淺析函數(shù)的一類“凸”性質(zhì)

陳志強(qiáng)

摘 要： 本文結(jié)合凸函數(shù)和平方凸函數(shù)的概念，給出了N次冪凸函數(shù)的定義和判斷N次冪凸函數(shù)的三個(gè)定理.

關(guān)鍵詞： 凸函數(shù) 平方凸函數(shù) N次冪凸函數(shù)

凸函數(shù)的重要性及其應(yīng)用價(jià)值已為大家所熟知，尤其在A凸函數(shù)和平方凸函數(shù)的概念提出N次冪凸函數(shù)的概念，給出了關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的三個(gè)“凸”性質(zhì)，進(jìn)一步拓展了凸函數(shù)的研究領(lǐng)域，擴(kuò)大了凸函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，使凸函數(shù)在不等式研究中發(fā)揮更廣泛的作用.

定義：設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)任意x■，x■∈I，有f（■）≤■

則稱f（x）在區(qū)間I上是下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是上凸函數(shù).

拓展定義1[1]：設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（tx■+（1-t）x■）≤tf（x■）+（1-t）f（x■）

則稱f（x）在區(qū)間I上是下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是上凸函數(shù).

一、預(yù)備知識(shí)

在引入新概念之前，我們?cè)俳o出一個(gè)常用概念——平方凸函數(shù).通過算術(shù)平均值、幾何平均值、調(diào)和平均值可以分別用來定義凸函數(shù)、幾何凸函數(shù)、調(diào)和凸函數(shù)的概念，運(yùn)用這一規(guī)律，我們利用凸函數(shù)與平方凸函數(shù)的概念模式，再結(jié)合N次冪平均值，進(jìn)一步建立了N次冪凸函數(shù)的概念.

定義2[2]：設(shè)f（x）是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，如果對(duì)任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區(qū)間I上是平方下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是平方上凸函數(shù).

定義3：設(shè)是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，如果對(duì)任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區(qū)間I上是N次冪下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是N次冪上凸函數(shù).

二、N次冪凸函數(shù)性質(zhì)

我們已經(jīng)給出了N次冪凸函數(shù)的概念，這里針對(duì)凸函數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)N次冪凸函數(shù)的概念，進(jìn)一步研究N次冪凸函數(shù)y=f（x），其反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、倒數(shù)函數(shù)的凸性.

定理1：設(shè)區(qū)間1，M？哿R■，f：I→M.

（1）若y=f（x）為I上嚴(yán)格增加的N次冪下（上）凸函數(shù)，則反函數(shù)y=f■（x）為M上嚴(yán)格增加的N次冪上（下）凸函數(shù).

（2）若y=f（x）為I上嚴(yán)格減少的N次冪下（上）凸函數(shù)，則反函數(shù)y=f■（x）為M上嚴(yán)格減少的N次冪下（上）凸函數(shù).

證明：這里僅證定理1（1）的前一種情況，其他同理可證.

因?yàn)閥=f（x）在I上為嚴(yán)格遞增函數(shù)，所以反函數(shù)y=f■（x）在M上為嚴(yán)格增函數(shù).

任取y■，y■∈M，則存在x■，x■∈I

使x■=f■（y■），x■=f■（y■），y■=f（x■），y■=f（x■）

因?yàn)閥=f（x）為I上是N次冪下凸函數(shù)，所以對(duì)任意t∈（0，1），

有f（■）≤■

即f（■）≤■？搖？搖（*）

且f（■）∈M，■∈M

又y=f（x）的反函數(shù)y=f■（x）在M上是嚴(yán)格增函數(shù)，于是（*）式化為

f■（f■）≤f■（■）

即f■（■）≥■

根據(jù)定義3及y=f■（x）在M上是嚴(yán)格增函數(shù)，可知函數(shù)y=f■（x）在區(qū)間M上是嚴(yán)格增加的N次冪上凸函數(shù).

定理2：設(shè)f（u）是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，g：A→B，區(qū)間A？哿R■，區(qū)間B？哿I.

（1）若y=f（u）為I上嚴(yán)格增加的N次冪下（上）凸函數(shù)，u=g（x）為A上的N次冪下（上）凸函數(shù)，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數(shù).

（2）若y=f（u）為I上嚴(yán)格減少的N次冪下（上）凸函數(shù)，u=g（x）為A上的N次冪上（下）凸函數(shù)，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數(shù).

證明 這里僅證定理2（1）的前一種情況，其他同理可證.

任取x■，x■∈A，t∈（0，1）

因?yàn)閡=g（x）為A上的N次冪下凸函數(shù)，則

g（■）≤■

且g（■）∈B，■∈B

又y=f（u）為I上嚴(yán)格增加的N次冪下凸函數(shù)，于是

f（g（■））≤f（■）

且f（■）≤■

故f（g（■））≤■

根據(jù)定義3，y=f（g（x））為A上的N次冪下凸函數(shù).

定理3：設(shè)f（x）是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，若f（x）是區(qū)間I上的N次冪上凸函數(shù)，則y=■在區(qū)間I上是N次冪下凸函數(shù).

證明：任取x■，x■∈I，t∈（0，1）

因?yàn)閒（x）是區(qū)間I上的N次冪上凸函數(shù)，所以

■≤■

又由Cauchy不等式，可得

■·■≥1

于是

■≤■≤■

根據(jù)定義3，y=■在區(qū)間I上是N次冪下凸函數(shù).

三、小結(jié)

本文利用凸函數(shù)與平方凸函數(shù)的概念模式，結(jié)合N次冪平均值，建立了N次冪凸函數(shù)的概念，給出了關(guān)于N次冪凸函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)，主要是N次冪凸函數(shù)其反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、倒數(shù)函數(shù)的凸性.

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1991.197.

[2]吳善和.平方凸函數(shù)與琴生型不等式[J].自然科學(xué).2005，26（1）：16.endprint

摘 要： 本文結(jié)合凸函數(shù)和平方凸函數(shù)的概念，給出了N次冪凸函數(shù)的定義和判斷N次冪凸函數(shù)的三個(gè)定理.

關(guān)鍵詞： 凸函數(shù) 平方凸函數(shù) N次冪凸函數(shù)

凸函數(shù)的重要性及其應(yīng)用價(jià)值已為大家所熟知，尤其在A凸函數(shù)和平方凸函數(shù)的概念提出N次冪凸函數(shù)的概念，給出了關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的三個(gè)“凸”性質(zhì)，進(jìn)一步拓展了凸函數(shù)的研究領(lǐng)域，擴(kuò)大了凸函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，使凸函數(shù)在不等式研究中發(fā)揮更廣泛的作用.

定義：設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)任意x■，x■∈I，有f（■）≤■

則稱f（x）在區(qū)間I上是下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是上凸函數(shù).

拓展定義1[1]：設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（tx■+（1-t）x■）≤tf（x■）+（1-t）f（x■）

則稱f（x）在區(qū)間I上是下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是上凸函數(shù).

一、預(yù)備知識(shí)

在引入新概念之前，我們?cè)俳o出一個(gè)常用概念——平方凸函數(shù).通過算術(shù)平均值、幾何平均值、調(diào)和平均值可以分別用來定義凸函數(shù)、幾何凸函數(shù)、調(diào)和凸函數(shù)的概念，運(yùn)用這一規(guī)律，我們利用凸函數(shù)與平方凸函數(shù)的概念模式，再結(jié)合N次冪平均值，進(jìn)一步建立了N次冪凸函數(shù)的概念.

定義2[2]：設(shè)f（x）是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，如果對(duì)任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區(qū)間I上是平方下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是平方上凸函數(shù).

定義3：設(shè)是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，如果對(duì)任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區(qū)間I上是N次冪下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是N次冪上凸函數(shù).

二、N次冪凸函數(shù)性質(zhì)

我們已經(jīng)給出了N次冪凸函數(shù)的概念，這里針對(duì)凸函數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)N次冪凸函數(shù)的概念，進(jìn)一步研究N次冪凸函數(shù)y=f（x），其反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、倒數(shù)函數(shù)的凸性.

定理1：設(shè)區(qū)間1，M？哿R■，f：I→M.

（1）若y=f（x）為I上嚴(yán)格增加的N次冪下（上）凸函數(shù)，則反函數(shù)y=f■（x）為M上嚴(yán)格增加的N次冪上（下）凸函數(shù).

（2）若y=f（x）為I上嚴(yán)格減少的N次冪下（上）凸函數(shù)，則反函數(shù)y=f■（x）為M上嚴(yán)格減少的N次冪下（上）凸函數(shù).

證明：這里僅證定理1（1）的前一種情況，其他同理可證.

因?yàn)閥=f（x）在I上為嚴(yán)格遞增函數(shù)，所以反函數(shù)y=f■（x）在M上為嚴(yán)格增函數(shù).

任取y■，y■∈M，則存在x■，x■∈I

使x■=f■（y■），x■=f■（y■），y■=f（x■），y■=f（x■）

因?yàn)閥=f（x）為I上是N次冪下凸函數(shù)，所以對(duì)任意t∈（0，1），

有f（■）≤■

即f（■）≤■？搖？搖（*）

且f（■）∈M，■∈M

又y=f（x）的反函數(shù)y=f■（x）在M上是嚴(yán)格增函數(shù)，于是（*）式化為

f■（f■）≤f■（■）

即f■（■）≥■

根據(jù)定義3及y=f■（x）在M上是嚴(yán)格增函數(shù)，可知函數(shù)y=f■（x）在區(qū)間M上是嚴(yán)格增加的N次冪上凸函數(shù).

定理2：設(shè)f（u）是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，g：A→B，區(qū)間A？哿R■，區(qū)間B？哿I.

（1）若y=f（u）為I上嚴(yán)格增加的N次冪下（上）凸函數(shù)，u=g（x）為A上的N次冪下（上）凸函數(shù)，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數(shù).

（2）若y=f（u）為I上嚴(yán)格減少的N次冪下（上）凸函數(shù)，u=g（x）為A上的N次冪上（下）凸函數(shù)，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數(shù).

證明 這里僅證定理2（1）的前一種情況，其他同理可證.

任取x■，x■∈A，t∈（0，1）

因?yàn)閡=g（x）為A上的N次冪下凸函數(shù)，則

g（■）≤■

且g（■）∈B，■∈B

又y=f（u）為I上嚴(yán)格增加的N次冪下凸函數(shù)，于是

f（g（■））≤f（■）

且f（■）≤■

故f（g（■））≤■

根據(jù)定義3，y=f（g（x））為A上的N次冪下凸函數(shù).

定理3：設(shè)f（x）是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，若f（x）是區(qū)間I上的N次冪上凸函數(shù)，則y=■在區(qū)間I上是N次冪下凸函數(shù).

證明：任取x■，x■∈I，t∈（0，1）

因?yàn)閒（x）是區(qū)間I上的N次冪上凸函數(shù)，所以

■≤■

又由Cauchy不等式，可得

■·■≥1

于是

■≤■≤■

根據(jù)定義3，y=■在區(qū)間I上是N次冪下凸函數(shù).

三、小結(jié)

本文利用凸函數(shù)與平方凸函數(shù)的概念模式，結(jié)合N次冪平均值，建立了N次冪凸函數(shù)的概念，給出了關(guān)于N次冪凸函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)，主要是N次冪凸函數(shù)其反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、倒數(shù)函數(shù)的凸性.

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1991.197.

[2]吳善和.平方凸函數(shù)與琴生型不等式[J].自然科學(xué).2005，26（1）：16.endprint

摘 要： 本文結(jié)合凸函數(shù)和平方凸函數(shù)的概念，給出了N次冪凸函數(shù)的定義和判斷N次冪凸函數(shù)的三個(gè)定理.

關(guān)鍵詞： 凸函數(shù) 平方凸函數(shù) N次冪凸函數(shù)

凸函數(shù)的重要性及其應(yīng)用價(jià)值已為大家所熟知，尤其在A凸函數(shù)和平方凸函數(shù)的概念提出N次冪凸函數(shù)的概念，給出了關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的三個(gè)“凸”性質(zhì)，進(jìn)一步拓展了凸函數(shù)的研究領(lǐng)域，擴(kuò)大了凸函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，使凸函數(shù)在不等式研究中發(fā)揮更廣泛的作用.

定義：設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)任意x■，x■∈I，有f（■）≤■

則稱f（x）在區(qū)間I上是下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是上凸函數(shù).

拓展定義1[1]：設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（tx■+（1-t）x■）≤tf（x■）+（1-t）f（x■）

則稱f（x）在區(qū)間I上是下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是上凸函數(shù).

一、預(yù)備知識(shí)

在引入新概念之前，我們?cè)俳o出一個(gè)常用概念——平方凸函數(shù).通過算術(shù)平均值、幾何平均值、調(diào)和平均值可以分別用來定義凸函數(shù)、幾何凸函數(shù)、調(diào)和凸函數(shù)的概念，運(yùn)用這一規(guī)律，我們利用凸函數(shù)與平方凸函數(shù)的概念模式，再結(jié)合N次冪平均值，進(jìn)一步建立了N次冪凸函數(shù)的概念.

定義2[2]：設(shè)f（x）是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，如果對(duì)任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區(qū)間I上是平方下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是平方上凸函數(shù).

定義3：設(shè)是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，如果對(duì)任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有

f（■）≤■

則稱f（x）在區(qū)間I上是N次冪下凸函數(shù)；反之，則稱f（x）在區(qū)間I上是N次冪上凸函數(shù).

二、N次冪凸函數(shù)性質(zhì)

我們已經(jīng)給出了N次冪凸函數(shù)的概念，這里針對(duì)凸函數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)N次冪凸函數(shù)的概念，進(jìn)一步研究N次冪凸函數(shù)y=f（x），其反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、倒數(shù)函數(shù)的凸性.

定理1：設(shè)區(qū)間1，M？哿R■，f：I→M.

（1）若y=f（x）為I上嚴(yán)格增加的N次冪下（上）凸函數(shù)，則反函數(shù)y=f■（x）為M上嚴(yán)格增加的N次冪上（下）凸函數(shù).

（2）若y=f（x）為I上嚴(yán)格減少的N次冪下（上）凸函數(shù)，則反函數(shù)y=f■（x）為M上嚴(yán)格減少的N次冪下（上）凸函數(shù).

證明：這里僅證定理1（1）的前一種情況，其他同理可證.

因?yàn)閥=f（x）在I上為嚴(yán)格遞增函數(shù)，所以反函數(shù)y=f■（x）在M上為嚴(yán)格增函數(shù).

任取y■，y■∈M，則存在x■，x■∈I

使x■=f■（y■），x■=f■（y■），y■=f（x■），y■=f（x■）

因?yàn)閥=f（x）為I上是N次冪下凸函數(shù)，所以對(duì)任意t∈（0，1），

有f（■）≤■

即f（■）≤■？搖？搖（*）

且f（■）∈M，■∈M

又y=f（x）的反函數(shù)y=f■（x）在M上是嚴(yán)格增函數(shù)，于是（*）式化為

f■（f■）≤f■（■）

即f■（■）≥■

根據(jù)定義3及y=f■（x）在M上是嚴(yán)格增函數(shù)，可知函數(shù)y=f■（x）在區(qū)間M上是嚴(yán)格增加的N次冪上凸函數(shù).

定理2：設(shè)f（u）是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，g：A→B，區(qū)間A？哿R■，區(qū)間B？哿I.

（1）若y=f（u）為I上嚴(yán)格增加的N次冪下（上）凸函數(shù)，u=g（x）為A上的N次冪下（上）凸函數(shù)，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數(shù).

（2）若y=f（u）為I上嚴(yán)格減少的N次冪下（上）凸函數(shù)，u=g（x）為A上的N次冪上（下）凸函數(shù)，則y=f（g（x））為A上的N次冪下（上）凸函數(shù).

證明 這里僅證定理2（1）的前一種情況，其他同理可證.

任取x■，x■∈A，t∈（0，1）

因?yàn)閡=g（x）為A上的N次冪下凸函數(shù)，則

g（■）≤■

且g（■）∈B，■∈B

又y=f（u）為I上嚴(yán)格增加的N次冪下凸函數(shù)，于是

f（g（■））≤f（■）

且f（■）≤■

故f（g（■））≤■

根據(jù)定義3，y=f（g（x））為A上的N次冪下凸函數(shù).

定理3：設(shè)f（x）是定義在區(qū)間I？哿R■上的正值函數(shù)，若f（x）是區(qū)間I上的N次冪上凸函數(shù)，則y=■在區(qū)間I上是N次冪下凸函數(shù).

證明：任取x■，x■∈I，t∈（0，1）

因?yàn)閒（x）是區(qū)間I上的N次冪上凸函數(shù)，所以

■≤■

又由Cauchy不等式，可得

■·■≥1

于是

■≤■≤■

根據(jù)定義3，y=■在區(qū)間I上是N次冪下凸函數(shù).

三、小結(jié)

本文利用凸函數(shù)與平方凸函數(shù)的概念模式，結(jié)合N次冪平均值，建立了N次冪凸函數(shù)的概念，給出了關(guān)于N次冪凸函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)，主要是N次冪凸函數(shù)其反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、倒數(shù)函數(shù)的凸性.

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1991.197.

[2]吳善和.平方凸函數(shù)與琴生型不等式[J].自然科學(xué).2005，26（1）：16.endprint