質(zhì)量偏心影響下的碰摩轉(zhuǎn)子非線性分析

劉桂珍,于 影,馬曉君,丁海娟,聞邦椿

(1.佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,黑龍江 佳木斯154007;2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧 沈陽110819)

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質(zhì)量偏心影響下的碰摩轉(zhuǎn)子非線性分析

劉桂珍1,于 影1,馬曉君1,丁海娟1,聞邦椿2

(1.佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,黑龍江 佳木斯154007;2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧 沈陽110819)

利用拉格朗日方程建立了非穩(wěn)態(tài)油膜力作用下的轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)碰摩故障的力學(xué)模型,應(yīng)用數(shù)值分析方法研究了該系統(tǒng)隨質(zhì)量偏心變化時(shí)的時(shí)域波形、軸心軌跡和Poincare截面,揭示了系統(tǒng)分岔特性和進(jìn)入混沌的途徑.研究結(jié)果表明:當(dāng)質(zhì)量偏心作為唯一控制參數(shù)時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為.該結(jié)果為大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷提供了理論依據(jù).

碰摩; 時(shí)域波形; 軸心軌跡; 龐萊截面

LIU Gui-zhen1,YU Ying1,MA Xiao-jun1,DING Hai-juan1,WEN Bang-chun2

(1.College of Mechanical Engineering,Jiamusi University,Jiamusi 154007,China;2.School of Mechanical Engineering & Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,China)

大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械發(fā)生故障時(shí),其振動(dòng)信號蘊(yùn)含著豐富的故障信息,通過監(jiān)測振動(dòng)信號,實(shí)現(xiàn)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的故障診斷,是目前大型機(jī)械或高速旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)故障診斷的主要依據(jù).碰摩是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中最常見的故障之一,也是引起機(jī)械系統(tǒng)失效的主要原因之一[1].由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在著諸多的非線性因素,以及加工、裝配等原因?qū)е碌霓D(zhuǎn)子偏心,加劇了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)和碰摩現(xiàn)象的產(chǎn)生.因此,轉(zhuǎn)子偏心量是關(guān)系到轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡狀況及運(yùn)行穩(wěn)定性的一個(gè)重要參數(shù),對于具有碰摩故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng),偏心量對系統(tǒng)響應(yīng)更為重要[2].

本文以轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)作為研究對象,利用拉格朗日方程建立了非穩(wěn)態(tài)油膜力作用下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩故障的力學(xué)模型,應(yīng)用數(shù)值分析研究在激勵(lì)頻率不變的情況下,以系統(tǒng)存在質(zhì)量不平衡作為唯一控制參數(shù)時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng).通過轉(zhuǎn)子的時(shí)域波形圖、軸心軌跡和Poincare截面圖等振動(dòng)信號提供的故障信息,對該系統(tǒng)響應(yīng)的非線性行為和故障機(jī)理進(jìn)行分析,從而為該類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的故障診斷和系統(tǒng)的安全運(yùn)行提供理論依據(jù).研究結(jié)果表明:將轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)作為研究對象的4質(zhì)量8自由度的力學(xué)模型比單純割裂轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為“轉(zhuǎn)盤+轉(zhuǎn)軸”的2質(zhì)量4自由度模型,更接近于生產(chǎn)實(shí)際,理論價(jià)值尤為彰顯[3-7].

1 力學(xué)模型與運(yùn)動(dòng)微分方程

1.1 拉格朗日方程描述

設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系,受完整的理想約束,具有N個(gè)自由度,其位置可由N個(gè)廣義坐標(biāo)方程來確定.則有

(1)

式中:L為拉格朗日函數(shù),L=T-V,T為系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù),V為系統(tǒng)的勢能函數(shù);R為與系統(tǒng)阻尼相對應(yīng)的耗散函數(shù);Qi為作用在系統(tǒng)上的廣義力;qi為系統(tǒng)獨(dú)立的廣義坐標(biāo);N為系統(tǒng)的總自由度個(gè)數(shù).

1.2 運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1為轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)碰摩故障的力學(xué)模型,轉(zhuǎn)子兩端由2個(gè)相同的滑動(dòng)軸承支承,考慮轉(zhuǎn)子與定子的碰摩故障,其力學(xué)模型可簡化如圖1a,b所示.O1為轉(zhuǎn)子的幾何中心;Oc為轉(zhuǎn)子質(zhì)心;kr為定子徑向碰摩剛度系數(shù),k1,k2,k3分別為轉(zhuǎn)軸、軸承支撐處和定子基礎(chǔ)的剛度系數(shù);c1,c2,c3分別為轉(zhuǎn)軸、軸承支撐處和基礎(chǔ)對定子的阻尼系數(shù);e為轉(zhuǎn)子的偏心量;Px,Py分別為轉(zhuǎn)子在水平和垂直方向上碰摩力的分量;Fx,Fy為油膜力的分量;ω為轉(zhuǎn)子角速度;PN為法向碰摩力;PT為切向碰摩力;φ為碰摩點(diǎn)的向徑與x軸的夾角;e為轉(zhuǎn)子的偏心量;mi(i=1,2,3,4)分別為轉(zhuǎn)子、軸承、定子和轉(zhuǎn)軸在軸承處的半集中質(zhì)量;δ為靜止時(shí)轉(zhuǎn)子與定子之間的初始間隙.

圖1 非穩(wěn)態(tài)油膜力的轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)碰摩故障的力學(xué)模型

假設(shè)圓盤不出現(xiàn)回轉(zhuǎn)效應(yīng)且自轉(zhuǎn)角速度為常數(shù),忽略重力和陀螺力矩的影響,根據(jù)非保守拉格朗日方程,推導(dǎo)出量綱為一的非穩(wěn)態(tài)油膜力的轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)碰摩故障的動(dòng)力學(xué)方程[4]:

(2)

式中:b為量綱一軸頸的偏心量;ξi(i=1,2,3,4) 分別為轉(zhuǎn)子、軸承、定子和轉(zhuǎn)軸的阻尼比;ηi(i=1,2,3,4) 分別為轉(zhuǎn)子、軸承、定子和轉(zhuǎn)軸的剛度比;ξ23,ξ14分別為軸承相對定子、轉(zhuǎn)子相對于轉(zhuǎn)軸的阻尼比;η23,η14分別為軸承相對定子、轉(zhuǎn)子相對于轉(zhuǎn)軸的剛度比;ρ為量綱一轉(zhuǎn)子的偏心量;xi(i=1,2,3,4)分別為轉(zhuǎn)子中心、軸承中心、定子中心和轉(zhuǎn)軸中心相對于初始位置的量綱一的橫向位移;yi(i=1,2,3,4) 分別為轉(zhuǎn)子中心、軸承中心、定子中心和轉(zhuǎn)軸中心相對于初始位置的量綱一的縱向位移;fx,fy為量綱一油膜力;τ=ωt;g為重力加速度;δ2為軸承的平均間隙;σ為Sommerfeld數(shù).

(3)

式中:R為軸承半徑；L為軸承寬度.

1.3 非穩(wěn)態(tài)油膜力模型

非線性油膜力模型采用短軸承假設(shè)下的Ca-pone非線性油膜力模型[3],該模型有較好的精度和收斂性.在短軸承油膜力假設(shè)條件下的無量綱化雷諾方程為:

(4)

由式(4)可得無量綱油膜壓力為

(4z2-1)

(5)

式中:D為軸承的直徑.

量綱一非線性油膜力最終可以表示為

(6)

式中:

1.4 碰摩力的表達(dá)式

為研究方便,不考慮摩擦的熱效應(yīng),并假定轉(zhuǎn)子與定子部件的碰撞力為彈性變形,轉(zhuǎn)子局部碰摩力模型如圖1a,b所示.

由定子徑向剛度為kr,轉(zhuǎn)子與定子間的摩擦符合庫侖摩擦定律,即摩擦力與作用于接觸面上的正壓力成正比,設(shè)摩擦系數(shù)為f,則碰撞力和摩擦力分別為

PN=(e-δ)kr

PT=fPN(e≥δ)

(7)

Px=-PNcosφ+PTsinφ

Py=-PNsinφ-PTcosφ

Px=Py=0,(e≥δ)

(8)

2 數(shù)值模擬

運(yùn)用四階Runge-Kutta法對數(shù)值進(jìn)行求解.在計(jì)算中為了能夠較快的得到穩(wěn)定解,應(yīng)將步長選得盡量小且周期足夠多.為了消除瞬態(tài)響應(yīng)的影響,舍棄前40個(gè)周期,計(jì)算軌跡圖時(shí)取后10～20個(gè)周期.選取系統(tǒng)參數(shù)如下:m1=4.0 kg,m2=32.1 kg,m3=50.0 kg,m4=20.0 kg;c1=1.05 kN·s·m-1,c2=2.1 kN·s·m-1,c3=2.1 kN·s·m-1;k1=250 kN·m-1,k2=250 kN·m-1,k3=2 5000 kN· m-1,kr=1 000 kN ·m-1;R=0.025 m,L=0.570 m,δ2=0.2 mm;η=0.018 MPa;R1=0.015 m;f=0.2;通過計(jì)算得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的三級固有頻率分別為f1=13.9747 Hz,f2=43.586 4 Hz,f3=113.109 6 Hz,觀察圖2—8,得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在激勵(lì)頻度不變的情況下隨轉(zhuǎn)子不平衡量變化的振動(dòng)響應(yīng).

圖2 ω=380 rad·s-1,偏心量ρ=0.3時(shí)轉(zhuǎn)子的系統(tǒng)響應(yīng)

Fig.2 Response of the rotor system when ω=380 rad·s-1,ρ=0.3

圖3 ω=380 rad·s-1,偏心量ρ=0.4時(shí)轉(zhuǎn)子的系統(tǒng)響應(yīng)

圖4 ω=380 rad·s-1,偏心量ρ=0.5時(shí)轉(zhuǎn)子的系統(tǒng)響應(yīng)

圖5 ω=380 rad·s-1,偏心量ρ=0.7時(shí)轉(zhuǎn)子的系統(tǒng)響應(yīng)

圖6 ω=800 rad·s-1,偏心量ρ=0.2時(shí)轉(zhuǎn)子的系統(tǒng)響應(yīng)

為了詳細(xì)分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),分別做出轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω=380 rad·s-1,ω=800 rad·s-1時(shí),同一激勵(lì)頻率對應(yīng)不同偏心量時(shí)的時(shí)時(shí)域波形圖、軸心軌跡及Poincare映射,如圖2—8所示.

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω=380 rad·s-1時(shí),觀察圖2—5,得出以下結(jié)論:

當(dāng)偏心量ρ<0.4時(shí),轉(zhuǎn)子時(shí)域波形圖表現(xiàn)出具有豐富的組合頻率,隨著偏心量的增大,轉(zhuǎn)子的軸心軌跡范圍不變擴(kuò)大,轉(zhuǎn)子相圖表明此時(shí)系統(tǒng)處于單點(diǎn)局部碰摩狀態(tài),對應(yīng)的Poincare映射表現(xiàn)為一個(gè)獨(dú)立點(diǎn),證明系統(tǒng)此時(shí)處于周期運(yùn)動(dòng),轉(zhuǎn)子做單周期運(yùn)動(dòng).

圖7 ω=800 rad·s-1,偏心量ρ=0.3時(shí)轉(zhuǎn)子的系統(tǒng)響應(yīng)

圖8 ω=800 rad·s-1,偏心量ρ=0.4時(shí)轉(zhuǎn)子的系統(tǒng)響應(yīng)

當(dāng)偏心量ρ=0.4時(shí),轉(zhuǎn)子時(shí)域波形圖表現(xiàn)紊亂,轉(zhuǎn)子相圖和軸心軌跡均處混沌狀態(tài),此時(shí)的Poincare映射表現(xiàn)為分布在一定區(qū)域內(nèi)不規(guī)則的散點(diǎn)圖形,證明系統(tǒng)此時(shí)已處于混沌狀態(tài),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)做混沌運(yùn)動(dòng).

當(dāng)偏心量ρ0.4時(shí),轉(zhuǎn)子時(shí)域波形圖表現(xiàn)出半頻成分振幅激增超過基頻振幅,表現(xiàn)出“削波”特征.隨著偏心量的增大,轉(zhuǎn)子的軸心軌跡范圍不變擴(kuò)大,轉(zhuǎn)子相圖表明此時(shí)系統(tǒng)處于多點(diǎn)局部碰摩狀態(tài),對應(yīng)的Poincare映射表現(xiàn)為一個(gè)獨(dú)立點(diǎn),證明系統(tǒng)此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng),如圖2—5所示.

圖6—8所示為轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω=800 rad·s-1時(shí),不同偏心量的Poincare映射、軸心軌跡及時(shí)間歷程圖.

觀察圖6—8,可以看出ω=800 rad·s-1時(shí),偏心量的存在導(dǎo)致系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng).

3 結(jié) 論

(1) 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量是導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的原因之一.當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速較低時(shí),偏心量在敏感區(qū)域內(nèi)能產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng);當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速較高時(shí),偏心量的存在是導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生混沌狀態(tài)的主要原因.因此在工程實(shí)際應(yīng)用中,轉(zhuǎn)速較低時(shí),應(yīng)盡量避開偏心量的敏感參數(shù)區(qū)域;轉(zhuǎn)速高時(shí)嚴(yán)格控制偏心量,以保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行.

(2) 碰摩和轉(zhuǎn)子不平衡是產(chǎn)生混沌的主要原因,當(dāng)轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量發(fā)生變化時(shí),系統(tǒng)以擬周期的失穩(wěn)方式通向混沌.

(3) 碰摩力可以使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生反向渦動(dòng),并使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng),因此在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中合理選擇轉(zhuǎn)、定子之間的間隙尤為重要,可避免因混沌現(xiàn)象導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)或過早產(chǎn)生疲勞破壞.

(4) 從圖2—8可以清楚的看到,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡量增大時(shí),由于碰摩導(dǎo)致的油膜反向渦動(dòng)使軸心軌跡發(fā)生明顯的改變.

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Nonlinearanalysis on rub impact rotor with mass eccentricity

With the Lagrange equation,a rub-impact fault mechanical model for rotor-stator-bearing system is first established.By employing the numerical analysis for the time-domain waveform,axis track and Poincare section with mass eccentricity,the system bifurcation characteristic and chaotic route are then revealed.Finally,it is indicated from results that,when the mass eccentricity is treated as the single control parameter,the complex nonlinear dynamical behavior occurs.Therefore,this approach provides the theoretical reference to large rotary machinery fault diagnosis.

rub impact; time-domain waveform; axis track; poincare section

黑龍江省自然科學(xué)基金(E201339)；佳木斯大學(xué)自然科學(xué)基金(L2013-067)

劉桂珍(1965-) ,女,工學(xué)博士.E-mail:jmslgz@163.com

TH 133

A

1672-5581(2016)01-0021-05