多自由度內(nèi)共振系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為分析

李小彭,安鐮錘,李加勝

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院,遼寧 沈陽 110819)

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多自由度內(nèi)共振系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為分析

李小彭,安鐮錘,李加勝

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院,遼寧 沈陽 110819)

為了深入研究多自由度內(nèi)共振系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為,通過對切削過程中切削力變化狀況的分析,建立了包含工件-刀架子系統(tǒng)的多自由度非線性系統(tǒng)的切削顫振模型以及系統(tǒng)的振動方程.基于Poincare映射和分岔理論,得到了系統(tǒng)隨進(jìn)給速度變化時的全局分岔圖以及系統(tǒng)在速度變化過程中的運動狀態(tài)和系統(tǒng)振幅的變化情況.MATLAB軟件在1:2內(nèi)共振時的數(shù)值仿真結(jié)果表明:在1:2內(nèi)共振時,工件子系統(tǒng)運動狀態(tài)主要為準(zhǔn)周期運動和混沌運動,而刀具子系統(tǒng)運動狀態(tài)主要為準(zhǔn)周期運動.通過切削顫振的分析結(jié)果可知,當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生1:2內(nèi)共振時,工件-刀具子系統(tǒng)除了產(chǎn)生自激振動外,還出現(xiàn)了比較復(fù)雜的單自由度自激振動系統(tǒng)中沒有出現(xiàn)的多環(huán)運動和混沌運動,表明多自由度或彈性體系統(tǒng)會出現(xiàn)單自由度預(yù)測和解釋不了的現(xiàn)象.

內(nèi)共振; 非線性動力學(xué); 切削顫振; 分岔; 自激振動

顫振是金屬切削過程中刀具與工件之間產(chǎn)生的一種強(qiáng)烈振動,它不僅降低了工件的加工質(zhì)量，還會影響刀具和車床的使用壽命,而且還產(chǎn)生切削噪聲.關(guān)于機(jī)床的顫振的研究,國內(nèi)外學(xué)者一般都是始于顫振機(jī)理與模型的研究.而切削顫振機(jī)理與模型的研究基本都集中在再生型顫振[1-3].ARNOLD第一次提出了摩擦型顫振機(jī)理.后來一些學(xué)者通過建立刀架或工件的單自由度模型或單彈性體模型進(jìn)行了顫振機(jī)理研究[4].陳花玲等在遲滯非線性理論基礎(chǔ)上建立了新的顫振理論模型,并且運用等效線性法得到了模型的穩(wěn)定閾的近似解以及符合實際的三維穩(wěn)定性圖,解釋了顫振振幅穩(wěn)定性、微幅傾振以及雙頻旅振等現(xiàn)象[5].GDANIEC等通過采用LuGre摩擦模型來進(jìn)行單自由度的摩擦振子的研究,發(fā)現(xiàn)對于不同的進(jìn)給速度和摩擦系數(shù)會產(chǎn)生摩擦誘發(fā)振動中的分岔和混沌現(xiàn)象,而且大部分的運動都為混沌運動[6].MADELEINE研究了一個兩自由度的質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)在受到間歇加載時的摩擦激振現(xiàn)象[7].劉習(xí)軍等建立了在非線性動態(tài)切削力耦合下的由刀架及工件彈性子系統(tǒng)構(gòu)成的多自由度理論模型,解釋了系統(tǒng)內(nèi)共振的機(jī)理,開拓了速度型顫振研究的一個新思路[8].另外,由于受到模型的限制,許多顫振現(xiàn)象無法進(jìn)行很好的解釋[9].因此,本文建立了刀架子系統(tǒng)與工件子系統(tǒng)構(gòu)成的多自由度數(shù)學(xué)模型,然后得到了整個系統(tǒng)的動力學(xué)方程,并通過數(shù)值計算分析得到了“刀具和工件子系統(tǒng)在1:2內(nèi)共振時自激振動主要為純滑動和混沌運動”這樣一個結(jié)論，該結(jié)論在一定的程度上解釋了金屬切削時摩擦引起顫振的一些現(xiàn)象.

1 切削顫振系統(tǒng)動力學(xué)模型的建立

在機(jī)床切削過程中,車刀相對工件在切削表面相對滑動,在一定條件下,刀具與工件之間的動態(tài)切削力將使車刀或工件產(chǎn)生顫振[10].設(shè)機(jī)床床身的剛度足夠大,則可以將刀具、支架及工件、夾具分別看成為兩個彈性子系統(tǒng),如圖1所示.

圖1 工件及刀具系統(tǒng)示意圖

設(shè)w1，w2分別表示刀具的橫向位移函數(shù)和工件的縱向位移函數(shù);ρ為刀具單位體積質(zhì)量;E為彈性模量；I為橫截面對中心主軸的慣性矩；A為橫截面積.結(jié)合動力學(xué)理論得到刀具子系統(tǒng)和工件子系統(tǒng)的動力學(xué)方程:

(1)

(2)

本文采用Stribeck摩擦模型,摩擦系數(shù)與相對速度的非線性關(guān)系如下:

(3)

式中：μs,μm分別靜、動摩擦系數(shù)；vm為對應(yīng)于最小摩擦的速度.

由模態(tài)正交性理論,設(shè)方程(1)和(2)的解可表示為模態(tài)的線性組合:

(4)

式中：H1i(x)，H2j(y)分別為工件、刀具彈性子系統(tǒng)的振型函數(shù)；X1i(t)，X2j(t)分別為工件、刀具彈性子系統(tǒng)振動函數(shù)的廣義坐標(biāo);i,j為模態(tài)階段.

運用振型函數(shù)和模態(tài)陣型的正交性,得到動態(tài)切削力作用的工件、刀具子系統(tǒng)構(gòu)成的多自由度自激振動方程:

(5)

式中：ω1j，ω2j分別為工件、刀具的固有頻率；p1i(t)，p2j(t)為非線性模態(tài)廣義力函數(shù).

對方程(5)進(jìn)行無量綱化,得到此系統(tǒng)無量綱化的非線性振動方程為

(6)

式中：H1,H2分別為工件、刀具彈性子系統(tǒng)一階的振型函數(shù)；X1,X2分別為工件、刀具彈性子系統(tǒng)位移；N為平均力；a1,b1,c1為試驗擬合參數(shù).

2 內(nèi)共振系統(tǒng)的動力學(xué)分析

摩擦自激振動系統(tǒng)中存在內(nèi)共振關(guān)系的振動非常普遍.摩擦系統(tǒng)的內(nèi)共振振動會使振動表現(xiàn)出區(qū)別于一般單自由度非線性系統(tǒng)振動中的動力學(xué)行為.因此,本文研究系統(tǒng)可能發(fā)生的1:2 內(nèi)共振行為.

2.1 1:2內(nèi)共振系統(tǒng)仿真分析

假定參數(shù)如下:k1=1,k2=2,工件的廣義橫坐標(biāo)X11=0.6m,刀具的廣義橫坐標(biāo)X22=0.53m,N=10N,a=0.3,b=0.1,c=0.1,H1=H2=1.

現(xiàn)在利用Runge-Kutta法對整個系統(tǒng)方程進(jìn)行數(shù)值模擬,得到的工件及刀架的位移隨進(jìn)給速度的分岔圖,還有其相圖、時域曲線圖及Poincare截面圖如圖2，3所示.

圖2 以進(jìn)給速度為參數(shù)的系統(tǒng)分岔圖

Fig.2 Bifurcation diagram of the system with the feed speed as the bifurcation parameter

圖3 v0=0.1 m·s-1時切削系統(tǒng)的時域圖、相圖和Poincare截面圖

圖4 v0=0.2 m·s-1時切削系統(tǒng)的時域圖、相圖和Poincare截面圖

圖5 v0=0.4 m·s-1時切削系統(tǒng)的時域圖、相圖和Poincare截面圖

由這些特征曲線圖可以看出,系統(tǒng)運動可分為以下階段:

(1) 當(dāng)進(jìn)給速度v0>vc1時,工件子系統(tǒng)將穩(wěn)定在平衡點,此時相對速度即帶速度.

(2) 當(dāng)進(jìn)給速度滿足v0≤vc1時,工件子系統(tǒng)的平衡點發(fā)生失穩(wěn),系統(tǒng)產(chǎn)生自激振動.并且這個過程又可以分成3個階段.開始階段即當(dāng)進(jìn)給速度v0

圖6 v0=0.54 m·s-1時切削系統(tǒng)的時域圖及相圖

圖7 v0=0.7 m·s-1時切削系統(tǒng)的時域圖及相應(yīng)相圖

由分岔圖可以看出,進(jìn)一步分析帶速度減小過程中運動的變化.在l:2內(nèi)共振情況下,工件子系統(tǒng)運動狀態(tài)主要為周期和混沌運動.實際上,系統(tǒng)平衡點失穩(wěn)后的純滑動已經(jīng)是多環(huán)運動,其后進(jìn)入更復(fù)雜的黏-滑自激運動.而刀具子系統(tǒng)的運動狀態(tài)主要為周期運動.

3 小結(jié)

(1) 通過對切削過程中切削力的變化狀況進(jìn)行分析,建立了包含工件子系統(tǒng)和刀架子系統(tǒng)的多自由度非線性系統(tǒng)的切削顫振模型; 然后建立系統(tǒng)的振動方程.最后,基于Poincare映射和分岔理論,得到了系統(tǒng)隨進(jìn)給速度變化時的全局分岔圖,得到了系統(tǒng)在速度變化過程中的運動狀態(tài),并獲得了系統(tǒng)振幅的變化情況.

(2) 運用MATLAB軟件得到了機(jī)械系統(tǒng)在1:2內(nèi)共振時的數(shù)值仿真結(jié)果.在1:2內(nèi)共振時,工件子系統(tǒng)運動狀態(tài)主要為準(zhǔn)周期和混沌運動,而刀具子系統(tǒng)運動狀態(tài)主要為準(zhǔn)周期運動.通過切削顫振的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生1:2內(nèi)共振時,工件和刀具子系統(tǒng)除了產(chǎn)生自激振動以外,還出現(xiàn)了比較復(fù)雜的單自由度自激振動系統(tǒng)中沒有出現(xiàn)的多環(huán)運動和混沌運動,表明多自由度或者彈性體系統(tǒng)還是會出現(xiàn)單自由度預(yù)測和解釋不了的現(xiàn)象.

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Analysis on nonlinear dynamical behaviors via multi-DOF internal resonance system

LI Xiao-peng,AN Lian-chui,LI Jia-sheng

(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

To further study the analysis on nonlinear dynamical behaviors via multi-DOF internal resonance system, the cutting force variation is first analyzed.Then, the multi-DOF nonlinear system model for cutting chatter, which comprises the artifacts-rest subsystem and system vibration equation, is then established.Based on the Poincare maps and bifurcation theory, the global bifurcation diagram is obtained with changes of feed speed, motion state and amplitude.Finally, it is found from numerical simulation via MATLABTM regarding 1/2 internal resonance that the motion states of workpiece subsystem are mainly the quasi-periodic and chaotic motions, whereas the cutting tool subsystem motions are mainly the periodic motions.By analyzing the cutting chatters, the workpiece-tool subsystem produces the self-excited vibration as well as more complex polycyclic and chaotic motions.Therefore, the self-excited vibration cannot be predicted by the single degree of freedom system but the multi-degree of freedom or elastomer system.

internal resonance; nonlinear dynamics; cutting chatter; bifurcation; self-excited vibration

國家自然科學(xué)基金資助項目(51275079); 遼寧省百千萬人才工程培養(yǎng)經(jīng)費資助(2014921018).

李小彭(1976-),男,教授,博士生導(dǎo)師.E-mail:xpli@me.neu.edu.cn

U 463.51

A

1672-5581(2016)03-0187-06