基于Hoff理論的金屬復合屋面板夾層殼單元

黃 莉,鄧 華

(1. 浙江財經(jīng)大學 房地產(chǎn)與工程管理系,浙江 杭州 310018; 2. 浙江大學 空間結(jié)構(gòu)研究中心,浙江 杭州 310058)

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基于Hoff理論的金屬復合屋面板夾層殼單元

黃 莉1,2,鄧 華2

(1. 浙江財經(jīng)大學 房地產(chǎn)與工程管理系,浙江 杭州 310018; 2. 浙江大學 空間結(jié)構(gòu)研究中心,浙江 杭州 310058)

針對大跨度建筑屋蓋結(jié)構(gòu)常用的聚氨酯泡沫夾芯金屬復合屋面板,根據(jù)修正后的Hoff型夾層板理論,建立簡便、有效的八結(jié)點矩形夾層殼單元.以一塊矩形屋面板為例,分別采用分層實體單元、夾層體單元和八結(jié)點矩形夾層殼單元模擬.數(shù)值結(jié)果顯示,八結(jié)點矩形夾層殼單元模擬的屋面板在靜荷載作用下的變形形式與精細的分層實體單元模型相同,且兩者變形基本接近；基本振型與精細的分層實體單元模型相同,自振頻率較接近.表明采用該夾層殼單元能夠有效地模擬聚氨酯夾芯金屬復合屋面板的靜、動力特性.

金屬復合屋面板；Hoff型夾層板；夾層殼單元；八節(jié)點單元

抗風設(shè)計是大跨度屋蓋結(jié)構(gòu)設(shè)計要點之一,當前屋蓋結(jié)構(gòu)抗風設(shè)計和分析中通常忽略屋面板的作用,假設(shè)屋面板的剛度無窮大.目前大跨度屋蓋結(jié)構(gòu)多采用金屬復合屋面板,通常由壓型金屬薄板作為上、下面層,中間填充聚氨酯泡沫塑料、巖棉或玻璃纖維棉等保溫材料,采用一定的成型工藝形成的夾層板.金屬復合屋面板的剛度非常有限,并非假設(shè)的無窮大,且聚氨酯、巖棉等夾芯材料均是工業(yè)上應用較廣的阻尼材料.屋面板在將表面風壓傳遞給主體結(jié)構(gòu)的過程中,有限剛度和夾芯層阻尼會對風荷載的脈動特性產(chǎn)生影響[1],最終影響結(jié)構(gòu)風致振動效應的計算結(jié)果.合理估計金屬復合屋面板對大跨度屋蓋結(jié)構(gòu)風致振動效應的影響,可以優(yōu)化屋蓋結(jié)構(gòu)的抗風設(shè)計,節(jié)約屋蓋結(jié)構(gòu)的造價.分析屋面板對屋蓋結(jié)構(gòu)風致振動的影響效應,必須將金屬復合屋面板納入屋蓋結(jié)構(gòu)風致振動效應的有限元計算中.金屬屋面板為多層材料構(gòu)成的復合板,若直接對屋面板的各層分層模擬,則各層材料均需單獨建模和劃分單元,建模階段繁瑣復雜.為了保證計算精度,屋面板的單元劃分需要較細,加之大跨度結(jié)構(gòu)體量一般都較大,模擬屋面板的單元數(shù)目相當多.為了提高建模效率和計算收斂速度,建立能夠模擬金屬復合屋面板靜、動力特性的復合夾層單元成為必然.本文在前期工作的基礎(chǔ)上,根據(jù)修正的非對稱Hoff型夾層板理論[2-3],針對聚氨酯泡沫夾芯金屬復合屋面板建立八結(jié)點夾層殼單元.

1 基本假定

1.1 Hoff型夾層板

Hoff型夾層板理論的基本假定[2]如下.1)小變形且各層間無相對滑移；2)各層沿高度方向不可壓縮；3)各層的橫向位移假定不變,僅考慮反對稱變形；4)考慮上、下面層的抗彎性能,面層在平面內(nèi)的切應變?yōu)榱悖?)夾芯層只承受橫向剪切作用.

1.2 金屬復合屋面板假定

圖1 夾層板Fig.1 Sandwich panel

上、下面層金屬板的材料、厚度不同,屋面板不具有傳統(tǒng)Hoff型夾層板的對稱性,中面上的點在xy平面內(nèi)的位移不為零,分別為u0、v0.屋面板的變形采用直線假定,即變形前垂直于中面的直線變形后為直線但不再垂直于中面.采用3個廣義位移φx、φy、w確定夾層板中任意一點的全部位移.φx、φy為上、下面層中面上對應點的連線在變形后的轉(zhuǎn)角,如圖2所示.

圖2 金屬復合屋面板變形圖Fig.2 Deformation of metal composite roof panel

根據(jù)Hoff理論的基本假定及變形假定,上、下面層和夾芯層中各點位移分別表示如下[3],其中+、-、c分別表示上面層、下面層及夾芯層.

2 有限單元構(gòu)建

針對復合夾層板有限單元的構(gòu)建研究[4-9]不少,但基本都是針對較薄的復合板.本文基于夾層板的Hoff型理論,結(jié)合聚氨酯夾芯金屬屋面板的解析理論[3],構(gòu)建較厚的屋面板復合夾層殼單元.

2.1 基本定義

單元定義在夾芯層中面上,為八結(jié)點的矩形夾層殼單元.如圖3所示,x-y-z為局部坐標系,x、y向分別為壓型方向和順壓方向；s-t-r為自然坐標系,s、t軸為2個相互垂直的切線方向,r為法線方向.

該單元的每個結(jié)點具有5個自由度u、v、w、θx、θy,在荷載作用下夾層板發(fā)生變形,變形后的矩形單元如圖4的虛線所示.

圖3 八結(jié)點矩形單元Fig.3 Eight-node rectangular element

圖4 自由度定義Fig.4 Definition of freedom

2.2 位移表示

單元中結(jié)點i的位移向量為[ui,vi,wi,θxi,θyi]T(i=1,…,8),屋面板中任意一點的位移采用結(jié)點位移表示為

(1)

寫為矩陣形式為

u=Nd.

(2)

式中：u=[u,v,w]T為位移向量；N為形函數(shù)矩陣；d為結(jié)點位移矩陣,

d=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,u8].

2.3 應力表示

夾芯層的應力、應變分別為

結(jié)合Hooke定理得到夾芯層的應力與結(jié)點位移的關(guān)系為

σc=DcBcd.

(3)

式中：Bc為夾芯層的應變矩陣,

σ±=D±B±d.

(4)

式中：

其中

2.4 平衡方程

根據(jù)基本假定可知,考慮上、下面層的抗彎剛度,夾芯層只承受橫向剪切作用,則單元承受的力和彎矩可以表示為

(5)

式中：

單元無阻尼的動力方程為

(6)

如圖5所示為整體坐標X-Y-Z與局部坐標x-y-z的關(guān)系.x軸與X軸、Y軸、Z軸間的夾角分別為α1、α2、α3,y軸與X軸、Y軸、Z軸間的夾角分別為β1、β2、β3,z軸與X軸、Y軸、Z軸間的夾角分別為γ1、γ2、γ3.

X-Y-Z坐標系下單元的結(jié)點位移矩陣為

dd=Td.

(7)

式中：T為坐標轉(zhuǎn)換矩陣,

將所有單元在整體坐標系中的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和外荷載向量組集成屋面板的整體質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和荷載向量,代入到屋面板的動力方程為

(8)

式中：M為屋面板的整體質(zhì)量矩陣,Md=TTMT；K為整體剛度矩陣,Kd=TTKT；F為外荷載向量.

圖5 整體坐標與局部坐標關(guān)系Fig.5 Relationship between global coordinate and local coordinate

3 數(shù)值算例

圖6 上面層壓型鋼板尺寸Fig.6 Sizes of top corrugated steel sheet

3.1 模型參數(shù)

取一塊長(檁距)為2.6 m、寬為1.0 m、兩對邊固定約束的聚氨酯夾芯金屬屋面板進行數(shù)值分析.屋面板上、下面層均為0.6 mm厚的鋼板,上面層為壓型鋼板,壓型尺寸如圖6所示；下面層采用平鋼板,聚氨酯夾芯層的厚度取為60 mm.鋼材的密度為7 850 kg/m3,彈性模量為206×106 MPa,泊松比為0.3.將壓型鋼板按文獻[10]的方法等代為平板后的等效彈性常數(shù),見表1.表中，Geff為壓型板等代為平板后的等效切變模量.聚氨酯夾芯層的材料力學參數(shù)按文獻[11]選取.

表1 等代平板的等效彈性常數(shù)

為了驗證八結(jié)點矩形夾層殼單元的正確性,采用3種不同的有限元模型進行對比分析.利用通用有限元軟件ANSYS建立該屋面板的有限元模型,如圖7所示.

1) 模型1.分層實體模型,上、下面層采用彈性殼單元(shell63單元)進行模擬,將壓型尺寸建入模型中,夾芯層采用實體單元(solid45單元),兩者節(jié)點采用耦合連接,約束兩對邊所有節(jié)點的線位移.

2) 模型2.夾層體單元模型(solid46單元),壓型板采用等代平板,約束條件與模型1相同.

3) 模型3.八結(jié)點矩形夾層殼單元模型利用外部接口程序?qū)崿F(xiàn),壓型板采用等代平板,約束兩對邊所有節(jié)點的線位移和轉(zhuǎn)動位移.

圖7 三種有限元模型Fig.7 Three different finite element models

模型1為金屬屋面板的實際模型,即最精細的有限元模型,而模型2和模型3是簡化后的有限元模型.

3.2 結(jié)果分析

3.2.1 靜力特性 為了考察3種模型在荷載作用下變形及應力分布是否相同,對模型的上表層逐步施加均布荷載.如圖8所示為相同均布荷載作用下3種模型的變形圖.可以看出,模型1和模型3相同,模型2與其他兩個模型存在差異.為了保證3種模型的邊界條件相同,均將模型兩長邊方向節(jié)點的所有位移施加約束.模型2的單元為分層實體單元,上、下面層盡管較薄但認為是實體；模型1和模型3中上、下面層為殼單元,因此圖8中模型2的變化與另外2個模型不同,這是由于模型2無法模擬邊界處轉(zhuǎn)角的約束,說明采用分層實體單元模擬金屬屋面板與實際不符合.

圖8 3種模型的變形圖Fig.8 Deformation of three finite element models

如表2所示為3種模型短邊中點的z向位移.其中模型1和模型2分別取上、下面層對應處的位移,d11、d12為模型1的上、下面層對應處位移,d21、d22為模型1的上、下面層對應處位移,d1、d2為上、下面層位移的平均值,以該平均值作為參考值.

表2 z向位移

從表2可以看出,模型1和模型2中上、下面層的z向位移不完全相同,上面層的位移略大于下面層.除初始加載(0.1 kN/m2)外,模型1上、下面層位移差與均值的百分比為0.506% ～ 0.675%,模型2為0.533% ～ 0.710%,上、下面層的位移差是由于模型1和模型2考慮了各層的橫向壓縮造成的.同時,模型2和模型3的位移小于模型1,這是由于模型2和模型3先將壓型板等代為平板,無法反映屋面板金屬層的壓型對屋面板變形的影響,所以兩者的位移小于模型1.模型2和模型3參考位移與模型1參考位移的差值百分比分別約為-5%和-5.0%～-6.0%.

3.2.2 動力特性 通過考察3種模型的模態(tài)頻率和各階振型來比較動力特性,3種模型的前10階模態(tài)頻率值見表3.可以看出,3種模型的各階模態(tài)頻率不完全相同,模型3的頻率基本高于模型1和模型2；隨著階數(shù)的增大,三者的模態(tài)頻率差距越來越小.除前兩階外,模型3與模型1的頻率差值百分比較模型2小.

表3 前10階模態(tài)頻率

圖9 第1、4階模態(tài)振型圖Fig.9 Modal shape of mode 1,4

如圖9所示為第1、第4階振型圖.3種模型的前3階振型相同,從第4階開始,3種模型的振型出現(xiàn)明顯差異,模型1的振型開始表現(xiàn)出反對稱形式,而模型2和模型3的振型只有對稱形式,這是由上面層壓型所導致的.

4 結(jié) 論

(1)根據(jù)修正后的Hoff型夾層板理論,建立八結(jié)點矩形夾層殼單元.該單元位于夾芯層的中面,每個結(jié)點具有3個線位移和2個轉(zhuǎn)動位移.

(2)通過八結(jié)點矩形夾層殼單元與分層實體模型、夾層體單元模型的有限元對比分析發(fā)現(xiàn),采用該新建單元模擬的屋面板在靜荷載作用下的變形形式、基本振型與精細的分層實體模型相同,且兩者的變形和自振頻率基本接近.

(3)八結(jié)點矩形夾層殼單元的建模過程簡單,單元總數(shù)目不到分層實體模型單元總數(shù)目的1/3,對存儲的需求量少.

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Hoff theory-based sandwich shell element for metal composite roof panel

HUANG Li1,2, DENG Hua2

(1.DepartmentofRealEstateandEngineeringManagement,ZhejiangUniversityofFinanceandEconomics,Hangzhou310018,China; 2.SpaceStructuresResearchCenter,ZhejiangUniversity,Hangzhou310058,China)

Metal composite roof panel with polyurethane foam core is often used as the roof covering of large-span structures. A simple and effective eight-node rectangular sandwich shell element was established for the polyurethane foam sandwich panel based on the amended theory of the Hoff-type sandwich panel. A rectangular roof panel was employed as an example. Layered solid elements, sandwich solid element and eight-node rectangular sandwich shell element were respectively used to simulate the roof panel. Results reveal that the deformation form of the eight-node rectangular element model is the same as the accurate layered solid element model, and their deformation values are similar. The basic vibration modes are as same as accurate layered solid element model, and vibration frequency is approximated. Results indicate that the sandwich shell element can effectively simulate the static and dynamic characteristic of polyurethane sandwich composite metal roof．

metallic composite roof panel; Hoff-type sandwich panel; sandwich shell element; eight-node element

2014-12-31. 浙江大學學報(工學版)網(wǎng)址： www.journals.zju.edu.cn/eng

浙江省自然科學基金資助項目(LY14E080015).

黃莉(1987-)，女，講師，博士，從事鋼結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)的研究.ORCID：0000-0002-1929-0357.E-mail：huangli@zufe.edu.cn 通信聯(lián)系人：鄧華，男，教授，博導. ORCID：0000-0002-0792-0518.E-mail：denghua@zju.edu.cn

10.3785/j.issn.1008-973X.2016.01.007

O 342; TU 393

A

1008-973X(2016)01-0041-07