力場與時間有關系統(tǒng)的功能定理及其應用

朱如曾

（中國科學院 力學研究所 非線性國家重點實驗室（LNM）微重力國家實驗室（NML），北京 100190）

教學研究

力場與時間有關系統(tǒng)的功能定理及其應用

朱如曾

（中國科學院 力學研究所 非線性國家重點實驗室（LNM）微重力國家實驗室（NML），北京 100190）

與時間有關的有勢力場與其他力共同作用系統(tǒng)的功能定理具有比普通的功能定理更為強大的應用價值，本文介紹這一功能定理，并應用于不同參考系觀察同一系統(tǒng)的機械能如何變化的兩個簡單實例：在地面上和升降機中觀察地面附近同一質點的機械能變化，在地面上和在運動車廂里看一端固定于車廂壁的彈簧振子的機械能變化．指出了有些文獻的有關錯誤．

與時間有關力場；功能定理；機械能守恒定理；重力場；輕質彈簧振子

如所熟知，與時間無關的有勢力場中力學系統(tǒng)的功能定理十分重要，按照功能定理，系統(tǒng)機械能的增加等于其他力所做功之和．功能原理在許多領域的應用研究一直連綿不斷，且越來越廣泛深入［1-3］，甚至應用于當前盛行的分子動力學模擬，如納米液滴的碰撞模擬研究［1］、生物醫(yī)學中對疾病的表征方法研究，如腦癱兒童步態(tài)病理的標定研究等等［2］．對于既存在其他力，而有勢力場又與時間有關的系統(tǒng)，機械能的變化自然應當由一種更為廣泛的功能定理所決定［4，5］．這種功能定理無疑是十分重要的基本定理，而且必將有廣泛的應用前景，但是不屬于現(xiàn)行大學物理課程的范圍．然而在大學物理教學中與時間有關力場的例子往往又不可避免，對于這樣的例子，機械能的變化往往只能單一地從動力學的計算得出．對物理教學討論文獻中出現(xiàn)的這類典型系統(tǒng)的機械能變化問題，在動力學計算方法之外采用與時間有關力場中的功能定理進行處理既方便，對于澄清物理概念又大有好處，所以本文將在第一節(jié)介紹這一功能定理，然后在第2節(jié)將其應用于不同參考系觀察同一系統(tǒng)的機械能如何變化的二個簡單實例：在地面附近重力場中的質點和一端固定在車廂壁的輕質彈簧振子，最后第3節(jié)是結論．

1 力場與時間有關系統(tǒng)的功能定理及機械能守恒定律

定理1 力場與時間有關系統(tǒng)的功能定理

對任一慣性系中各質點的位置和速度分別為ri和vi（i=1，…，n）的 n質點系統(tǒng)，如果除受到與時間t有關的，勢函數(shù)分別為 Epin和 Epout的有勢內力fini和有勢外力 fouti的作用外，還受到其他力 fothi（i=1，…，n）的作用，則系統(tǒng)的機械能E的變化率為

式中，E=Ek+Ep，Ep=Epin+Epout，Ek是系統(tǒng)的總動能.

證明 由勢函數(shù)的定義

得

系統(tǒng)的總動能Ek遵從動能定理

將式（3）、（4）和式（5）相加即得式（1）.證畢.

需要注意，實際的內力勢函數(shù)都不顯含時間，除非特殊假定.式（1）等價于文獻［6］中用廣義坐標表示的“機械能變化規(guī)律”.式（1）曾見于文獻［4］，在單質點一維運動且無其他力情況下式（1）簡化為文獻［5］的結果.

當參考系不是慣性系時，只需將慣性力視為其他力，就可以適用本功能定理.

當勢函數(shù)與時間無關時，式（1）右邊第二項恒等于零，本功能定理即退化為勢函數(shù)與時間無關的普通的功能定理.

由功能定理直接得到機械能守恒定律［4］.

定理2 力場與時間有關系統(tǒng)的機械能守恒定理

對于力場與時間有關的系統(tǒng)，如果在某段時間內

則在該段時間內系統(tǒng)的機械能守恒.

上述功能定理和機械守恒定理的證明并未限定于哪一個具體的慣性系，所以這些定理對各慣性系都成立，這符合相對性原理的要求.由于非慣性系的表征（加速度和角速度）是慣性系的觀察量，因此“將慣性力視為其他力的非慣性系，可適用上述功能定理和機械能守恒定理”就是慣性系的一條定理，它當然也必須服從相對性原理.但是對于同一系統(tǒng)，相對性原理顯然不能也沒有義務保證條件（6）對所有慣性系（和用慣性力修飾過的非慣性系，下同）一致地滿足或一致地不滿足，所以相對性原理雖然保證機械能守恒定理對于所有慣性系成立，但是它不能保證機械能守恒的事實對于所有慣性系都成立.

2 應用實例

2．1在地面上和升降機中觀察地面附近同一質點的機械能變化

如圖1所示，一質量為m的質點在地面附近重力場作用下相對于地面運動，一電梯相對于地面以恒速v0上升.現(xiàn)在分別從地面參照系A和電梯參照系B中看，質點的機械能是否守恒？

圖1

對于這一問題，忽略地球的自轉和公轉、地球上其他物體相對于地球的運動和其他天體的影響，假設只有地球、質點和電梯這3個物體存在，而電梯對質點的引力可以忽略．對于這一假設的模型，由于質點與地球之間的相互吸引，在質點與地球的共同質心系（慣性系）中看，地球和相對于地球做勻速運動的電梯都有微小的加速度mg/M（M是地球的質量，g是重力加速度，在地面附近視為常數(shù)），因而都不是嚴格的慣性系.因此在地面系和電梯系中看，質點和地球都受到微小慣性力的作用.質點受到的慣性力（-m2g/M）與地球對它的引力mg相比顯然可以忽略不計；地球受到的慣性力是（-mg），在地面系中看，地球速度為零，慣性力不做功；但是在電梯系中看，地球有速度（-v0），故慣性力對地球所作功率是mgv0，這是不能忽略的［7］.細心的讀者自然會問，其他被忽略的因素對地球的實際小擾動可能比質點對地球引起的小擾動大，這種模型是否不合理??？實際上，假設被忽略的其他因素和質點實際上分別使地球得到了遠小于g的加速度a1和a，從而使電梯中的慣性力對地球做的功率為a·Mv0+a1·Mv0.同時，其他因素提供的外力本身對地球所做的功率是-a·Mv0，它抵消了對應的慣性力的功率項.所以對于本問題，計算一個質點的機械能變化時，不必考慮真實存在的其他可能大得多的對地球的小擾動.

當我們把地球和質點作為一個兩體系統(tǒng)討論時，重力場稱為它們之間的相互作用內力場.如果在我們所采用的某參考系中，能夠預先知道或近似知道地球的坐標（即地面的坐標）隨時間的變化（例如，在地面系 A中 h地面A不隨時間而變，在電梯系 B中h地面B=h地面B（0）-v0t，在地球和質點的共同質心系C中 h地面C近似不隨時間而變），這個地球的坐標就可以不作為未知位形變量進入系統(tǒng)的運動微分方程之中，于是我們面對的是單質點在重力場中的運動，此時重力場便被稱為由地球坐標的時間函數(shù)所確定的已知外力場，它是來自內力場的外力場.因此得到如下定義［8］：

定義1 在外力場概念下質點的重力勢能就是內力場概念下質點與地球之間的相互作用勢能.

我們知道，內力勢能由系統(tǒng)中各對質點之間的距離決定，而與系統(tǒng)中各質點的速度無關.由于參考系（慣性系和非慣性系）的變換完全不改變系統(tǒng)中各對質點之間的距離以及相互作用力，所以內力勢能具有參考系變換下的不變性（即在不同參考系同時觀察同一系統(tǒng)的內力勢能是相等的），于是由定義1得到定理3：

定理3 對同一系統(tǒng)，不同參考系中的勢能（內力勢能及根源于內力場的外力勢能）具有參考系變換的不變性.

為簡單起見，做如下關于勢能零值的約定：

約定1 質點與地面距離為零時質點與地球之間的相互作用勢能即重力勢能為零.

（為了進一步認識勢能數(shù)值在地面和升降機中相等這一關鍵概念，可以以公共的無限遠處為勢能零點，分別在地面系和升降機中對地球引力進行精確的等時積分.由于引力和距離都是參考系變換不變量，因此引力的等時積分即勢能也是參考系變換不變量.當然，為了在升降機中討論質點的運動規(guī)律，可以以升降機的底為勢能的零點.這樣用牛頓力學算出的任何結果在升降機中都正確.但是要涉及參考系變換就必須遵從本文定義1和定理3，否則勢能便不可比較.這就像世界各國在涉及外貿(mào)時必須換為世界貨幣才能比較大小和交換！）.

下面對圖1所示系統(tǒng)分別采用內力場和外力場概念進行處理.

2．1．1內力場處理

既然視為內力場，地球與質點便被視為是兩體系統(tǒng)，地面和質點在參考系A和B中的豎直坐標h地面A，h質點A，h地面B和 h質點B以及水平坐標就都是系統(tǒng)的位形坐標．

1）從地面上看（非慣性參考系A）

按照約定1，當（h質點A-h地面A）=0時的相互作用勢能EpinA為零．對式（2）的第一式做等時積分并利用約定1得

此式表明 EpinA只顯含位形坐標 h質點A和 h地面A，而不顯含時間．系統(tǒng)雖然受到屬于“其他力”的慣性力作用，但是由于在A中看地球靜止（h地面A為常量），慣性力不作功，而慣性力對質點所作的功又可以忽略不計，所以功能定理式（1）給出兩體系統(tǒng)的機械能EA滿足

其中

（vA為質點的速度，地球動能始終保持為零）．式（8）表明兩體系統(tǒng)機械能（近似）守恒．

2）在電梯參照系（非慣性參考系B）中看

由定理3和非慣性系A中的內力勢能式（7）得參考系B中的相互作用勢能為

（等時積分勢能函數(shù)的定義式（2）的第一式，并利用約定1也能給出此式．）式（10）表明，相互作用勢能只顯含二個位形坐標 h質點B和 h地面B，而與時間無關．作為其他力的慣性力-mg對質點所作的功可以忽略不計，但對地球所作功率為 mgv0，所以功能定理式（1）給出兩體系統(tǒng)機械能EB（近似）滿足

其中

這里vB為質點的速度，且

（將式（12）代入式（11）左端并利用式（8）可驗證式（11））.式（11）表明在電梯參照系中看，系統(tǒng)的機械能不守恒，并表明其根源在于慣性力對地球所做之功不能忽略.這也就是文獻［8］的結果.

2．1．2外力場處理

此時，地球的豎直坐標 h地面A和 h地面B以及水平坐標都是時間的已知函數(shù)，不作為待求的位形坐標．因此系統(tǒng)成為重力場中的單體系統(tǒng)，其位形坐標就只有質點的豎直坐標 h質點A和 h質點B及其水平坐標．

1）在地面上（非慣性參考系A）看．直接利用定義1和式（7）（或者對勢能函數(shù)的定義式（2）的第二式等時積分，并利用約定1）得A中的重力勢能為

式中，h地面A與時間無關，此式表明勢能只顯含作為位形坐標的質點的豎直坐標而不顯含時間．質點所受作為其他力的慣性力所作之功可以忽略不計，所以功能定理式（1）給出機械能EA滿足

其中

式（15）表明系統(tǒng)機械能（近似）守恒，這與內力場處理的結論（8）一致.

2）從電梯（非慣性參照系 B）中看.地面的坐標為

直接利用定義1和式（14）（或者對式（2）的第二式進行等時積分，并利用約定1）得 B中重力勢能為

式（18）表明，EpoutB不僅與質點高度這一位形坐標h質點B有關，還顯含時間t．這是由于在電梯上看，重力場的源（地球）是運動的．又由于質點所受作為外力的慣性力所作之功可以忽略不計，所以功能定理的式（1）給出系統(tǒng)機械能EB滿足

其中

將式（18）代入式（19）得

此（近似）式與內力場處理的結果式（11）一致，表示系統(tǒng)的機械能不守恒.式（19）顯示，系統(tǒng)在電梯中看機械能不守恒的根源在于外力場的勢函數(shù)顯含時間，而后者又根源于重力場源地球是運動的［9］.

2．1．3在地球和質點的共同質心系C或相對于質心以勻速v0運動的慣性系D中的觀察與在非慣性系A和B中的觀察之比較

慣性系C和D與非慣性系A和B的差別確實很小，但下面的分析表明其中的觀察結果的差異卻不是都很?。畬τ趦攘鎏幚?，無論在C或D中觀察，都無其他力，且勢能都不顯含時間，故機械能都守恒（但是在A中機械能（近似）守恒，在B中不守恒，由（近似）式（11）表示）．對于外力場處理，如果在C中觀察，則無其他力，且作為重力場源的地球（近似）靜止，故重力勢能場（近似）不顯含時間，因此系統(tǒng)機械能（近似）守恒（與 A中觀察（近似）相同）；如果在 D中觀察，雖然無其他力，但是地球的速度（近似）為-v0，所以重力勢能顯含時間，因此系統(tǒng)機械能不守恒（（近似）結果與 B中觀察到的（近似）式（21）相同）．

2．1．4對有關文獻的澄清

文獻［10］的例1對于同一問題采用了外力場處理，但是與本文的定義1及約定1不同，在電梯中和地面上勢能零點各取本參考系的原點，從而得到了地面系和電梯系機械能都守恒的結果．但是這只是地面附近可近似視為均勻場的一種局部巧合．如果精確考慮，或范圍擴大一點，地面系和電梯系中重力場便不能視為均勻場，此時即使采用文獻［10］的勢能零點取法，那么，地面系機械能守恒，而電梯系中重力場及其勢能將顯含時間，這違反了機械能守恒定理的條件（6），由定理1知機械能不守恒！順便指出，該文的例2對于固聯(lián)于運動車廂的斜面上的滑塊，為了湊合出地面上看系統(tǒng)機械能也守恒的錯誤結論，將斜面作用于滑塊的約束力所做之功獨出心裁地說成是以“約束力勢能的減小”為代價．事實上，如果一定要定義一個“約束力勢能”的話，那就是斜面的彈性勢能．然而由于剛性的斜面沒有形變，其彈性勢能永遠為零，無法減?。置黠@，約束力對滑塊所做之功其能量來源于滑塊下滑過程中維持小車勻速運動的動力機械所消耗的電能或化學能．

2．2在地面上和在運動車廂里看一端固定于車廂壁的彈簧振子的機械能變化

文獻［11］第113頁至114頁對運動車廂里的彈簧振子在地面上看機械能不守恒給出了一個簡單的證明：如圖2所示，“在車廂里光滑桌面上彈簧拉著一個物體m作簡諧振動，車廂以勻速v前進.選彈簧和m作為我們的系統(tǒng)，廂壁在C點拉彈簧的力f是外力.以地面為參考系，dA外=f·vdt≠0，從而系統(tǒng)的機械能E振子=Ek+E彈簧in≠常量.換到車廂參考系，彈簧與廂壁的連接點 C沒有位移，外力 f不作功，dA′外=0，系統(tǒng)的機械能=常量.”

圖2　運動車廂里的彈簧振子

這一證明基于文獻［11］中已經(jīng)強調的彈簧勢能只由彈簧長度決定而與時間無關，故適用勢函數(shù)與時間無關條件下的功能定理.也許有人要問，在多體（地球+車廂+彈簧+小球）的質心系統(tǒng)（慣性系）中看，由于彈簧的振動，地球和車廂都有微小的變化著的加速度因而不是嚴格的慣性系.小球要受到慣性力的作用，上述處理忽略了作為外力的慣性力的功是否合理呢？回答是，因為彈簧的拉力遠大于小球受到的慣性力，故在地球或車廂中看，小球受到的慣性力都可以忽略不計，即地球和車廂都可以近似地視為慣性系.

在文獻［11］的上述處理中，系統(tǒng)由一根質量可以忽略的彈簧和一個小球組成，車廂和地球是外界，這種描述方式可以稱之為“實體模型”.文獻［12，13］在“實體模型”下糾正了類似問題上文獻［14］的錯誤觀點.

我們還可以換一種等效的力場模型來處理這一問題.考慮到彈簧本身的動能忽略不計，對于小球和車廂壁而言，彈簧的唯一作用是以小球與其平衡點的距離為自變量按照胡克定律同時向小球和車廂壁提供相反的作用力，因此在地面和小車上可以分別用在相應的位形空間（x）和（x′）中假設車廂壁與小球之間存在服從胡克定律：

（其中 x0和 x′0=x0-vt分別為小球的平衡位置在地面和小車上的坐標）的有勢力場取代彈簧實體的存在，從而系統(tǒng)可以被描述為質量為m的小球（質點）在車廂壁所提供的、遵從胡克定律式（22）的有勢力場中運動.于是我們可以像例1一樣等價地采用內力場處理和外力場處理.在內力場處理下，勢能函數(shù)與時間無關 ，不是本文所重點關注的，為節(jié)省篇幅，建議讀者參考文獻［15］對類似問題的處理.下面只具體給出外力場處理.

與上面的定義1、定理3和約定1類似有定義2、定理4和約定2.

定義2 在外力場概念下小球的勢能就是內力場概念下小球與車廂壁之間的相互作用勢能.

定理4 小球的勢能由小球與車廂壁之間的距離決定而與參考系無關.

約定2 小球在車廂中的平衡位置 x′0取為小球與墻壁之間相互作用勢能的零點也即外力場勢能的零點.

上面已說明小車和地球都可以近似地視為慣性系.系統(tǒng)的機械能是小球的動能加上小球在有勢外力場中的勢能.

在小車上看，等時積分式（2）的第二式，將式（22）代入并利用約定2得小球的勢能為

本模型除有勢外力場外無其他作用力，故方程（1）給出系統(tǒng)的機械能E′小球滿足

此式表明在小車上觀察，系統(tǒng)的機械能守恒.

在地面上看，小球相對于小車的平衡位置x′0的地面系坐標x0是

由定理 4、約定 2和式（23）（或者等時（即等x0）積分式（2）的第二式，將式（22）代入并利用約定2和式（25））得小球的勢能為

式（22）和式（26）表明，力場和勢能函數(shù)的空間分布函數(shù)f和E小球pout不僅與小球的空間坐標 x有關，還與參數(shù)x0=x′0+vt有關，即顯含時間t，其物理圖像是整個外力場f及其勢函數(shù) E小球pout在 x空間以速度 v隨時間平移，其物理根源是，在地面上看，胡克力場的源（墻壁）具有速度v.

本模型除有勢外力場外，無其他力作用，故方程（1）簡化為

將式（26）代入式（27），并利用式（25）得

此式表明在地面上觀察系統(tǒng)的機械能不守恒，除非v=0，即小車不開動．

以上結論與實體模型所得結論完全一致．

順便指出，以外力場模型的觀點看待文獻［14，16］對類似問題的處理，那么其錯誤來自這些文獻對于與時間有關的力場，將勢能定義式（2）中的空間偏導數(shù)誤解為空間全導數(shù)，從而將勢能積分表示式（23）中負力的等時路徑積分式誤寫為隨體路徑積分．后者根據(jù)動能定理實際上是系統(tǒng)動能的減少，作者們既然將它誤解為系統(tǒng)勢能的增加，當然就得到系統(tǒng)機械能守恒的錯誤結論了．

3 結論

與時間有關力場的功能定理確實具有廣泛的使用價值，且其證明極其簡單，值得在大學物理課程中列為選修內容或者思考題．過去由于某些文獻的作者缺乏這方面的關注而導致的錯誤得到了原則上的糾正．

致謝：十分感謝北京大學趙凱華教授的有益討論和建議．

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Work-energy theorem for systems with time related force field and its application

ZHU Ru-zeng
（State Key Laboratory of Nonlinear Mechanics（LNM）and Key Laboratory of Microgravity，Institute of Mechanics，Chinese Academy of Science，Beijing 100190，China）

The work-energy theorem for systems with time related force field possessing potential and other forces has more powerful application value than the ordinary work-energy theorem．This paper plans to introduce the former and apply it to judge whether the mechanical energy relative to different reference systems is conservative for two simple systems：a particle in the gravity field and a light spring oscillator with one end fixed in the moving compartment．

time related field；work-energy theorem；theorem of mechanical energy conservation；gravity field；light spring oscillator

O 301

A

1000-0712（2016）10-0011-06

2014-12-01；

2016-05-13

朱如曾（1941— ），男，江蘇靖江市人，中國科學院力學研究所研究員、博士生導師，主要從事物理力學等研究工作．