便會(huì)與數(shù)建立聯(lián)系。因此，教師在教學(xué)時(shí)，要做到滲透有度，潤(rùn)物無(wú)聲。

讓數(shù)形結(jié)合的過(guò)程成為探究的過(guò)程 讓我們一起回顧上面舉的例子：數(shù)的認(rèn)識(shí)中建立數(shù)概念的過(guò)程，數(shù)的運(yùn)算中探尋算理的過(guò)程，解決問(wèn)題的分析過(guò)程，探索規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，圖形中公式的推導(dǎo)過(guò)程……這些既是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的過(guò)程，同時(shí)也是學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)腦探究的過(guò)程。教師在教學(xué)時(shí)一定要給學(xué)生充分體驗(yàn)和探究的空間，使學(xué)生在收獲數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，思維得以發(fā)展，能力得以提升。

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵深遠(yuǎn)，從古至今魅力不曾衰減，決非只言片語(yǔ)就能說(shuō)清。在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要更加關(guān)注數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的應(yīng)用，讓數(shù)與形的完美結(jié)合使數(shù)學(xué)更加富有生命力。

（作者單位：北京教育學(xué)院附屬大興實(shí)驗(yàn)小學(xué)）