費(fèi)馬大定理的初等證明方法

張朝相， 艾小川， 黃開(kāi)林， 馬迪生

(1. 中國(guó)石油天然氣股份有限公司 吐哈油田分公司， 四川 成都 610081；2. 海軍工程大學(xué) 理學(xué)院， 湖北 武漢 430033；3. 四川永能油氣技術(shù)開(kāi)發(fā)有限公司， 四川 成都 610017；4. 中國(guó)石油天然氣股份有限公司 西南油氣田分公司， 四川 成都 610255)

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費(fèi)馬大定理的初等證明方法

張朝相1， 艾小川2， 黃開(kāi)林3， 馬迪生4

(1. 中國(guó)石油天然氣股份有限公司 吐哈油田分公司， 四川 成都 610081；2. 海軍工程大學(xué) 理學(xué)院， 湖北 武漢 430033；3. 四川永能油氣技術(shù)開(kāi)發(fā)有限公司， 四川 成都 610017；4. 中國(guó)石油天然氣股份有限公司 西南油氣田分公司， 四川 成都 610255)

給出不定方程Xn+Yn=Zn在n為奇素?cái)?shù)時(shí)，無(wú)正整數(shù)解的初等證明方法，即用初等數(shù)學(xué)方法證明了費(fèi)馬大定理.通過(guò)實(shí)例分析，結(jié)果顯示文中證明方法的正確.

費(fèi)馬大定理； 初等數(shù)學(xué)方法； 因式分解； 多項(xiàng)式互素

1 預(yù)備知識(shí)

費(fèi)馬大定理也稱“費(fèi)馬猜想”，是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出的，他認(rèn)為：一整數(shù)3次冪不能表為兩個(gè)整數(shù)的同次冪之和；一個(gè)整數(shù)4次冪不能表為兩個(gè)整數(shù)的同次冪之和；一般地講，當(dāng)n>2，一個(gè)整數(shù)的n次冪表為兩個(gè)整數(shù)的同次冪之和，這是不可能的.即對(duì)于Xn+Yn=Zn，當(dāng)n>2時(shí)，不定方程無(wú)全正整數(shù)解.

“費(fèi)馬猜想”包含兩層意義：1) 當(dāng)p(p為任意奇素?cái)?shù))時(shí)，X，Y，Z中一定有一個(gè)不為整數(shù)；2) 當(dāng)n=4p時(shí)，出現(xiàn)兩個(gè)方程，(Xp)4+(Yp)4=(Zp)4，(X4)p+(Y4)p=(Z4)p，若X，Y為正整數(shù)，必須首先是Zp，Z4不為整數(shù)，而后得Z不為整數(shù).因此，只要證明當(dāng)n=4，n=p時(shí)，Z不為整數(shù)即可.以前有種觀點(diǎn)，只要證明n=4的“費(fèi)馬猜想”成立，隨之n=4p的“費(fèi)馬猜想”也成立， 這是概念上的錯(cuò)誤[1].

“費(fèi)馬猜想”被提出后，經(jīng)無(wú)數(shù)人辨證，先后證得n=3，n=4，n=5，n=7，以及一些有限數(shù)時(shí)費(fèi)馬大定理成立.最終，在1995年被英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯所證明.但懷爾斯的證明高深冗長(zhǎng).費(fèi)馬在提出猜想的同時(shí)又說(shuō)，他有一個(gè)絕妙的證明方法，只是“邊頁(yè)太小，寫(xiě)不下了”.他的證明到底是個(gè)怎樣的證明，至今仍是一個(gè)謎.但可以肯定，費(fèi)馬處于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)發(fā)展水平，他的證明肯定不是類似懷爾斯的證明，而是一個(gè)較為初等的方法[2].

在懷爾斯的證明之后，世界上仍有不少數(shù)學(xué)志士為此而著迷，極具代表性的是美國(guó)數(shù)學(xué)家科林·邁克拉蒂.2003年，他稱有比懷爾斯的更簡(jiǎn)單的方法，并先后在美國(guó)和加拿大的數(shù)學(xué)報(bào)告會(huì)上發(fā)表，取得極大的進(jìn)展.但他使用近代的“群論”思想，這與費(fèi)馬所稱的方法仍是相去甚遠(yuǎn)[3].

2 費(fèi)馬定理的證明

2.1 對(duì)Z進(jìn)行因式分解

令n為任意奇素?cái)?shù)k，當(dāng)k≥3時(shí)，有

(1)

設(shè)式(1)有一組正整數(shù)解X0，Y0，Z0，且Z0是最小的正整數(shù)解，則式(1)變換為

(2)

2.2Z0的求解

Z因式分解后，求解Z0，由于有

(3)

上式右端共(k+1)+1=k+2項(xiàng)，經(jīng)移項(xiàng)并消項(xiàng)可得

(4)

1) 第1項(xiàng)為

2) 第2項(xiàng)為

3) 第k-2項(xiàng)為

4) 第k-1項(xiàng)為

2.3 引理及其證明

引理1 自然數(shù)集合中任意相鄰兩數(shù)a和b，若ai=a+i，bi=b-i，ai+1=a+(i+1)，bi+1=b-(i+1)，則存在關(guān)系式[aibi-ai+1bi+1]為等差數(shù)列(i=0，1，2，3，…)，且ab>aibi> ai+1bi+1，ab為最大值.

證明：參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1].

引理3 am-1=(a-1)(am-1+am-2+…+1) ；若 a≡1(modmk)， mk|a-1，因?yàn)閍≡1(modm)，所以 am-1+am-2+…+1≡m≡0(modm)， 也就有m|am-1+am-2+…+1， 因此mk+1|am-1， 即 am≡ 1(modmk+1)，k>0 ， m≥3的奇素?cái)?shù).

證明:參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1].

推論1 am-1=(a-1)(am-1+am-2+…+1 ) ；若am-1+am-2+…+1≡m≡0(modm)；m|am-1+am-2+…+1； 因?yàn)閍m-1+am-2+…+1≡0(modm)； 所以m|a-1，即m2|am-1，am≡1(modm2).

注1 引理和推論不同，引理有mk+1|am-1，k≥1，而推論僅有m2|am-1，m≥3的奇素?cái)?shù)[4-8].

證明:參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1].

2.4 實(shí)例證明

實(shí)例1 證明1： 假設(shè)d0=1，X0，Y0為一偶一奇，或同為奇數(shù)，引入(-1)e(e=1，2，3，…，k-1)e是y0的冪指數(shù)，則有

(5)

將X0=X1，Y0=Y1代入上式，并兩端同減1可得

(6)

證明2：當(dāng)d0=k時(shí)，有

(7)

(8)

(9)

(10)

上式兩端同減2k-1后，再同除以2k-1,可得

(11)

費(fèi)馬定理表明：am-1≡1(modm)； (a，m)=1； 若 a=bm， 則為 (bm-1)m≡1(modm2)

根據(jù)對(duì)費(fèi)馬定理的解釋，式(11)中(2k-1-1)只能是2k-1≡1(modk1)，即k|2k-1-1 ；2k-1-1=kC2(C2是2k-1-1除以k 的倍數(shù))，(k， C2)=1 .則式(11)可變換為

(12)

設(shè)上式中括號(hào)內(nèi)代數(shù)和為∑C1，則式(12)可改為

(13)

(14)

k2b3=ka3， b3=a3/k.

實(shí)例2 假設(shè)Z0為偶數(shù)， X0，Y0為奇數(shù)，Z01為偶數(shù)，則有

(15)

將X1，Y1代入式(2)可得

(16)

(17)

上式兩端同減1，右端提取公因數(shù)(kk-1)2，可得

(18)

設(shè)中括號(hào)內(nèi)代數(shù)和為∑C3，則有

(19)

(20)

因?yàn)?k，∑C3)=1，所以b4為既約分?jǐn)?shù).

(21)

同前面的分析一樣，可以證明Z02為無(wú)理數(shù)，Z0為無(wú)理數(shù)，Z0無(wú)最小正整數(shù)解和正整數(shù)解.

3 結(jié)論

上面已證明 Xk+Yk=Zk無(wú)全正整數(shù)解，若將n進(jìn)行素因數(shù)分解，則有

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(責(zé)任編輯： 黃曉楠 英文審校： 黃心中)

Elementary Proof of Fermat Theorem

ZHANG Chaoxiang1， AI Xiaochuan2，HUANG Kailin3， MA Disheng4

(1. Tuha Oilfield Company， China National Petroleum Corporation， Chengdu 610081， China；2. College of Science, Naval University of Engineering, Wuhan 430033， China；3. Sichuan Yongneng Petroleum Technology Development Limited Company， Chengdu 610017， China；4. Southwest Oil and Gasfield Company， China National Petroleum Corporation， Chengdu 610255， Chian)

In this paper， an elementary proof method is given for the indefinite equation，Xn+Yn=Zn， which has no positive integer solution when n is an odd prime number， namely， it proves Fermat theorem with an elementary mathematical method. In addition， an example analysis is also given， and the results show that the proof method is correct.

Fermat theorem； elementary mathematical method； factorization； relatively prime of polynomials

10.11830/ISSN.1000-5013.201606026

2016-11-06

張朝相(1942-)，男，高級(jí)工程師，主要從事數(shù)論的研究.E-mail:zhangchaoxiang99@sohu.com.

四川省杰出青年科研基金資助項(xiàng)目(2011JQ0055)

O 156.1

A

1000-5013(2016)06-0786-05