區(qū)間等式的可能度及其應(yīng)用

湯立龍，李 煒

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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區(qū)間等式的可能度及其應(yīng)用

湯立龍，李 煒

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

提出了區(qū)間等式的可能度定義，建立了該可能度的相關(guān)性質(zhì).討論了新的可能度在求解含有等式約束的區(qū)間線性規(guī)劃問題中的應(yīng)用，避免了現(xiàn)有方法中需將等式約束化為兩個(gè)不等式約束在計(jì)算上所帶來的不便.最后給出了具體的算例.

區(qū)間數(shù)；可能度；區(qū)間線性規(guī)劃

0 引 言

在區(qū)間數(shù)學(xué)的體系中，如何比較區(qū)間數(shù)的大小是一個(gè)關(guān)鍵問題.一個(gè)較為通用的方法是引入所謂的可能度來評(píng)判區(qū)間數(shù)的大小關(guān)系[1-2].但現(xiàn)在已有的文獻(xiàn)都只考慮了區(qū)間不等式的可能度[3-6]，而沒有研究區(qū)間等式的可能度.本文將提出一種區(qū)間等式的可能度，給出其性質(zhì)，并研究其在區(qū)間優(yōu)化問題中的應(yīng)用.

1 區(qū)間數(shù)相等的可能度定義

定義1 設(shè)區(qū)間數(shù)a,b滿足ac=bc，且a,b至少有一個(gè)為非退化區(qū)間數(shù)，則稱

(1)

為a=b的可能度.

2 可能度的相關(guān)性質(zhì)

設(shè)區(qū)間數(shù)a,b滿足ac=bc，且a,b至少有一個(gè)為非退化區(qū)間數(shù)，則a=b的可能度有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1 0≤p(a=b)≤1

證明 顯然

即有0≤p(a=b)≤1成立.證畢.

性質(zhì)2 p(a=b)=p(b=a)

證明 容易看出

證畢.

性質(zhì)3 p(a=b)=1的充分必要條件為a=b.

性質(zhì)4 設(shè)區(qū)間數(shù)a,b不全為退化區(qū)間，則p(a=b)=0的充分必要條件為a,b有一個(gè)為退化區(qū)間.

小型無人機(jī)的應(yīng)用，是以藥物噴灑為前提起到相應(yīng)的植保效果。而技術(shù)人員則以遠(yuǎn)距離壓控為前提，對(duì)無人機(jī)高度加以調(diào)節(jié)，再按照農(nóng)作物具體情況，對(duì)藥物劑量、無人機(jī)高度和速度予以把控，以便將藥液精準(zhǔn)作用于農(nóng)作物表面，還可借助旋翼下旋氣流加快藥液吸收、滲透［7］。

性質(zhì)5 若p(a=b)=1,p(b=c)=1,則p(a=c)=1成立.

然而，一般的傳遞性不成立.

性質(zhì)6 設(shè)α∈(0,1)，若p(a=b)=α,p(b=c)=α，則p(a=c)≠α.

證明 α∈(0,1),這意味著a、b和c都是非退化的，下面分4種情況討論.

1)當(dāng)la

2)當(dāng)la>lb>lc時(shí)，類似可證.

3)當(dāng)la

4)當(dāng)la>lb,lc>lb時(shí)，類似可證.

綜上，當(dāng)α∈(0,1)時(shí)，若p(a=b)=α,p(b=c)=α，則p(a=c)≠α.證畢.

3 帶等式約束的區(qū)間線性規(guī)劃的可能度解法

現(xiàn)存的文獻(xiàn)中只對(duì)區(qū)間不等式定義了可能度,而處理等式的方法則是轉(zhuǎn)化其為一個(gè)規(guī)模更大的不等式系統(tǒng).由于區(qū)間數(shù)學(xué)中所謂相依性的困難，這種轉(zhuǎn)化往往是不可能的[7-8].即使能夠轉(zhuǎn)化，問題的規(guī)模也顯著擴(kuò)大.而借助于區(qū)間數(shù)等式可能度的定義，可以直接求解帶等式約束的區(qū)間規(guī)劃，避免了轉(zhuǎn)化等式約束為不等式約束的麻煩.

引理 對(duì)兩個(gè)區(qū)間數(shù)a,b.給定可能度水平λ(0<λ≤1)，且ac=bc.則p(a=b)≥λ可轉(zhuǎn)化為下述確定性約束

(2)

由引理得到：

(3)

其中，xj≥0,j=1…n.

例 考慮下述區(qū)間線性規(guī)劃問題：

min[0.2,0.4]x1+[0.1,0.3]x2

s.t [0.1,0.2]x1+[0.4,0.5]x2=[0.2,0.3]

x1,x2≥0.

min Z=0.3x1+0.2x2

0.15x1+0.45x2=0.25

x1,x2≥0.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了區(qū)間數(shù)相等的可能度定義，并給出了其在求解帶等式約束區(qū)間線性規(guī)劃問題中的應(yīng)用.要指出的是，本文中的方法并不局限于求解區(qū)間線性規(guī)劃問題，也可以用于求解帶區(qū)間等式約束的非線性規(guī)劃問題以及區(qū)間非線性方程組的問題.求解非線性問題時(shí)，如何進(jìn)行具體的區(qū)間模型的結(jié)構(gòu)分解仍需進(jìn)一步研究.

[1]李煒,黃金花.區(qū)間系統(tǒng)與區(qū)間優(yōu)化模型——理論與應(yīng)用[J].南京信息工程大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，9(1)：23-33.

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[3]JIANG C, HAN X, LIU G R, et al. A nonlinear interval number programming method for uncertain optimization problems[J].European Journal of Operational Research, 2008, 188(1): 1-13.

[4]達(dá)慶利，劉新旺.區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃及其滿意解[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,1999(4):3-7.

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[8]LI W.A note on dependency between interval linear systems[J].Optimization Letters, 2015, 9(4): 795-797.Possibility Degree of Interval Equation and Its Application

TANG Lilong, LI Wei

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

The definition of the possibility degree of interval equality is proposed, and the related properties of the possibility degree are established. The new possibility degree application about interval linear program with equality constraints is discussed to avoid the difficulty of transforming equality constraints into two inequality constraints. An example is given to illustrate the method.

interval number; possibility degree; interval linear programming

10.13954/j.cnki.hdu.2016.06.019

2016-05-17

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(U1509217)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY14A010028)

湯立龍(1991-)，男，遼寧沈陽(yáng)人，碩士研究生，數(shù)學(xué)規(guī)劃.通信作者：李煒教授，E-mail:weilihz@126.com.

O221

A

1001-9146(2016)06-0089-03