基于Ritz法的纖維增強復合薄板阻尼分析與預測

牛 義,劉權利,常永樂,杜歡歡,聞邦椿

(1.東北大學 機械工程與自動化學院,遼寧 沈陽 110819;2.新松機器人自動化股份有限公司,遼寧 沈陽 110819)

?

基于Ritz法的纖維增強復合薄板阻尼分析與預測

牛 義1,劉權利2,常永樂1,杜歡歡1,聞邦椿1

(1.東北大學 機械工程與自動化學院,遼寧 沈陽 110819;2.新松機器人自動化股份有限公司,遼寧 沈陽 110819)

基于Ritz法,考慮了纖維方向及激勵頻率的影響,對纖維增強復合材料構成的薄板結構的非線性阻尼參數進行了分析與預測.分別推導了纖維增強復合薄板總的應變能與耗散能的表達式,明確了采用Ritz法獲得該結構系統(tǒng)阻尼參數的原理;編寫了MATLAB程序,并提出了預測纖維增強復合薄板非線性阻尼參數的流程;以玻璃纖維/樹脂復合薄板為例,在不同的纖維方向和激振頻率下,對其非線性阻尼參數進行分析與預測,并與測試獲得的阻尼結果進行了對比,驗證了該分析方法的正確性.

Ritz法; 非線性阻尼; 纖維增強復合薄板; 阻尼分析

纖維增強復合材料是由纖維與基體材料構成的先進復合材料,具有重量輕、比強度高、比模量大、抗振性能好、性能可設計性強等許多優(yōu)點.隨著其在航空、航天、船舶、汽車等領域的逐步推廣與使用,其動態(tài)性能越來越受到人們的關注.阻尼參數是該類型復合材料及其結構件動態(tài)性能中的一個關鍵指標,是復合材料結構動力學建模、響應預估和優(yōu)化設計等環(huán)節(jié)中,必須準確輸入的參數.但與傳統(tǒng)材料的阻尼機理不同,纖維增強復合材料的阻尼參數呈非線性特點,與纖維取向、纖維/基體的界面條件、外界激振頻率、模態(tài)振型等密切相關,同時還與結構變形、邊界條件、環(huán)境溫度等因素有關.到目前為止,學術及工程界尚未建立一種完備而有效的非線性阻尼特性分析與預測方法，因此關于阻尼特性的研究還應進一步深入.

目前人們正嘗試從纖維與基體相互作用的微觀結構、材料的非線性本構方程、非線性幾何方程等方面著手,研究該類型結構系統(tǒng)的阻尼耗能機理以及分析方法.在建立微觀模型方面,ABOUDI[1]根據體元近似理論,提出了含有4個子細胞的單胞微觀模型,并利用該模型獲得了硼纖維/樹脂、玻璃纖維/樹脂和石墨纖維/樹脂復合材料的非線性應力-應變曲線.KALISKE等[2]也建立了由一個纖維單元和三個基體單元組成的單胞微觀模型,并分析了纖維增強薄板的阻尼特性.在建立宏觀模型方面,ADAMS等[3]在1975年首先提出了單向纖維增強復合材料阻尼的宏觀力學模型,后來稱之為Adams-Bacon阻尼準則.該準則認為在一個單向薄層中所損耗的能量是薄層內徑向拉伸、橫向拉伸和剪切應力各自獨立耗能的總和.因此,復合材料阻尼能力就可定義為損耗能量與儲存的應變能的比率.NI等[4]通過考慮對稱鋪設的復合梁結構的正應力、正應變、剪應變以及彎扭耦合的影響,對Adams-Bacon阻尼準則進行了改進,將復合結構系統(tǒng)的非線性阻尼參數視為纖維材料方向角的函數,提高了阻尼參數的預測精度.YIM[5]基于彈性-黏彈性經典層合板理論,在不同的纖維材料方向角下對該類型復合梁結構的阻尼進行了分析.BERTHELOT[6]考慮了剪切變形的影響,基于有限元法獲得了單向纖維鋪設的復合梁試件的阻尼參數.研究結果表明：復合材料結構的阻尼性能與纖維的方向角、纖維的鋪設形式、振動頻率、模態(tài)振型等參數密切相關.MAHI等[7]基于有限元法和應變能法建立了具有正交各向異性的玻璃纖維復合梁結構的阻尼模型,利用該模型進行仿真研究發(fā)現,不同層疊順序的復合梁結構在纖維方向為0°和90°時,阻尼性能差別不大,但serge composites和taffeta composites兩種層疊鋪設方式要比編織鋪設方式具有更好的阻尼性能.YOUZERA等[8]利用高階Zig-zag理論建立了纖維增強復合簡支梁的解析模型,引入了非線性頻率-幅值和非線性相位-幅值方程,并計算獲得了非線性阻尼參數.

另外,國內一些學者和研究人員也對纖維增強復合材料及其結構的阻尼特性開展了卓有成效的研究.李明俊等[9]將各向異性設計引入到纖維增強復合材料結構的分析過程中,以半無限簡支板為例,對其阻尼特性進行了分析和計算.分析研究表明:該結構內部柔性層對阻尼的影響要比應力耦合對其影響大得多,且高階模態(tài)會增加結構的阻尼能力.張少輝等[10]應用基于應變能的有限元方法研究了纖維增強層合板的阻尼特性,并通過模態(tài)分析方法計算獲得了該類型結構的損耗因子.漆文凱等[11]應用耗散能原理建立了復合材料層合板的阻尼模型,考慮了應變能、耗散能和結構模態(tài)阻尼的關系,采用有限元法編制了相關的模態(tài)阻尼計算程序,并將數值分析結果與試驗結果相比較,驗證了阻尼計算程序的有效性.

本文基于Ritz法,考慮了纖維方向及激勵頻率的影響,對纖維增強復合材料構成的薄板結構的非線性阻尼參數進行了分析與預測.首先分別推導了纖維增強復合薄板總的應變能與耗散能的表達式,明確了采用Ritz法獲得該結構系統(tǒng)阻尼參數的原理;然后編寫了MATLAB程序,并提出預測纖維增強復合薄板阻尼參數的流程;最后以玻璃纖維/樹脂復合薄板為例,在不同的纖維方向和激振頻率下,對其阻尼特性進行分析與預測,并與測試獲得的阻尼結果進行了對比,驗證了該分析方法的正確性.本文所采用的方法能夠較好地實現對纖維增強復合薄板非線性阻尼參數的預測,可為建立類似結構件阻尼特性分析的方法體系提供參考.

1 纖維增強復合薄板阻尼參數的預測原理

所研究的纖維增強復合薄板是由 層具有正交各向異性特點的纖維和基體材料組合而成的,如圖1所示.首先,將其中面作為參考平面,并建立xOy坐標系.a,b,c分別為板的長度和寬度及厚度.每一層位于z坐標軸較低表面hk-1和較高表面hk之間,每層的厚度e均相同.假設纖維方向與x軸的夾角為θ,圖中的1代表纖維縱向,2代表纖維橫向,3代表垂直于1-2平面的方向.

首先,假設纖維增強復合薄板的纖維縱向彈性模量為E1、纖維橫向彈性模量為E2、1-2平面內的剪切彈性模量為G12,縱向應變與橫向應變之比的負值為泊松比υ12.平面應力可分為σ1，σ2，σ3，σ12，σ13，σ236個分量，應變可分為ε1，ε2，ε3，γ12，γ23，γ316個分量.由正交各向異性材料平面應力問題的應力和應變關系可知σ3=τ13=τ23=γ23=γ31=0,只有3個應力分量σ1,σ2,τ12不為零.纖維增強復合薄板如圖1所示.x軸位于板的中面，zk節(jié)k層的下表面z軸坐標，板厚度為h.

圖1 纖維增強復合薄板幾何模型Fig.1 Geometry model of fiber reinforced composite plate

1.1 總應變能的計算

首先,基于Ritz法獲得纖維增強復合薄板振動的位移函數w0(x,y)

(1)

式中:Xm(x),Yn(y)分別為復合薄板在x,y方向的位移函數;Amn為振型系數,可沿x,y方向將薄板分成m,n份.

對于纖維增強復合薄板,其第k層應變能Uk的表達式為

(2)

纖維增強薄板的總應變能U表示為

(3)

對于長度為a,寬度為b的纖維增強薄板,總應變能U在不同方向的應變能可以表示為

(4)

σ1,σ2,σ6與ε1,ε2,ε6的關系為

(5)

式中:σ6=τ12；ε6=γ12;Qpq為剛度系數.在式(5)中,Qpq包括Q11,Q12,Q22,Q66,p,q分別代表矩陣元素所在行、列的位置,即p=1,2,6,q=1,2,6.Q11,Q12,Q22,Q66具體的表達式為

(6)

式中:υ12=υ21.

1.2 耗散能的計算

(7)

(8)

基于Ritz方法,可以獲得單層應變能的表示式為

(9)

(10)

(11)

式中：ek為第k層的厚度.

(12)

式中：εxx,εyy,γxy,分別為纖維復合材料在縱向上、橫向上及厚度方向上的應變.

接下來獲得復合薄板在xOy坐標系中應變的轉換方程,該方程可通過纖維復合材料在縱向、橫向和薄板厚度方向的應變表示為

(13)

把式(11)—(13)帶入(10)化簡,可以獲得整個纖維增強薄板的總耗散能ΔU,其表達式為

(14)

1.3 纖維增強復合薄板阻尼參數的計算

對于具有正交各向異性特點的纖維增強性復合薄板,可以忽略其剪切變形的影響,其第k層位移與應變有如下關系

(15)

對于不同的邊界約束條件,可以獲得Xk(x)和Yk(y)不同的表達式.以一端固定、一端自由的復合薄板為例(懸臂邊界條件),對于x=0端固定、x=a端自由的纖維增強懸臂薄板,其Xk(x)和Yk(y)的表達式為

(16)

(17)

式中:ki,γi為纖維增強復合薄板對應的位移調整系數和位移平衡系數,與第i階固有頻率對應，ki,γi的取值見表1.

聯立式(3)和式(14),可以算出纖維增強薄板的阻尼比ψ

(18)

2 纖維增強性型復合薄板阻尼參數的預測流程

第1部分明確了采用Ritz法獲得了纖維增強復合薄板阻尼參數的原理,接下來本文利用MATLAB軟件,編寫了相應的計算程序,并提出了預測纖維增強復合薄板非線性阻尼參數的流程,可分為如下幾個步驟:

(1) 輸入復合薄板的幾何參數和材料參數 首先,需要給出纖維增強復合薄板的長、寬、厚度、每層厚度及總層數等幾何參數,然后,輸入纖維和基體在不同方向的彈性模量、泊松比等材料參數,為后續(xù)應變能和耗散能的計算做好準備.

(2) 計算獲得應變能和總應變能 由式(15)中位移與應變之間的關系式,并分別在式(16)、(17)中對x,y求導,即得纖維增強復合薄板的應變值.由于每層位移函數的系數均不同,則函數表達式得出的應變值也隨之不同,故將每一層計算所得應變值帶入式(5)中得到應力值,再將兩者帶入式(4)即得每一層對應的應變能值,將其疊加后即得總應變能值.

(4) 計算獲得阻尼比 將基于Ritz法獲得的總的應變能值和總的耗散能的值,帶入式(18),得出阻尼比.具體預測纖維增強性型復合薄板阻尼參數的流程，如圖2所示.

圖2 纖維增強復合薄板阻尼參數的預測流程Fig.2 Predicting process of damping parameters of fiber reinforced composite plate

3 實例研究

本文以玻璃纖維/樹脂復合薄板為例,對其阻尼參數進行分析與預測.該類型的復合薄板共有8層,每層厚度為0.25 mm,每層具有相同的厚度和纖維體積分數.其整體長、寬、厚尺寸分別為150 mm×100 mm×2 mm其材料參數為E1=29.9 GPa,E2=5.85 GPa,G12=2.45 GPa,ν12=0.24.

為了驗證本文計算方法的正確性,搭建圖3所示試驗系統(tǒng)來獲得該復合材料薄板的阻尼參數.通過壓電陶瓷激振器對纖維增強復合薄板進行激勵,使用激光多普勒測振儀來測試其振動響應,并通過采集控制器對激勵信號和響應信號進行實時采集,進而通過自由振動衰減法來獲得的阻尼比.最后通過試驗獲得了纖維方向為0°,45°,90°時復合薄板在100,200,500 Hz 3種不同頻率下的阻尼參數.為了便于比較,將測試結果與本文采用Ritz法獲得的纖維增強復合薄板阻尼參數一并列入表2中.

通過與測試結果對比可知,基于Ritz法預測獲得的阻尼誤差最大不超過10%,這就驗證了該分析方法的正確性,可以利用該方法實現對纖維增強復合薄板阻尼參數的可靠預測.另外,對比上述阻尼結果可知,纖維增強復合薄板阻尼與激振頻率和纖維方向密切相關,在100～500 Hz內,其阻尼參數隨著激振頻率的增大而增加,隨著纖維方向的增加呈現先增大后減小的變化趨勢,即纖維方向為0°時阻尼最小,纖維方向為60°時阻尼達到最大值,纖維方向為30°和90°時阻尼結果相差不多.

表2 不同纖維方向和頻率下采用Ritz法和測試獲得的阻尼比

注：誤差=(A-B)/B

圖3 纖維增強復合薄板阻尼參數測試系統(tǒng)Fig3 Testing system of damping parameter of fiber reinforced composite plate

4 結 論

本文基于Ritz方法,考慮了纖維方向及激勵頻率的影響,對纖維增強復合薄板的非線性阻尼參數進行了分析與預測,具體工作包括:

(1) 使用Ritz法推導并計算具有k層纖維增強薄板的應變能及阻尼比,該方法可以在多層復合板及任意纖維角度條件下進行計算.

給出了預測纖維增強復合薄板非線性阻尼參數的具體流程.主要包括輸入復合薄板的幾何參數和材料參數、獲得應變能和總應變能、獲得耗散能及總耗散能、計算獲得阻尼比等4個關鍵步驟.

(3) 以玻璃纖維/樹脂復合薄板為研究對象,利用Ritz法計算獲得了其阻尼參數,并與測試結果進行了對比,驗證了該分析方法的正確性,可以利用該方法實現對纖維增強復合薄板非線性阻尼參數的可靠預測.

[1] ABOUDI J.The nonlinear behavior of unidirectional and laminated composites-a micromechanical approach[J].Journal of Reinforced Plastics and Composites,1990,9(1):13-32.

[2] KALISKE M,ROTHER H.Damping characterization of unidirectional fiber-reinforced composites[J].Composite Engineering,1995,5(5):551-567.

[3] ADAMS R D,BACON D G C.Effect of fiber orientation and laminate geometry on the dynamic properties of CFRP[J].Journal of Composite Materials,1973,7:402-428.

[4] NIR G,ADAMS R D.The damping and dynamic moduli of symmetric laminated composite beams:Theoretical and experimental results[J].Journal of Composite Materials,1984,18(2):104-121.

[5] YIM J H,GILLESPIE J J W.Damping characteristics of 0°and90°AS4/3501-6 unidirectional laminates including the transverse shear effect [J].Composite structures,2000,50(3):217-225.

[6] BERTHELOT J M.Damping analysis of laminated beams and plates using the Ritz method[J].Composite Structures,2006,74(2):186-201.

[7] MAHI A E,SEFRANI Y,BERTHELOT J M.Damping analysis of orthotropic composite materials and laminates[J].Composites Part B:Engineering,2008,39:1069-1076.

[8] YOUZERA H,MEFTAH S A,CHALLAMEL N,et al.Nonlinear damping and forced vibration analysis of laminated composite beams[J].Composites Part B:Engineering,2012,43(3):1147-1154.

[9] 李明俊,蘇媛,孫向春,等.層合阻尼結構各向異性設計之阻尼特性分析[J].復合材料學報,2002,19(3):94-97.

LI Mingjun,SU Yuan,SUN Xiangchun,et al.Analysis of damping characteristics of laminated damped structures[J].Journal of Composite Materials,2002,19(3):94-97.

[10] 張少輝,陳花玲,梁天錫.纖維增強樹脂基復合材料阻尼特性的數值模擬[J].航空材料學報,2004,24(3):10-14.

ZHANG Shaohui,CHEN Hualing,LIANG Tianxi.Numerical simulation of damping characteristics of fiber reinforced resin matrix composites[J].Journal of Aeronautical Materials,2004,24(3):10-14.

[11] 漆文凱,程博.復合材料層合板阻尼預測分析與驗證[J].振動、測試與診斷,2013,33(6):1049-1053.

QI Wenkai,CHENG Bo.Analysis and verification of damping prediction of laminated composite plate[J].Vibration,Testing and Diagnosis,2013,33(6):1049-1053.

Damping analysis on fiber-reinforced composites thin plate based on Ritz method

NIU Yi1,LIU Quan-li2,CHANG Yong-le1,DU Huan-huan1,WEN Bang-chun1

(1.School of Mechanical Engineering & Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,China;2.Siasun Robot & Automation CO.,LTD.,Shenyang 110819,China)

In consideration with fiber orientation and excitation frequency via Ritz method,the damping parameters of fiber reinforced composite thin plates are analyzed and predicted.Firstly,the expressions of the total strain and dissipated energies are deduced.Then,the corresponding theoretical principles of damping parameters are further clarified using Ritz method.Next,the process of predicted damping parameters are speculated based on the self-written MatlabTM programs.Finally,by treating the glass fiber composite thin plate as an example,the nonlinear damping parameters are analyzed and predicted under different fiber orientations and excitation frequencies.In addition,the effectiveness and correctness of the proposed method is verified in comparison with experimental results.

Ritz method; nonlinear damping; fiber-reinforced composites thin plate; damping analysis

國家自然科學基金資助項目(51505070);國家自然科學基金(51375079)；國家重大科學儀器設備開發(fā)專項(2013YQ470765).

牛 義(1992-),男,工程碩士.E-mail:443145126@qq.com

TB 535

A

1672-5581(2016)02-0162-06