測(cè)節(jié)儀測(cè)量透鏡組基點(diǎn)的討論

劉秋武

（韓山師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，廣東 潮州 521041）

測(cè)節(jié)儀測(cè)量透鏡組基點(diǎn)的討論

劉秋武

（韓山師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，廣東 潮州 521041）

透鏡組的基點(diǎn)在幾何光學(xué)中占有重要的地位．對(duì)平行光束中不同的入射光線經(jīng)過透鏡組后的出射情況進(jìn)行分析，討論了透鏡組像方節(jié)點(diǎn)到測(cè)節(jié)儀轉(zhuǎn)軸不同距離時(shí)的成像規(guī)律和用測(cè)節(jié)儀測(cè)量透鏡組基點(diǎn)的方法，以加深對(duì)透鏡組基點(diǎn)的理解和用測(cè)節(jié)儀測(cè)量透鏡組基點(diǎn)的認(rèn)識(shí)．

透鏡組；幾何光學(xué)；基點(diǎn)；測(cè)節(jié)儀；成像規(guī)律

透鏡組的基點(diǎn)是指透鏡組的主點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)和焦點(diǎn)，包括物方和像方共6個(gè)點(diǎn)，它們是透鏡組的重要參數(shù)．如果確定了透鏡組的基點(diǎn)，則入射光線通過透鏡組的行為便可完整的描述出來．測(cè)量透鏡組基點(diǎn)的方法有焦距儀法和測(cè)節(jié)儀法［1-5］．焦距儀法是用焦距儀測(cè)量透鏡組焦點(diǎn)以及透鏡與焦平面間的相對(duì)距離來求出基點(diǎn)的方法，具有較高的測(cè)量精度．測(cè)節(jié)儀法是根據(jù)經(jīng)過透鏡組物方節(jié)點(diǎn)的入射光線，其出射光線的延長(zhǎng)線必過像方節(jié)點(diǎn)并與入射光線平行這一性質(zhì)來測(cè)定節(jié)點(diǎn)的．目前很多高校都有開設(shè)用測(cè)節(jié)儀測(cè)量透鏡組基點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要有3個(gè)疑問：1）光學(xué)教科書多以節(jié)點(diǎn)的角放大率為1來說明過物方節(jié)點(diǎn)的入射光線，其出射光線過像方節(jié)點(diǎn)并與入射光線平行出射，沒有給出詳細(xì)的證明．2）不管透鏡組在測(cè)節(jié)儀滑軌上任何位置，物方節(jié)點(diǎn)和像方節(jié)點(diǎn)都是存在的，為什么轉(zhuǎn)動(dòng)測(cè)節(jié)儀前后若像點(diǎn)在橫向方向基本不動(dòng)，則轉(zhuǎn)軸所在的位置為透鏡組的像方節(jié)點(diǎn)？其他位置會(huì)移動(dòng)的像點(diǎn)就不是呢？3）在尋找清晰地沒有橫向位移的像點(diǎn)過程中，有沒有規(guī)律判斷像方節(jié)點(diǎn)是靠近還是遠(yuǎn)離了測(cè)節(jié)儀的轉(zhuǎn)軸，以便更有目的性地對(duì)透鏡組的位置進(jìn)行調(diào)節(jié)？本文就以上問題進(jìn)行討論，以加深對(duì)透鏡組基點(diǎn)的理解和用測(cè)節(jié)儀測(cè)量透鏡組基點(diǎn)的認(rèn)識(shí)．

1 平行光束通過透鏡組的成像

為描述方便，假設(shè)透鏡組由兩個(gè)像方焦距分別為f1′和-f2′的凸透鏡L1和凹透鏡L2組成，兩透鏡相距為t，置于空氣中，空氣的折射率近似為1，如圖1所示.

圖1　光線通過透鏡組時(shí)的行為

設(shè)透鏡組的主光軸與直角坐標(biāo)系的z軸重合，由于透鏡組以z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，故只需討論位于xz平面內(nèi)的入射光線.對(duì)于 xz平面內(nèi)的光線，可由它通過的點(diǎn)坐標(biāo)（x，z）和光線的傾角α確定.一束平行光以傾角α入射透鏡組，其中經(jīng)過參考面Σ0與主光軸交點(diǎn)的光線①，在參考面Σ0上的坐標(biāo)為=（α，0）（右上標(biāo)表示光線①，右下標(biāo)為參考面的編號(hào)，下同）.在近軸條件下，由矩陣光學(xué)［6-8］可知，光線傳播到透鏡L1所在的參考面Σ1上的坐標(biāo)為

其中，-l1是透鏡L1到參考面 Σ0的距離（這里 l1是負(fù)值）.設(shè)透鏡組的系統(tǒng)矩陣為，元素a、b、 c、d是高斯常數(shù)，并有關(guān)系bc-ad=1，則光線傳播到透鏡L2所在的參考面Σ2上的坐標(biāo)為

上式表示出射光線的出射方向與入射光線平行，并把這個(gè)入射點(diǎn)稱為物方節(jié)點(diǎn)N1.作出射光線的延長(zhǎng)線交主光軸于N2點(diǎn)，把這點(diǎn)稱為像方節(jié)點(diǎn).由式（2）可知出射光線在參考面Σ2上的高度為

在△N2AB中，當(dāng)α很小時(shí)，透鏡L2到像方節(jié)點(diǎn)N2的距離

由式（3）可知，過物方節(jié)點(diǎn) N1的入射光線，其出射光線的延長(zhǎng)線必過像方節(jié)點(diǎn)N2并與入射光線平行，即角放大率為1，透鏡L1到物方節(jié)點(diǎn) N1距離-l1和透鏡L2到像方節(jié)點(diǎn)N2距離-l2可由式（3）和式（5）確定.

當(dāng)透鏡組處于同一媒質(zhì)時(shí)，兩主點(diǎn)分別與兩節(jié)點(diǎn)重合.假設(shè)平行光束的另一光線②與物方主平面的交點(diǎn)為D，坐標(biāo)為=（α，-h），在近軸條件下，光線傳播到參考面Σ1上的坐標(biāo)為

從參考面Σ1通過透鏡組傳播到參考面 Σ2上的坐標(biāo)為

由式（3）和式（7）可知，這兩條光線經(jīng)過透鏡組后的傾角是不同的，它們的交點(diǎn)P便是這束平行光的匯聚點(diǎn).設(shè)參考面 Σ2到經(jīng)過點(diǎn) P的焦平面Σ3的距離為l3，光線①在焦平面Σ3的坐標(biāo)為

光線②在焦平面Σ3的坐標(biāo)為

由圖1可知透鏡組的像方焦距：

像點(diǎn)P在焦平面上的高度為

作出射光線CP的反向延長(zhǎng)線交像方主平面于E點(diǎn)，在△EGP中，當(dāng)α很小時(shí)，有：

由上式可知，光線②在兩主平面的橫向放大率是1，其出射光線必過匯聚點(diǎn)P.

2 像點(diǎn)位置隨透鏡組像方節(jié)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸距離變化的規(guī)律

設(shè)有一束平行光平行于主光軸入射到透鏡組會(huì)聚于像方焦點(diǎn)，保持入射平行光束的方向不變，以主光軸上的一點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)透鏡組.當(dāng)透鏡組位于轉(zhuǎn)動(dòng)后光軸上的不同位置時(shí)，像點(diǎn)的移動(dòng)情況是不同的.

2．1轉(zhuǎn)軸與透鏡組像方節(jié)點(diǎn)重合

透鏡組轉(zhuǎn)動(dòng)前的物方節(jié)點(diǎn)、像方節(jié)點(diǎn)和像方焦點(diǎn)分別為N1、N2和F′，使透鏡組繞像方節(jié)點(diǎn)N2并垂直于主光軸轉(zhuǎn)動(dòng)一小角度 α，轉(zhuǎn)動(dòng)后的物方節(jié)點(diǎn)為N′1，如圖2所示.轉(zhuǎn)動(dòng)前后的光路分別用實(shí)線和虛線表示.過轉(zhuǎn)動(dòng)后的物方節(jié)點(diǎn)N′1的光線AN′1，其出射光線必過像方節(jié)點(diǎn)N2并平行于入射方向出射，與轉(zhuǎn)動(dòng)后的焦平面交于P點(diǎn)，這就是轉(zhuǎn)動(dòng)后像點(diǎn)的位置.由光線經(jīng)過兩主平面的橫向放大率是1，取N2E=N′1C，連接 EP，則 EP便是光線 BC的出射光線.由圖2可知，轉(zhuǎn)動(dòng)前后焦點(diǎn)由F′縱向移到P點(diǎn)，沒有橫向移動(dòng).由于像屏在透鏡組轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)并沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，像屏看到的像是轉(zhuǎn)動(dòng)后的像點(diǎn) P的光錐截面，像點(diǎn)變得稍微模糊.

2．2轉(zhuǎn)軸與透鏡組像方節(jié)點(diǎn)不重合

當(dāng)轉(zhuǎn)軸O與像方節(jié)點(diǎn) N2不重合，轉(zhuǎn)動(dòng)透鏡組后的像點(diǎn)P不在Z軸上.下面分4種情況討論轉(zhuǎn)軸O到像方節(jié)點(diǎn) N2不同距離時(shí)，像點(diǎn) P的位置變化情況.

1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸O在像方節(jié)點(diǎn)N2的右側(cè)并距離較遠(yuǎn)時(shí)，像點(diǎn)的變化情況如圖3（a）所示.透鏡組轉(zhuǎn)動(dòng)前，平行光束匯聚于焦點(diǎn)F′，繞轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)角度α后，經(jīng)物方節(jié)點(diǎn)N′1的光線 AN′1必經(jīng)過像方節(jié)點(diǎn)N′2平行于入射方向出射，與轉(zhuǎn)動(dòng)后的焦平面交于P點(diǎn)，這就是入射平行光束的匯聚點(diǎn).設(shè)轉(zhuǎn)軸O與像方節(jié)點(diǎn)N2的距離 ON2=ON′2=Δz，在 ΔN′2BP中 N′2B= N2F′=f′，有BP=αf′.在ΔOBD中，DB=α（Δz-f′），于是可得像點(diǎn)P在轉(zhuǎn)動(dòng)后的像屏上的位置DP=DB+BP=αΔz，相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)前的焦點(diǎn)F′，無論橫向還是縱向都發(fā)生了移動(dòng).當(dāng)轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點(diǎn)的距離Δz越大時(shí)，像點(diǎn)P偏離z軸越遠(yuǎn).

2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸O在像方節(jié)點(diǎn)N2的右側(cè)并距離較近時(shí)，像點(diǎn)的變化情況如圖 3（b）所示，像點(diǎn)的位置DP=OC=αΔz，由于轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點(diǎn)的距離 Δz較小，像點(diǎn)P偏離z軸較近.當(dāng)轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點(diǎn)重疊即Δz=0時(shí)，像點(diǎn)的位置DP=0，即P點(diǎn)在z軸上，沒有橫向移動(dòng)，如圖2所示.

圖2　轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點(diǎn)重合時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)透鏡組前后像點(diǎn)的位置

3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸O在像方節(jié)點(diǎn)的左側(cè)并距離較近時(shí)，像點(diǎn)的變化情況如圖3（c）所示.像點(diǎn)的位置 DP= N′2C=αΔz，由于轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點(diǎn)的距離Δz較小，像點(diǎn)P偏離z軸較近，與圖3（b）比較，像點(diǎn) P在 z軸的下方.

4）當(dāng)轉(zhuǎn)軸O在像方節(jié)點(diǎn)N2的左側(cè)并距離較遠(yuǎn)時(shí)，像點(diǎn)的變化情況如圖 3（d）所示.在 ΔOBD中，BD=α（Δz+f′）.在ΔN′2BP中，BP=αf′，于是可得像點(diǎn)P在轉(zhuǎn)動(dòng)后的像屏上的位置DP=DB-BP=αΔz，相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)前的焦點(diǎn) F′，像點(diǎn) P的位置發(fā)生了移動(dòng).當(dāng)轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點(diǎn)的距離Δz越大時(shí)，像點(diǎn)P偏離z軸越遠(yuǎn).

圖3　轉(zhuǎn)軸O與像方節(jié)點(diǎn)N2不重合時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)透鏡組前后像點(diǎn)的位置

2．3像點(diǎn)隨透鏡組移動(dòng)的變化規(guī)律

當(dāng)透鏡組沿著轉(zhuǎn)動(dòng)后的主光軸z′從左往右移動(dòng)時(shí)，光線①從物方節(jié)點(diǎn)N1入射后在像方節(jié)點(diǎn)N2平行出射，交像屏于P1點(diǎn)，如圖4所示；繼續(xù)向右移動(dòng)透鏡組，光線②的像點(diǎn)為 P2，它比 P1到原主光軸 z的距離??；當(dāng)透鏡組的像方節(jié)點(diǎn) N2與轉(zhuǎn)軸 O重合時(shí)，像點(diǎn)P3位于原主光軸 z上，像點(diǎn) P4、P5是透鏡組遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸時(shí)的情況，像點(diǎn)是在原主光軸z的另一側(cè)，而且透鏡組越遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸，像點(diǎn)越偏離主光軸.當(dāng)透鏡組逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，也有類似的規(guī)律.因此，可應(yīng)用上述規(guī)律，將透鏡組轉(zhuǎn)過某一小角度后并保持不變，在測(cè)節(jié)儀導(dǎo)軌上按一定方向（順著光線或逆著光線）移動(dòng)透鏡組，并改變像屏的位置，使其成清晰像點(diǎn)，觀察像點(diǎn)的橫向位置變化.如果像點(diǎn)越來越偏離主光軸 z，說明像方節(jié)點(diǎn)遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸；相反，如果像點(diǎn)越來越靠近主光軸z，說明像方節(jié)點(diǎn)越接近轉(zhuǎn)軸；如果像點(diǎn)從主光軸的一側(cè)移動(dòng)到另一側(cè)，則透鏡組的像方節(jié)點(diǎn)經(jīng)過測(cè)節(jié)儀的轉(zhuǎn)軸.當(dāng)像方節(jié)點(diǎn)接近轉(zhuǎn)軸時(shí)，可適當(dāng)增大轉(zhuǎn)角α，便于觀察，反復(fù)細(xì)調(diào)，直至找到清晰地沒有橫向位移的像點(diǎn)，此時(shí)透鏡組像方節(jié)點(diǎn)位于測(cè)節(jié)儀轉(zhuǎn)軸上.

圖4　像方節(jié)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸不同距離時(shí)的像點(diǎn)位置的變化規(guī)律

3 結(jié)束語

在用測(cè)節(jié)儀測(cè)量透鏡組基點(diǎn)時(shí)，必須在理解光線經(jīng)過節(jié)點(diǎn)、主點(diǎn)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)移動(dòng)測(cè)節(jié)儀導(dǎo)軌上透鏡組前后像點(diǎn)的變化判斷透鏡組的像方節(jié)點(diǎn)是靠近還是遠(yuǎn)離了轉(zhuǎn)軸，是保證實(shí)驗(yàn)順利進(jìn)行的重要環(huán)節(jié)．要緊緊抓住節(jié)點(diǎn)角放大率為1這一性質(zhì)，指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)過程中看到的現(xiàn)象．當(dāng)透鏡組從轉(zhuǎn)過一小角度的測(cè)節(jié)儀導(dǎo)軌的一端向另一端移動(dòng)時(shí)，比較像點(diǎn)偏離原來主光軸的大小和方位，判斷透鏡組的像方節(jié)點(diǎn)是靠近還是遠(yuǎn)離了轉(zhuǎn)軸，逐步調(diào)整透鏡組的位置，直至找到清晰地沒有橫向位移的像點(diǎn)．通過探究像點(diǎn)變化與透鏡組移動(dòng)之間的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力，并加深對(duì)透鏡組基點(diǎn)的理解和用測(cè)節(jié)儀測(cè)量透鏡組基點(diǎn)的認(rèn)識(shí)．

［1］ 楊述武．普通物理實(shí)驗(yàn)（三、光學(xué)部分）［M］．3版．北京：高等教育出版社，2000：49-56．

［2］ 朱鶴年．新概念基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)講義［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2013：195-196．

［3］ 劉竹琴．橫向放大率法測(cè)定光具組的基點(diǎn)［J］．大學(xué)物理，2006，25（8）：40-42．

［4］ 馮笙琴，朱世坤．基點(diǎn)測(cè)定實(shí)驗(yàn)中透鏡的選擇與搭配［J］．物理實(shí)驗(yàn)，1990，10（3）：134-136．

［5］ 母國光，戰(zhàn)元齡．光學(xué)教程［M］．北京：高等教育出版社，2009：40-42．

［6］ 蔡履中，王成彥，周玉芳．光學(xué)［M］．修訂版．濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2002：34-41．

［7］ 葉玉堂，饒建珍，肖峻，等．光學(xué)教程［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2013：195-196．

［8］ 王仕璠，朱自強(qiáng)．近代光學(xué)原理［M］．成都：電子科技大學(xué)出版社，1998：3-12．

Discussion on the measurement of cardinal points of a compound lens using nodal slide

LIU Qiu-wu
School of Physical and Electrical Engineering，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong 521041，China）

The cardinal points play an important role in the geometrical optics．The spread of optical imaging is analyzed when a collimated light beam passes through a compound lens，then the image rule is discussed when the rotational axis of the nodal slide does not coincident with the image nodal point，and the measurement method of cardinal points of a compound lens is presented．These can be used to deepen students’comprehensive understanding of the cardinal points of compound lens and measurement with nodal slide．

compound lens；geometrical optics；cardinal points；nodal slide；image rule

O 435．2

A

1000-0712（2016）10-0035-04

2015-12-02；

2016-03-07

2014年廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目（GDJG20142402）．

劉秋武（1975—），男，廣東潮州人，韓山師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院實(shí)驗(yàn)師，碩士，從事物理學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)和光學(xué)傳感測(cè)試研究工作．