有限深多勢阱中電子能態(tài)的數(shù)值研究

江俊勤，沈華嘉

（廣東第二師范學院 物理系，廣東 廣州 510303）

有限深多勢阱中電子能態(tài)的數(shù)值研究

江俊勤，沈華嘉

（廣東第二師范學院 物理系，廣東 廣州 510303）

研究處于N個有限深對稱勢阱中的電子態(tài).從薛定諤方程出發(fā)，在N=1、2、3和4的情況下，用Mathematica數(shù)值求解由標準條件決定的線性方程組，精確計算出電子的能級和波函數(shù).直觀地展示電子能級分裂成能帶的機理.

數(shù)值分析；有限深多勢阱；定態(tài)薛定諤方程；能級和波函數(shù)；能帶

計算一維有限深勢阱中電子的能級和波函數(shù)，是量子力學教學中一個重要的問題.這個問題的經(jīng)典解法是：先分區(qū)間求出薛定諤方程的解析解，然后利用波函數(shù)的標準條件確定電子的能級和波函數(shù).經(jīng)典解法的優(yōu)點是物理概念清晰、計算過程簡明易懂.然而，即使在單勢阱的情況下，決定能級個數(shù)和大小的是頗為復雜的超越方程，所以教科書［1-3］最后只能定性地討論能級的取值范圍.要得到足夠精度的能級并確定具體的波函數(shù)，需要進一步利用電子計算機進行有效的數(shù)值計算.對于N個勢阱情況，更需要一種有效的數(shù)值計算方法.

在保留經(jīng)典解法優(yōu)點的前提下，本文發(fā)展了一種基于通用軟件 Mathematica的有效計算電子能態(tài)的數(shù)值方法.在N=1、2、3和4的情況下進行具體的計算，并研究能級結(jié)構隨N變化的規(guī)律.

1 電子能級的計算

1.1 單勢阱

考慮單個電子被如圖1所示的勢阱束縛著（電子能量E＜U0，U0＞0）：左右兩邊的勢壘為無限寬但有限高，高度為U0，即勢能函數(shù)可寫為

現(xiàn)有資料多數(shù)把坐標原點建在勢阱底部中間，并分奇宇稱和偶宇稱兩種情形進行計算［1-3］.筆者認為：既然問題的解答最終需要通過計算機軟件做數(shù)值計算，就不必事先由人工區(qū)分奇偶宇稱了，波函數(shù)是否奇偶宇稱還是用數(shù)值計算的結(jié)果來說明吧.研究表明，取如圖1所示的坐標系更為方便（對于多個勢阱情況更有優(yōu)勢）.

圖1 單勢阱示意圖

勢阱的定態(tài)薛定諤方程只需分3個區(qū)間求解：

當0＜x＜a時，令（μ為電子質(zhì)量，?為約化普朗克常量），則定態(tài)薛定諤方程可化為

上式的通解為

上式滿足ψ（±∞）為有限值要求的解為

根據(jù)波函數(shù)（及其一階導數(shù)）的連續(xù)性要求，在x=0處，要求ψ（0-）=ψ（0+）和ψ′（0-）=ψ′（0+），即

這就是取如圖1所示坐標系的好處之一，x=0處的邊界條件可以提前單獨處理，這樣，當 0＜x＜a時波函數(shù)可寫成

在x=a處，要求 ψ（a-）=ψ（a+）且 ψ′（a-）= ψ′（a+），即

圖2 單個勢阱中f（E）的曲線圖

圖3 雙勢阱示意圖

f（E）=0的全部實數(shù)根就是所求的本征能量（體系的能級）.然而，想求出足夠精度的本征能量，必須進行有效的數(shù)值計算，借助 Mathematica的找根命令 FindRoot（用牛頓法）可完美解決，為此可先用命令 Plot畫出 f（E）的曲線圖，確定各個區(qū)間內(nèi)的初值（包括個數(shù)，避免遺漏）.若取a=10 ?和U0=5 eV，則 f（E）的曲線如圖 2所示，共有4個能級，它們的大概值分別是 0.3、1.2、2.3和4.1，以此為初值，容易求得高精度的能級（單位為eV，下同；默認精度為16位有效數(shù)字，取6位已足夠精確），分別為：0.271 803、1.077 39、2.379 20和4.059 33.

1.2 雙勢阱

以勢阱左下角為原點的另一個優(yōu)勢是便于推廣到雙勢阱的情況.設單個電子被如圖3所示的雙勢阱束縛著（電子能量 E＜U0）.3個阱壁（勢壘）的高度都為U0，左右兩邊的阱壁無限寬，中間勢壘的寬度為w=a2-a1.定態(tài)薛定諤要分5個區(qū)間求解.根據(jù)單個勢阱的求解經(jīng)驗，容易求得滿足 ψ（±∞）為有限值的波函數(shù)：

各未知系數(shù)和能量由 x=0、a1、a2、a3處定態(tài)波函數(shù)（及其導數(shù)）的連續(xù)性確定.

先由x=0處連續(xù)性要求得A1=βA／α和A2=A，再由 x=a1、a2、a33處連續(xù)的要求，得

式（3）是6元齊次線性方程組，有非零解（有非平庸解）的充要條件是系數(shù)行列式為零，約去公因子exp（-βa3），得到確定能量本征值的條件：

行列式f（E）的計算對于Mathematica來說是很容易的，直接輸入即可.與單勢阱的處理方法一樣，先畫曲線圖確定能級個數(shù)及大概位置（初值），再找根命令FindRoot求出高精度能級.

本文的計算方法適合于任意勢阱（不限于對稱勢阱）.先考慮非對稱雙勢阱，取 a1=10 ?、a2=12 ?、a3=27 ?（兩勢阱的寬度分別為10 ?和15 ?、中間勢壘寬度是2 ?）以及U0=5 eV，則f（E）的曲線如圖4所示，能級共有10個，它們的大概值分別為0.13、0.27、0.51、1.1、1.3、2.1、2.5、3.2、4.1和4.6，以此為初值，容易求得高精度的能級，分別為：0.133 609、0.271 090、0.533 465、1.067 72、1.202 45、2.091 01、2.393 94、3.246 42、4.073 09和4.615 08.

圖4 雙個勢阱中f（E）的曲線圖

我們更感興趣的是對稱多勢阱，取a1=10 ?、a2=15 ?、a3=25 ?和 U0=5 eV，即兩個勢阱的寬度都是10 ?，而中間勢壘寬度是5 ?，則能級一共有8個，分別為：0.271 504、0.272 100、1.075 65、1.079 13、2.371 58、2.386 91、4.025 56和4.099 41.

這8個能級有兩兩成對的趨勢.增大中間勢壘的寬度，這種趨勢更加明顯，若取 a1=10 ?、a2= 30 ?、a3=40 ?和 U0=5 eV，則 8個能級分別為：0.271 803、0.271 803、1.077 39、1.077 39、2.379 20、2.379 20、4.059 31和4.059 35.

可見，當中間勢壘的寬度（即兩個勢阱的距離）增大為w=a2-a1=20 ?（為勢阱寬度的兩倍）時，雙勢阱的能級與兩個獨立單勢阱的情況幾乎完全一樣，只有最高的能級有很微小的差別.

相反，若減少中間勢壘的寬度（即縮小勢阱的距離），則能級分裂增大，當取 a1=10 ?、a2=12 ?、a3=22 ?（即w=2 ?）和 U0=5 eV時，能級分別為：0.262 728、0.279 664、1.039 20、1.112 31、2.290 04、2.473 76、3.928 55和4.280 98.

1.3 多勢阱

單勢阱和雙勢阱的計算方法不難推廣到多勢阱的情況.每增多一個勢阱，定態(tài)薛定諤的求解區(qū)間增加兩個：波函數(shù)增加兩段、確定能級的齊次線性方程組增加4個未知量.

對于3勢阱，波函數(shù)分為7段：

由x=0、a1、a2、a3、a4、a5處定態(tài)波函數(shù)（及其導數(shù)）的連續(xù)性可確定各未知系數(shù)和能量：

式（6）是十元齊次線性方程組，其系數(shù)行列式（10階）f（E）等于零是確定能量本征值的條件，處理方法與求解雙勢阱的情況完全一樣.取a1=10 ?、a2=15 ?、a3=25 ?、a4=30 ?、a5=40 ?（即每個勢阱的寬度都是 10 ?，而中間勢壘寬度都是 5 ?）和U0=5 eV，容易求得所有能級（共 12個），分別為：0.271 38、0.271 802、0.272 223、1.074 93、1.077 39、1.079 85、2.368 46、2.37 9 19、2.390 13、4.012 23、4.061 24和4.117 22.它們每3個成1組.

對于四勢阱，波函數(shù)分為9段，確定能級和波函數(shù)系數(shù)的是14元齊次線性方程組，由14階系數(shù)行列式f（E）等于零（有非零解的條件）可求得所有能級.仍然取每個勢阱的寬度都是10 ?、中間勢壘寬度都是 5 ? （即 a1=10 ?、a2=15 ?、a3=25 ?、a4=30 ?、a5=40 ?、a6=45 ?、a7=55 ?）和 U0= 5 eV，則共有 16個能級，分別為：0.271 319、0.271 617、0.271 986、0.272 284、1.074 57、1.076 31、1.078 46、1.080 21、2.366 92、2.374 47、2.383 95、2.391 73、4.005 74、4.039 42、4.085 07和 4.126 19.它們每4個成1組.

為了便于比較，現(xiàn)將1個至4個對稱勢阱的能級繪制在一幅圖上，如圖5所示，由于勢阱之間距離比較近（5 ?），N個完全一樣的勢阱組合在一起時，電子的波函數(shù)發(fā)生了重疊（特別是高能級的電子態(tài)），電子感受到了各個勢阱的影響，原來的每一個能級分裂成N個相近的新能級，N越大能級間隙越小，形成了能帶.

2 本征波函數(shù)的計算

圖5 1至4個對稱勢阱中電子的能級圖

以3勢阱（N=3）為例.把能級 E、電子質(zhì)量μ、電量e、約化普朗克常量?和U0值代入式（6），就可以確定各個系數(shù)與A之間的關系（A由歸一化條件給出）.事實上，第一和第二兩個系數(shù)已經(jīng)提前確定A1=βA／α和A2=A；由式（6）的前兩個方程可以唯一確定B1和B2，由第三和第四個方程唯一確定C1和C2，由第五和第六個方程唯一確定D1和 D2，由第七和第八個方程唯一確定F1和F2，最后由式（6）的第九個（或者第十個）方程唯一確定G；把各個系數(shù)代入式（5）就可以計算波函數(shù)并繪圖，當然所有的計算全部交給Mathematica去完成.限于篇幅，本文只給出前3個和第12個（即最后一個）波函數(shù)，分別如圖6-圖9所示.

圖6 對稱三勢阱中電子基態(tài)的波函數(shù)

圖7 對稱三勢阱中電子第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)

圖9 對稱三勢阱中電子最高激發(fā)態(tài)的波函數(shù)

波函數(shù)是以勢阱中心軸（x=20 ?）為對稱軸的奇偶函數(shù)，這是數(shù)值計算的自然結(jié)果，無需在計算前先分類.隨著能級的變化，奇偶性輪流出現(xiàn)，基態(tài)為偶函數(shù)，能量最高的態(tài)為奇函數(shù).

3 結(jié)論與討論

本文研究處于N個有限深對稱勢阱中的電子態(tài)，保留了經(jīng)典解法的優(yōu)點，從薛定諤方程出發(fā)，發(fā)展了一種基于通用軟件 Mathematica的數(shù)值方法---通過數(shù)值求解由標準條件決定的線性方程組，計算出電子的能級和波函數(shù).并在N=1、2、3和4的情況下進行具體的計算，結(jié)果表明：本方法不但物理概念清晰、過程簡明易懂，而且計算精度高、速度快，方便于任意多勢阱的計算（不限于對稱勢阱）.同時，本文結(jié)果能直觀地展示電子能級分裂成能帶的機理，這對于能帶結(jié)構的教學也是有意義的.

關于有限深對稱勢阱中的電子能級問題，也可以使用其他算法，例如：節(jié)點法、近似的初值計算法［4］，但這些方法過于“專門”，脫離了傳統(tǒng)教科書的經(jīng)典解法，不太適合在教學中使用.

［1］ 曾謹言.量子力學教程［M］.北京：科學出版社，2003：34-36.

［2］ 朱棟培.量子力學基礎［M］.安徽：中國科學技術大學出版社，2012：41-46.

［3］ 蘇汝鏗.量子力學［M］.上海：復旦大學出版社，1997：37-40.

［4］ 董建.Mathematica與大學物理計算［M］.2版.清華大學出版社，2013：309-318.

Numerical study of electronic states in finite multiple potential wells

JIANG Jun-qin，SHEN Hua-jia
（Department of Physics，Guangdong University of Education，Guangzhou，Guangdong 510303，China）

The electronic states in the symmetric N-potential wells are studied.Based on the Schr?dinger equation，the linear equations determined by the standard conditions in the case of N=1，2，3 and 4 are solved，the energy level and wave function are accurately calculated by using Mathematica.The mechanism of the energy level splitting into energy band is exhibited.

numerical analysis；finite multiple potential wells；Schr?dinger equation；energy level and wave function；energy bands

O 413.1

A

1000-0712（2016）11-0013-05

2015-11-23；

2016-03-01

廣東省高等學校物理專業(yè)綜合改革試點項目資助

江俊勤（1962-），男，廣東揭陽人，廣東第二師范學院物理系教授，主要從事量子力學教學和格點規(guī)范場論的研究工作.