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    奧運(yùn)與二次函數(shù)

    2016-12-07 08:33:24陳壽來(lái)
    初中生世界 2016年43期
    關(guān)鍵詞:球門射門紀(jì)念品

    陳壽來(lái)

    奧運(yùn)與二次函數(shù)

    陳壽來(lái)

    今年是奧運(yùn)年,中國(guó)運(yùn)動(dòng)健兒在里約奧運(yùn)會(huì)上再創(chuàng)佳績(jī).可你們知道嗎,奧運(yùn)還與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)有“深厚”的聯(lián)系呢.下面圍繞二次函數(shù)這一部分內(nèi)容,以?shī)W運(yùn)為載體,談?wù)勊鼈冎g的密切聯(lián)系.

    一、比賽項(xiàng)目與二次函數(shù)

    在奧運(yùn)會(huì)的賽場(chǎng)上,人、球或其他物體在空中運(yùn)動(dòng)的某一段過(guò)程形成的軌跡可以看成拋物線,我們以跳水和足球?yàn)槔?

    例1如圖1,2016年里約奧運(yùn)會(huì),某運(yùn)動(dòng)員在10米跳臺(tái)跳水比賽時(shí)估測(cè)身體(看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線(如圖建立直角坐標(biāo)系,圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件),運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的最大高度離水面為米.

    圖1

    【分析】首先把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式,從而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得到運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)的最大高度離水面為多少米.

    例2如圖2,在某場(chǎng)足球比賽中,球員甲從球門底部中心點(diǎn)O的正前方10m處起腳射門,足球沿拋物線飛向球門中心線;當(dāng)足球飛離地面高度為3m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn),此時(shí)足球飛行的水平距離為6m.已知球門的橫梁高OA為2.44m.

    圖2

    (1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,問(wèn)此飛行中的足球能否進(jìn)球門?(不計(jì)其他情況)

    (2)守門員乙站在距離球門2m處,他跳起時(shí)手的最大摸高為2.52m,他能阻止球員甲的此次射門嗎?如果不能,他至少后退多遠(yuǎn)才能阻止球員甲的射門?

    【分析】(1)根據(jù)條件可以得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4,3),利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;

    (2)求出當(dāng)x=2時(shí),拋物線的函數(shù)值,與2.52米進(jìn)行比較即可判斷,再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

    【解答】(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4,3),

    設(shè)拋物線的解析式是:y=a(x-4)2+3,

    把(10,0)代入得36a+3=0,

    故能射進(jìn)球門;

    ∴守門員乙不能阻止球員甲的此次射門,

    解得:x1=1.6,x2=6.4(舍去),

    ∴2-1.6=0.4(米).

    答:他至少后退0.4米,才能阻止球員甲的射門.

    二、商品與二次函數(shù)

    里約當(dāng)?shù)氐纳痰暧泻芏鄪W運(yùn)紀(jì)念品,店家為了獲得更多利潤(rùn),要對(duì)紀(jì)念品做出合適的定價(jià).

    例3奧運(yùn)會(huì)某紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為每件40美元,如果售價(jià)為每件50美元,每天可賣出210件;如果售價(jià)超過(guò)50美元但不超過(guò)80美元,每件紀(jì)念品的售價(jià)每上漲1美元,則每天少賣1件;如果售價(jià)超過(guò)80美元后,若再漲價(jià),則每漲1美元每天少賣3件.設(shè)每件紀(jì)念品的售價(jià)為x美元,每天的銷售量為y件.

    (1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍;

    (2)設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為W,請(qǐng)直接寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式;

    (3)每件紀(jì)念品的售價(jià)定為多少美元時(shí),每天可獲得最大利潤(rùn)?每天最大利潤(rùn)是多少美元?

    【分析】(1)當(dāng)售價(jià)超過(guò)50美元但不超過(guò)80美元時(shí),每件紀(jì)念品的售價(jià)每上漲1美元,則每天少賣1件,y=260-x,50≤x≤80;當(dāng)售價(jià)超過(guò)80美元后,若再漲價(jià),則每漲1美元每天少賣3件,y=420-3x,80<x<140.

    (2)由利潤(rùn)=(售價(jià)-成本)×銷售量,列出函數(shù)關(guān)系式.

    (3)分別求出兩段函數(shù)的最大值,然后作比較.

    【解答】(1)略解,

    (2)由利潤(rùn)=(售價(jià)-成本)×銷售量,可以列出函數(shù)關(guān)系式:

    w=-x2+300x-10400(50≤x≤80),

    w=-3x2+540x-16800(80<x<140);

    (3)當(dāng)50≤x≤80時(shí),w=-x2+300x-10400,

    當(dāng)x=80時(shí)有最大值,最大值為7200,

    當(dāng)80<x<140時(shí),w=-3x2+540x-16800,

    當(dāng)x=90時(shí),有最大值,最大值為7500,

    故售價(jià)定為90美元,每天利潤(rùn)最大為7500美元.

    三、贊助商與二次函數(shù)

    在奧運(yùn)會(huì)上有很多簽約的贊助商,在奧運(yùn)會(huì)期間他們的廣告無(wú)處不在.

    例4如圖3,在邊長(zhǎng)為24cm的正方形紙片ABCD上,剪去圖中陰影部分的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿圖中的虛線折起,折成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒(A、B、C、D四個(gè)頂點(diǎn)正好重合于上底面上一點(diǎn)).已知E、F在AB邊上,是被剪去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=BF=xcm.

    圖3

    某廣告商要求包裝盒的表面(不含下底面)面積S最大,試問(wèn)x應(yīng)取何值?

    【分析】利用已知條件表示出包裝盒的表面面積,進(jìn)而利用函數(shù)最值求出即可.

    ∵0<x<12,

    ∴當(dāng)x=8時(shí),S取得最大值384cm2.

    (作者單位:江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué))

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