軸向載荷作用下H形懸臂梁穩(wěn)定性能研究

王文浩,茍文選，楊 帆，閆五柱

(1.西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安 710129；2.太原科技大學(xué)機械工程學(xué)院，山西 太原 030024)

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軸向載荷作用下H形懸臂梁穩(wěn)定性能研究

王文浩1,2,茍文選1，楊 帆1，閆五柱1

(1.西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安 710129；2.太原科技大學(xué)機械工程學(xué)院，山西 太原 030024)

受壓的H形截面梁或柱是機械設(shè)備中普遍采用的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，對其承載力的準(zhǔn)確預(yù)測有重要的意義。本文采用解析法和有限元分析方法，分別計算了屈曲臨界載荷和考慮初始缺陷的后屈曲承載力。通過分析得出主要結(jié)論：第一，考慮初始缺陷的后屈曲分析結(jié)果比較接近實際情況，與不考慮初始缺陷的臨界載荷相比更接近規(guī)范計算值。第二，適用于歐拉公式的細長壓桿屈曲后強度不會提高，因此屈曲后強度不能提供安全儲備。第三，有限元解與規(guī)范計算值的差別是由于規(guī)范值考慮了安全系數(shù)。本文得出的結(jié)論可供機械工程設(shè)計人員參考。

懸臂梁；屈曲；后屈曲

0 前言

H形梁、柱和工字形梁結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于重型機械行業(yè)中[1]，如龍門架、架橋機、塔式起重機、桅桿起重機以及軌道的主要結(jié)構(gòu)部件，橋式起重機主梁，桁架式起重機上下弦桿，門式起重機支腿以及振動設(shè)備底座[2]等。其中H形截面由于沿兩主軸方向的截面抗彎模量比較接近，主要用于受壓構(gòu)件和沿兩個主軸平面受彎的構(gòu)件；工字形截面由于截面較高，一般僅用于在其腹板平面內(nèi)受彎的構(gòu)件。然而在實際工程中，純粹的受壓或者受彎構(gòu)件是很少見的，因此工字梁也有受壓的要求。作為機械工程主要結(jié)構(gòu)的受壓梁和柱主要工作在彈性階段，因此基于線彈性理論的受壓桿屈曲臨界載荷分析比較常見，基于大變形理論的幾何非線性和材料非線性后屈曲分析較為少見。但由于工程機械本身的工作特點，如露天作業(yè)多、超載時有發(fā)生以及工作環(huán)境的復(fù)雜性，大型工程機械在工作狀態(tài)或非工作狀態(tài)下可能會遭受到強風(fēng)，地震，山洪，地質(zhì)滑坡等超過工作載荷，使其結(jié)構(gòu)應(yīng)力超過彈性極限的載荷作用。2008年5月12日，四川汶川8.0級強震波及西安，全市1200多臺塔吊，30%塔吊不同程度出現(xiàn)了故障和損壞而被迫停用，其中使用高度較高的20臺塔吊受到嚴(yán)重損壞[3-4]?？梢姙闄C械結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵承力部件保留一定的安全儲備是非常有必要的。由于鋼結(jié)構(gòu)通常具有較好的塑性變形能力[5]，通過設(shè)計達到一定的安全儲備是可行的[6]。本文以一普通H形梁為例，分析了在軸向壓縮載荷作用下的屈曲性能，作為安全儲備，對后屈曲性能也進行了相應(yīng)的分析。

1 問題描述

圖1 H形截面懸臂梁Fig.1 H-section cantilever beam

本文建立的H形懸臂梁，為工程機械中常用的H形梁，其長度、截面尺寸、受力形式和約束情況如圖1所示，坐標(biāo)系采用笛卡爾固定坐標(biāo)系，服從右手螺旋法則，左端為固定端，右端為自由端。梁材料采用普通碳素鋼Q235鋼，彈性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7.85 g/mm3。載荷P作用于A點，沿梁軸線方向作用，當(dāng)P達到某一值時候，梁發(fā)生屈曲，該梁是否具有更高的后屈曲強度，尚需進一步判斷。由實際情況可知，任何力都應(yīng)作用在一定的分布面積上，A點作用的集中載荷P與實際情況不符，根據(jù)彈性力學(xué)[7]圣維南原理集中力P會對梁端部的局部區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生與均勻作用的分布力不同的效果，但是在離端部較遠的區(qū)域內(nèi)這種影響可以忽略不計。據(jù)此以集中力代替分布力不會對屈曲形式及承載力有顯著影響。 目前預(yù)測構(gòu)件屈曲載荷及后屈曲強度這類問題的方法主要有解析法和數(shù)值法。解析方法包括能求出精確解的解析方法和建立在一定的假設(shè)條件和適當(dāng)簡化基礎(chǔ)上的工程算法，規(guī)范往往采用后者。數(shù)值方法目前較多采用商業(yè)有限元軟件進行計算。下面將采用以上方法進行分析。

2 精確解析方法

該方法采用材料力學(xué)中分析壓桿穩(wěn)定性能的原理，先進行失穩(wěn)類型的判斷，然后確定計算方法，經(jīng)過判斷如果屬于細長桿受壓，可以直接采用歐拉公式[8]計算得到精確解析結(jié)果(以下簡稱解析解)。

首先計算基本的幾何參數(shù)。橫截面形心主軸最小慣性矩

橫截面面積

A=150×250-(150-15)×

(250-15×2)=7 800mm2

橫截面最小慣性半徑

失穩(wěn)類型的判斷。根據(jù)文獻[9]，計算壓桿的柔度值。

(1)

式中，λ為壓桿的柔度或長細比；μ為壓桿的長度因數(shù)，本文H形梁為懸臂梁，這里取2.0；l為壓桿的幾何長度；i為橫截面最小慣性半徑。

將以上計算結(jié)果代入式(1)得

根據(jù)桿件穩(wěn)定性理論，細長壓桿失穩(wěn)后承載力不能進一步增加。對于考慮初始缺陷的后屈曲計算目前尚沒有精確地解析方法。

3 數(shù)值分析

本文采用有限元軟件ANSYS和ABAQUS進行分析，為減少文字冗余，具體過程描述以ANSYS為例，對ABAQUS只將計算結(jié)果列出。

3.1 有限元模型建立

本文采用梁單元來模擬H形懸臂梁，梁單元采用精度較高的三節(jié)點beam189單元。沿梁長度方向劃分10個單元，網(wǎng)格大小為250mm，單元共計10個，節(jié)點20個。通過收斂性檢查10個單元所得結(jié)果是足夠精確的。建立的有限元模型如圖2所示。

圖2 H形懸臂梁有限元模型Fig.2 FEM model of H-section cantilever

3.1.1 定義材料屬性

本文選用H形懸臂梁材料密度為7.85g/cm3, 彈性模量為2.06E+5Mp, 泊松比為0.2，,用如下ANSYS命令定義材料屬性：mp,dens,1,7.85e3 ；mp,ex,1,2.06e11；mp,nuxy,1,0.2。

3.1.2 施加載荷和邊界條件

在有限元模型梁的右端A點施加集中力P=1 MN，在梁的左端施加固定端約束，A端自由，如圖3所示。

圖3 H形懸臂梁有限元載荷及約束條件Fig.3 FEM load and constraint condition of H-section cantilever beam

3.2 有限元分析

本文首先對H形懸臂梁進行屈曲模態(tài)計算即計算其臨界力。然后進行后屈曲分析計算其屈曲后強度。

3.2.1 臨界載荷

ANSYS中進行屈曲分析過程與ABAQUS中不同，不能直接進行屈曲計算，需要先進行靜力分析，然后再進行模態(tài)計算。

在有限元模型建完后，先輸入命令

antype,0

solve

進行求解完成靜力計算，然后，輸入命令

antype,1

bucopt,lanb,2,0

solve

求解屈曲模態(tài)，提取前兩階模態(tài)。

通過有限元分析計算得到H形懸臂梁的屈曲模態(tài)如圖4所示。從圖中可以看出第二階屈曲模態(tài)的屈曲因子大約是第1階模態(tài)的屈曲因子的7倍，所以第2階模態(tài)及以后的模態(tài)所占比重很小，發(fā)生的可能性很小，實際的屈曲模態(tài)應(yīng)與第1階模態(tài)比較接近，以第1階屈曲模態(tài)作為H形懸臂梁的臨界失穩(wěn)模態(tài)。計算得屈曲載荷為

圖4 H形懸臂梁屈曲模態(tài)Fig.4 buckling mode of H-section cantilever beam

3.2.2 后屈曲載荷

后屈曲分析是在屈曲模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，在上文計算出的第1階模態(tài)變形的基礎(chǔ)上乘以一個縮放系數(shù)(2階以上模態(tài)產(chǎn)生的影響忽略不計)，疊加到原結(jié)構(gòu)的每一個坐標(biāo)點上，作為結(jié)構(gòu)的位移初始擾動[10]。這個初始擾動也稱為初始偏心，以此來代表本文H形梁的初始缺陷，此處初始偏心取H形梁截面較小尺寸的5%，即：150×5%=7.5 mm，考慮尚有安裝偏差、構(gòu)件加工誤差等其它因素，將其一并計入初始偏心距中，故取為10 mm，縮放系數(shù)取0.01，相當(dāng)于梁的最大偏移值為10 mm。然后去掉原模型上的力，施加新的載荷進行非線性迭代計算，直到收斂。

后屈曲分析中主要的設(shè)置包括首先使用命令nlgeom,1打開大變形，然后進行弧長法設(shè)置和弧長法終止準(zhǔn)則：

arclen,1

arctrm,l

進行載荷子步設(shè)置

nsubst,200,,,1

提交ANSYS計算

solve.

最后得ANSYS計算結(jié)果是：

ABAQUS計算結(jié)果是：

得出載荷與位移曲線如圖5所示，從載荷位移曲線可以看出H形梁受壓過程中，在臨界值時達到最大承載力，進入后屈曲階段后載荷沒有增加。

圖5 H形梁壓縮載荷位移曲線Fig.5 Compressive load-axial displacement curves of H-section beam

4 根據(jù)規(guī)范推薦公式計算

鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范[11]推薦的實腹式軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定性按公式(3)計算。

(2)

式中，N為所計算構(gòu)件段范圍內(nèi)的軸向壓力，此處N待定；φ為彎矩作用平面內(nèi)的軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)，此處根據(jù)規(guī)范[11]查得φ=0.303；f為鋼材的抗壓強度設(shè)計值，此處根據(jù)規(guī)范[11]查得f=215MPa。

將已知數(shù)代入公式(2)并取等號得屈曲臨界載荷為：

Nbuckling=508 131N

考慮到梁有10mm的初始偏心，以第一階模態(tài)變形為梁的初始變形，根據(jù)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范[9]實腹式壓彎構(gòu)件，彎矩作用平面內(nèi)的穩(wěn)定性采用如下公式計算：

(3)

式中， N為所計算構(gòu)件段范圍內(nèi)的軸向壓力；此處N待定

φx為彎矩作用平面內(nèi)的軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)，此處根據(jù)規(guī)范[7]，查得φx=0.303；

Mx為所計算構(gòu)件段范圍內(nèi)的最大彎矩，此處Mx為梁端部的初始偏心乘以軸向壓力N。

則Mx=10×N

W1x為在彎矩作用平面內(nèi)對較大受壓纖維的毛截面模量，此處

βmx為等效彎矩系數(shù)，對于懸臂構(gòu)件βmx=1.0；γx為與截面模量相應(yīng)的截面塑性發(fā)展系數(shù)，此處查規(guī)范[11]得γx=1.2；f為鋼材的抗壓強度設(shè)計值，此處查規(guī)范[11]得f=215MPa。

將已知參數(shù)代入公式(3)，同時取等式，可得

解之得按規(guī)范計算的承載力為：Ndefect=380 090N

4 討論

H形梁軸心受壓臨界失穩(wěn)載荷的有限元解與解析解的比較如表1所示，可以看出有限元計算結(jié)果與解析分析結(jié)果非常接近。表2列出了規(guī)范計算值與解析解和有限元解的比較?？紤]工程實際情況復(fù)雜性和預(yù)測上的困難，規(guī)范計算值取值一般比較保守，通過安全系數(shù)來提高構(gòu)件的可靠性，本文H形梁采用Q235鋼塑性較好，由文獻[9]可知桿件安全因數(shù)的參考數(shù)值對于塑性材料一般取ns=1.2～2.5。由表2可知，解析解、有限元解與規(guī)范計算值的比值分別為1.36、1.36、1.35均位于1.2～2.5之間。

表1 H形梁軸心受壓臨界載荷有限元解與解析解的比較

表2 H形梁規(guī)范計算值與解析解和有限元解的比較

對于屈曲后強度的解析解現(xiàn)有方法計算結(jié)果不夠準(zhǔn)確，現(xiàn)將有限元計算結(jié)果列于表3。后屈曲有限元計算已經(jīng)考慮了構(gòu)件的初始缺陷的影響，在這種情況下，本質(zhì)上屬于壓彎構(gòu)件的非線性大變形計算，由上文可知安全系數(shù)為ns=1.2～2.5。表4列出了有限元解與規(guī)范計算值的對比結(jié)果。從表4中可得有限元解與規(guī)范計算值得比值分別為1.47、1.44，均位于1.2～2.5范圍內(nèi)。

表3 H形梁軸心受壓考慮初始缺陷的有限元結(jié)果比較

表4 H形梁后屈曲有限元解與規(guī)范計算值比較

通過分析可知，考慮初始缺陷的臨界載荷明顯低于未考慮缺陷的臨界載荷值。由解析分析顯示，該梁屬于細長壓桿，這種類型的構(gòu)件在軸向壓力達到臨界值后，就喪失了承載力，所以臨界值是承載力的上限，構(gòu)件屈曲后承載力不可能再增加；通過有限元后屈曲強度分析該梁在達到臨界載荷后，承載力逐漸降低，后屈曲強度沒有進一步增長，屬于極值點失穩(wěn)，如圖5所示，與解析分析結(jié)果相同。

5 結(jié)論

本文通過解析法、有限元分析方法，分別計算了屈曲臨界載荷和考慮初始缺陷情況下的最大承載力，得出以下幾點結(jié)論，供機械設(shè)計人員參考。

(1)解析解和有限元解均能準(zhǔn)確的預(yù)測軸心受壓梁的屈曲臨界載荷，其精度十分接近。

(2)適用于歐拉公式的受壓細長桿，屈曲后強度不會有所提高，屬于極值點失穩(wěn)，不能為結(jié)構(gòu)提供安全儲備。

(3)軸心受壓梁的臨界載荷規(guī)范計算值與有限元解和解析解比值位于文獻[9]安全系數(shù)的合理范圍1.2～2.5之間。

(4)采用后屈曲分析方法可以考慮材料的初始缺陷和材料的非線性，比較符合工程實際情況，它與臨界值相比更接近規(guī)范計算結(jié)果。

(5)考慮初始缺陷和材料非線性的后屈曲承載力，有限元解與規(guī)范計算值的比值位于文獻[9]安全系數(shù)的合理范圍1.2～2.5之間。

(6)通過本文算例可以得出按規(guī)范計算的后屈曲承載力要比臨界力更加保守。

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Research on stability of H-section cantilever beam unber axial load

WANG Wen-hao1，2，GOU Wen-xuan1,YANG Fan1,YAN Wu-zhu1

(1. School of Mechanics, Civil Engineering and Architecture, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710129，China；2.School of Mechanical Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

Compressed H-section beams or columns are widely used as structure members of mechanical equipment, and so it is very important that precisely forecast its bearing capacity. In this paper, the critical buckling load and the post-buckling bearing capacity considering initial imperfection was calculated by analytic method and finite element method (FEM). By analysis the main conclusion is as follows: firstly, the result of post-buckling considering initial imperfection is closer to reality condition than critical buckling load which is not considering initial imperfection; secondly, the post-buckling bearing capacity of slender compression member meeting conditions of Euler formula is not increased, and therefore the post-buckling bearing capacity cannot provide enough margin of strength; lastly, discrepancies between FEM results and code results are that the latter takes account the coefficients of safety.

cantilever beam; buckling; post-buckling

2016-05-10；

2016-06-15

山西省自然科學(xué)基金(2013011022-6)

王文浩(1976-)，男，講師，博士研究生，研究方向：先進材料與結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為，機械設(shè)計等。

TU391

A

1001-196X(2016)05-0036-06