PCR儀基座在脈沖熱流下的非傅立葉溫度場(chǎng)研究

許秀鋒,周愛(ài)國(guó),陸敏恂,殷俊鋒,王金堂

(1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海 200092; 2.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200092)

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PCR儀基座在脈沖熱流下的非傅立葉溫度場(chǎng)研究

許秀鋒1,周愛(ài)國(guó)1,陸敏恂1,殷俊鋒2,王金堂1

(1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海 200092; 2.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200092)

主要結(jié)合PCR(Polymerase Chain Reaction)儀中的具體模型研究了導(dǎo)熱問(wèn)題中的非傅立葉效應(yīng),列出了在該模型中的非傅立葉傳熱微分方程.從理論上分析討論了不同傳熱邊界條件下的溫度場(chǎng),給出了在不同邊界條件下的一維溫度場(chǎng)的解析解,并根據(jù)這些解析解畫(huà)出了主要工作面的溫度響應(yīng)示意圖.同時(shí)討論了在脈沖熱流條件加熱下時(shí),不同熱流脈沖頻率對(duì)該模型的工作面的溫度場(chǎng)響應(yīng)的影響.研究了非傅立葉效應(yīng)對(duì)PCR儀基座傳熱的影響,為PCR儀加熱試驗(yàn)提供部分理論上的參數(shù)設(shè)計(jì)基礎(chǔ).

非傅立葉效應(yīng); 脈沖加熱; 溫度場(chǎng)

對(duì)于熱傳導(dǎo)溫度場(chǎng)的分析求解有著非常多的方法.首先對(duì)于穩(wěn)態(tài)傳熱來(lái)說(shuō),溫度場(chǎng)并不隨時(shí)間的變化而變化,這時(shí)候?qū)囟葓?chǎng)影響最大的是空間因素,文獻(xiàn)[1]和[2]就分別對(duì)二維以及三維空間下的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)溫度場(chǎng)進(jìn)行了分析求解.但是在實(shí)際的應(yīng)用中,對(duì)非穩(wěn)態(tài)傳熱的研究往往更具有意義,因?yàn)闇囟葓?chǎng)會(huì)隨著時(shí)間的變化而不斷變化,并且由不穩(wěn)定到穩(wěn)定的這個(gè)過(guò)程將會(huì)對(duì)傳熱質(zhì)量以及傳熱效率有著一定的影響,文獻(xiàn)[3]和[4]就分別對(duì)一維和二維的瞬態(tài)非穩(wěn)定溫度場(chǎng)進(jìn)行了研究.同時(shí)在問(wèn)穩(wěn)態(tài)過(guò)程中,傳統(tǒng)的傅立葉定律是建立在熱擾動(dòng)傳播速度是無(wú)限大的基礎(chǔ)之上的,然而在實(shí)際過(guò)程中,強(qiáng)瞬態(tài)傳熱如激光加熱等情況下,熱擾動(dòng)的傳播速度不可能是無(wú)限大的,所以此時(shí)傳統(tǒng)的傅里葉定律不適用,即此處存在有非傅立葉效應(yīng).文獻(xiàn)[5]通過(guò)理論分析以及試驗(yàn)的方法證實(shí)了非傅立葉效應(yīng)的存在.文獻(xiàn)[6-11]在對(duì)不同情況下的非傅里葉傳熱進(jìn)行了研究,主要是對(duì)一維溫度場(chǎng)的研究,也取得一些理論上的成果.而本文的研究重點(diǎn),是在脈沖加熱時(shí)對(duì)二維溫度場(chǎng)的非傅里葉效應(yīng)的研究,通過(guò)加載脈沖邊界條件,了解溫度場(chǎng)的變化規(guī)律.

本文主要結(jié)合PCR儀具體模型,求解在半導(dǎo)體制冷器(Thermoelectric Cooler,TEC)的不同工作狀態(tài)下的溫度場(chǎng).當(dāng)TEC正常工作時(shí),其熱量是由下方傳到上方,所以在同一高度處的溫度是相等的,這時(shí)的溫度場(chǎng)就相當(dāng)于是一個(gè)一維溫度場(chǎng).

1 強(qiáng)瞬態(tài)導(dǎo)熱微分方程的導(dǎo)出

對(duì)于一般的傳熱問(wèn)題,我們通常使用傅立葉定律來(lái)建立數(shù)學(xué)模型：

q=-λgradT

(1)

式中:q為熱流密度; λ為材料的導(dǎo)熱系數(shù);T為溫度場(chǎng)溫度; “-”表示熱流方向是沿著溫度降低的方向.

分析該模型的求解結(jié)果往往會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)物體中的某一處發(fā)生熱擾動(dòng)的時(shí)候,其他的所有地方就會(huì)立刻產(chǎn)生溫度的變化,即該熱擾動(dòng)的傳播速度是無(wú)限的.也可以說(shuō)傅里葉定律是建立于熱傳播速度是無(wú)限大的假設(shè)之上的.

在實(shí)際過(guò)程中,熱量的傳播肯定是具有一定的速度的,所以需要對(duì)傅立葉經(jīng)典方程進(jìn)行一定的修正.在這種情況下,Cattaneo-Vernotte方程得到的廣泛的應(yīng)用,它可以表示為

(2)

式中:τ0為弛豫時(shí)間;τ代表時(shí)間; ?q/?τ是在溫度梯度的截面上熱流密度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),只有當(dāng)熱播恰好傳至該截面的時(shí)候,該導(dǎo)數(shù)才具有一定的值.引入該項(xiàng)是因?yàn)闇囟葓?chǎng)和溫度梯度的改變?cè)跁r(shí)間上要滯后于熱擾動(dòng),所以在弛豫時(shí)間間隔內(nèi)的截面上的熱流密度會(huì)產(chǎn)生τ0?q/?τ的改變.

根據(jù)能量方程(無(wú)內(nèi)熱源)

(3)

式中:ρ為材料密度；c為材料的質(zhì)量比熱熔；x,y,z分別表示直角坐標(biāo)下的空間坐標(biāo)；qx,qy,qz分別為熱流密度沿空間坐標(biāo)軸方向的分量.

聯(lián)立式(2)和(3),可得在非傅里葉型非穩(wěn)態(tài)傳熱過(guò)程中(如脈沖傳熱等強(qiáng)瞬態(tài)傳熱過(guò)程)的導(dǎo)熱微分方程為

(4)

式中:a為材料的擴(kuò)散系統(tǒng)，a=λ/pc.

2 PCR基座導(dǎo)熱模型的建立

2.1 PCR基座熱力學(xué)模型

該對(duì)象的底部為TEC,即熱源,頂部為鋁制基座,由于TEC尺寸的限定,所以必須把TEC分為3塊,在正常的情況下3塊TEC同時(shí)工作,如圖1所示此時(shí)熱量自下而上傳播,由于在同一高度處的溫度相同,所以也就不存在熱量的橫向傳播,所以是一個(gè)一維非穩(wěn)態(tài)傳熱過(guò)程,溫度場(chǎng)的分布僅與高度以及時(shí)間有關(guān).

圖1 TEC正常工作時(shí)傳熱模型

正常工作時(shí),TEC會(huì)保持在控制溫度的范圍內(nèi),此時(shí)相當(dāng)于在基座底部加載了一個(gè)第一類邊界條件.在實(shí)際的控制過(guò)程中,有可能出現(xiàn)TEC以一種脈沖熱量的輸出形式在工作,這時(shí)候的邊界條件便轉(zhuǎn)化為了第二類邊界條件.所以在接下來(lái)的數(shù)學(xué)模型的建立時(shí),我們就由易到難,從簡(jiǎn)單到復(fù)雜地來(lái)分析在不同情況下的傳熱模型.

2.2 PCR基座導(dǎo)熱方程的推導(dǎo)

根據(jù)PCR的工作原理,并結(jié)合控制系統(tǒng)的策略可以分別從如下3個(gè)方面進(jìn)行分析.

(1) 階躍邊界條件

當(dāng)時(shí)間τ>0時(shí),在基座的底部加載一強(qiáng)度為q0的熱流密度,如圖2所示.

圖2 階躍熱流

(5)

邊界條件為

(6)

式中：x為響應(yīng)點(diǎn)的高度坐標(biāo)；d為基座的高度；q0為模型的熱流密度參考值.

(2) 單脈沖邊界條件

當(dāng)時(shí)間τ>0時(shí),在基座的底部加載一脈沖熱流,如圖3所示.

圖3 單個(gè)脈沖熱流

這種情況下的傳熱微分方程的邊界條件為

(7)

式中：H(τ)為單位階躍函數(shù)；τh為單脈沖熱流持續(xù)時(shí).

(8)

(3) 多脈沖邊界條件

當(dāng)時(shí)間τ>0時(shí),在基座的底部加載多個(gè)脈沖熱流,如圖4所示.在這種情況下也可以將脈沖熱流看做是一正弦函數(shù),脈沖寬度的變化也就對(duì)應(yīng)著正弦函數(shù)頻率ω的變化.這種情況下的傳熱微分方程的邊界條件為

圖4 多個(gè)脈沖熱流

(9)

3 PCR基座導(dǎo)熱方程的求解

3.1 一維溫度場(chǎng)求解

3.1.1 階躍熱流邊界條件下的溫度響應(yīng)

(10)

式中:q0是熱流密度.

可得關(guān)于高度x與時(shí)間τ的溫度場(chǎng)T(x,τ):

(11)

(12)

式中：γni=-iγn，i為虛數(shù)單位。

(13)

由圖5,6可見(jiàn)在階躍熱流的作用之下,基座的上下表面都呈不斷上升的趨勢(shì).但是上表面溫度的上升卻比下表面存在一個(gè)時(shí)間的延遲,這也說(shuō)明了熱流的傳遞需要一定的時(shí)間,同時(shí)也反應(yīng)了非傅里葉效應(yīng)的作用.當(dāng)弛豫時(shí)間增大時(shí),其溫度響應(yīng)速度的延遲也會(huì)增加.這里選取不同的弛豫時(shí)間旨在說(shuō)明不同的弛豫時(shí)間(使用不同的材料)對(duì)溫度響應(yīng)的影響.

3.1.2 連續(xù)脈沖熱流邊界條件下的溫度響應(yīng)

其傳熱微分方程式不變,但邊界條件變?yōu)?/p>

圖5 基座上下表面溫度

圖6 不同弛豫時(shí)間下的溫度響應(yīng)

(14)

式中:ω為頻率.

進(jìn)行如是無(wú)量綱轉(zhuǎn)化：

(15)

則基于單位階躍邊界條件下的溫度場(chǎng),運(yùn)用杜哈美爾定理[13-14],求出在連續(xù)脈沖邊界條件下的溫度響應(yīng)Tω(Xω,τω)為

(16)

(17)

按照式(17)繪制出溫度場(chǎng)如下.

從圖7中可以看出,各處的溫度是隨著時(shí)間呈波形增長(zhǎng)的,同時(shí)這也正反映出了連續(xù)脈沖熱流加熱的特點(diǎn).取時(shí)間軸為橫軸,溫度為縱軸,繪出上下表面的溫度變化圖，如圖8所示.不難看出上表面對(duì)于下表面的溫度變化存在著一定的延遲,并且相較于圖5可以發(fā)現(xiàn)由于熱流由連續(xù)熱流變?yōu)槊}沖熱流,上表面溫度響應(yīng)的延遲有了一定的增加.改變脈沖熱流的周期,即改變?chǔ)氐闹?可繪制出不同頻率熱流下基座上下表面的溫度響應(yīng)圖，如圖9-12所示.(為合適顯示其變化,適當(dāng)調(diào)整了熱流大小q0和弛豫時(shí)間τ0).

圖7 連續(xù)脈沖熱流下溫度場(chǎng)

圖8 連續(xù)脈沖熱流下上下表面溫度響應(yīng)

從圖9中可以看到,當(dāng)正弦函數(shù)頻率ω取值越大即熱流頻率高時(shí),上表面的溫度響應(yīng)越接近直線；ω≥1000后,上表面溫度隨時(shí)間呈直線響應(yīng).從圖12中可以看出,在不同時(shí)刻時(shí),基座內(nèi)部的溫度也存在著一定的梯度,這反映了熱量是自下而上的傳播的.并且也可以看到,在最初的時(shí)間里,基座上面部分的溫度是沒(méi)有變化的,這說(shuō)明了熱播還沒(méi)有傳到此處,這也是傳熱過(guò)程中非傅立葉效應(yīng)的一種具體的體現(xiàn).

圖9 ω=500 Hz時(shí)上下表面的溫度響應(yīng)

圖10 ω=1 000 Hz時(shí)上下表面的溫度響應(yīng)

圖11 ω=2 000 Hz時(shí)上下表面的溫度響應(yīng)

4 總結(jié)

文章就傳熱中的非傅立葉效應(yīng)展開(kāi)討論,建立了PCR儀基座傳熱中的具體模型,隨后根據(jù)修正之后的傳熱微分方程建立了具體的數(shù)學(xué)模型,對(duì)PCR儀基座對(duì)于脈沖熱流的溫度響應(yīng)進(jìn)行了描述.

圖12 不同時(shí)刻基座內(nèi)溫度場(chǎng)

通過(guò)對(duì)函數(shù)圖形的繪制,可以清晰地反應(yīng)非傅立葉效應(yīng)在傳熱過(guò)程中具體體現(xiàn),也可以看出熱播傳播具有一定的速度,即離熱源遠(yuǎn)的地方得溫度變化會(huì)比離熱源近的地方存在著一定的延遲.還可以看到,在脈沖熱流作用時(shí),當(dāng)脈沖熱流頻率較高時(shí)基座上表面的溫度響應(yīng)近似為直線響應(yīng).通過(guò)本文的研究,可以對(duì)非傅立葉效應(yīng)有一個(gè)更加具體化的了解,也對(duì)PCR儀基座內(nèi)部的溫度場(chǎng)有了更加全面的掌握.

[1] WANG Denggang,LIU Yingxi,LI Shouju.Chaos-regularization hybrid algorithm for nonlinear two-dimensional inverse heat conduction problem[J].Applied Mathematics and Mechanics,2002,8:973-980.

[2] CHENG Rongjun,GE Hongxia.Meshless analysis of three-dimensional steady-state heat conduction problems[J].Chinese Physics,2010,9:36-41.

[3] ZHOU Long,BAI Mingli,LV Wenzhen,et al.Theoretical solution of transient heat conduction problem in one-dimensional double-layer composite medium[J].Journal of Central South University of Technology,2010,6:1403-1408.

[4] JIANG Fangming,LIU Dengying,CAI Ruixian.Theoretical analysis and experimental evidence of non-fourier heat conduction behavior[J].Chinese Journal of Chemical Engineering,2001,4:359-366.

[5] HUANG Haiming,SU Fang,SUN Yue,et al.Thermal shock of semi-infinite body with multi-pulse intense laser radiation[J].Acta Mechanica Solida Sinica,2010(2):175-180.

[6] TAO Yujia,HUAI Xiulan,LI Zhigang.Numerical simulation of the non-fourier heat conduction in a solid-state laser[J].Chinese Journal of Physics,2006(9):2487-2490.

[7] 趙偉濤,吳九匯.平板在任意周期表面熱擾動(dòng)作用下的非傅里葉熱傳導(dǎo)的求解與分析[J].物理學(xué)報(bào),2013,62(18):104401-104402.ZHAO Weitao,WU Jiuhui.Solution and analysis of non-Fourier heat conduction in a plane slab under arbitrary periodic surface thermal disturbance[J].Chinese Journal of Physics,2013,62(18):104401-104402.

[8] 李金娥.非傅里葉熱傳導(dǎo)方程及熱應(yīng)力的數(shù)值解[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2010.

LI Jine.Numerical of non-Fourier heat conduction and thermal stress[D].Harbin:Harbin Institute of Technology,2010.

[9] 黃海明,孫岳.脈沖強(qiáng)激光輻照下材料響應(yīng)的非傅立葉效應(yīng)[J].強(qiáng)激光與粒子束,2009,21(6):808-812.

HUANG Haiming,SUN Yue.Non-Fourier response of target irradiated by multi-pulse high power laser[J].High Power Laser and Particle Beams,2009,21(6):808-812.

[10] ZHANG Youtong,ZHANG Changsong,LIU Yongfeng,et al.Two exact solutions of the DPL non-fourier heat conduction equation with special conditions[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2009,2:205-210.

[11] 毛賀,陳章位,黃靖,等.PCR儀溫度場(chǎng)熱模型的研究與驗(yàn)證[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版,2013,47(9):1619-1624.

MAO He,CHEN Zhangwei,HUANG Jing,et al.Research and verification of thermal model for PCR instrument temperature field[J].Journal of Zhejiang University:Engineering Science,2013,47(9):1619-1624.

Study of non-Fourier temperature field on PCR instrument base under pulse heat flux

XU Xiu-feng1,ZHOU Ai-guo1,LU Min-xun1,YIN Jun-feng2,WANG Jin-tang1

(1 College of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China；2 College of Mathmatics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Based on the non-Fourier effect on heat conductions via a specific model of PCR instrument, the non-Fourier heat transfer differential equation is provided.By theoretically analyzing the temperature field under different heat transfer boundary conditions, an analytical solution for one dimensional temperature field under different boundary conditions is presented.According to the analytical solution, the temperature response to the main working surfaces is diagramed.Meanwhile, the temperature response to the working surfaces is obtaiuned under different frequency pulse heat fluxes.In addition, the impact of non-Fourier effect on polymerase chain reaction (PCR) instrument heat transfer provides partially-theoretical base for parametric design on PCR heating devices.

non-Fourier effect; pulse heat flux; temperature field

許秀鋒(1977-)，男，博士.Email：xuxiufeng@#edu.cn

TK 01

A

1672-5581(2016)03-0216-05