隨機波動率下永久美式障礙期權(quán)的漸近式

張嬌嬌,畢秀春,李 榮,張曙光

(1.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005;2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院,安徽合肥230026)

隨機波動率下永久美式障礙期權(quán)的漸近式

張嬌嬌1,畢秀春2*,李 榮2,張曙光2

(1.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005;2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院,安徽合肥230026)

研究波動率服從快速均值回復(fù)Ornstein-Unlenbeck(O-U)過程的永久美式障礙期權(quán)的定價問題.考慮永久美式向下敲出看漲期權(quán),該期權(quán)的定價問題可歸結(jié)于求解自由邊界問題.使用擾動法,把期權(quán)價格以及最優(yōu)執(zhí)行價格按均值回復(fù)時間長度的冪進行展開,通過求解Poisson方程組,得到期權(quán)和最優(yōu)執(zhí)行價格的漸近公式.

隨機波動率;永久美式障礙期權(quán);偏微分方程;擾動法;Poisson方程

隨機波動率模型為近年來最流行的期權(quán)定價模型之一,大量的金融實證表明波動率具有集聚性.由此性質(zhì),Stein等[1]提出了服從均值回復(fù)Ornstein-Unlenbeck (O-U)過程的隨機波動率模型,但假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)過程與波動率過程是不相關(guān)的;Heston[2]提出波動率的平方遵循平方根過程的隨機波動率模型.對許多金融市場的觀察發(fā)現(xiàn)波動率的均值回復(fù)是非?？斓?稱之為快速均值回復(fù)波動率.例如:Fouque等[3]對高頻S&P 500資產(chǎn)價格的歷史數(shù)據(jù)的分析表明波動率是快速均值回復(fù)的;Hikspoor等[4]分析的商品價格數(shù)據(jù)也體現(xiàn)了快速均值回復(fù)特征.因而本研究考慮服從快速均值回復(fù)O-U過程的隨機波動率模型,且風(fēng)險資產(chǎn)過程與波動率過程是相關(guān)的,它推廣了文獻[1]的模型.

近年來,永久美式期權(quán)的定價問題成為學(xué)術(shù)界和業(yè)界關(guān)注的熱點,出現(xiàn)了大量關(guān)于永久美式期權(quán)的文獻,其中,最經(jīng)典的是Merton[5]給出了常波動率下永久美式看跌期權(quán)的精確定價公式.但他的方法不能推廣到隨機波動率模型,主要是因為最優(yōu)執(zhí)行價格不再是常數(shù)而是一個關(guān)于波動率的未知曲線.Zhu等[6]采用spectral-collocation(SC)方法得到了Heston模型下永久美式看跌期權(quán)價格的數(shù)值解.之后,Zhu等[7]討論在緩慢變化的隨機波動率下永久美式看跌期權(quán)的定價問題,采用漸近展開方法分別給出該期權(quán)價格和最優(yōu)執(zhí)行價格的解析漸近公式,并與SC方法得到的漸近公式作了比較.

最近,Fouque等[3]提出快速均值回復(fù)O-U過程的隨機波動率模型,使用擾動法得到了美式看跌期權(quán)價格和最優(yōu)執(zhí)行價格的漸近公式.隨后,Souza等[8]考慮在快速均值回復(fù)O-U過程的隨機波動率下帶連續(xù)紅利的美式看漲期權(quán),但是沒有給出該期權(quán)的最優(yōu)執(zhí)行價格的1-階漸近公式.Zhu等[9]探討了一般快速均值回復(fù)的隨機波動率下永久美式看跌期權(quán),不僅得到了該期權(quán)價格和最優(yōu)執(zhí)行價格的解析漸近公式,而且還從定量角度分析了快速均值回復(fù)的波動率對該期權(quán)價格的影響.Chen等[10]研究多尺度隨機波動率下永久美式看跌期權(quán),其波動率由兩個過程所驅(qū)動,同樣使用擾動法給出了該期權(quán)和最優(yōu)執(zhí)行價格的近似定價公式.

永久美式障礙期權(quán)在銀行擠兌、銀行存款保險等有著重要的作用,具有一定的現(xiàn)實意義.因此本研究考慮在快速均值回復(fù)O-U過程的隨機波動率下永久美式障礙期權(quán)的定價問題,以帶連續(xù)紅利的永久美式向下敲出看漲期權(quán)為例,同樣采用擾動法得到了該期權(quán)價格和最優(yōu)執(zhí)行價格的漸近公式.

1 模型介紹

1.1模型假設(shè)

給定概率空間(Ω,F,Ft,P),本研究所有過程都在這個概率空間上有定義.其中域流Ft是由過程{Xs}0≤s≤t和{Ys}0≤s≤t所生成的σ代數(shù).風(fēng)險資產(chǎn)價格Xt遵循隨機微分方程(SDE):

其中,μ是常均值回復(fù)率,q是資產(chǎn)支付的連續(xù)紅利率,σt是波動率過程,Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.設(shè)σt= f(Yt),其中f是不為零的有界正函數(shù),Yt是快速均值回復(fù)O-U過程,滿足下面SDE

這里α,m和β都是正常數(shù),其中,參數(shù)α描述了過程Yt回復(fù)的速度,參數(shù)m為Yt的長期水平是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動,與Wt的相關(guān)系數(shù)為

由Ito公式知,過程Yt有顯式解

注意到,Yt服從正態(tài)分布其中令t→∞,可得Yt的不變分布是正態(tài)分布N(m,ν2).

在本文中,令＜·＞表示關(guān)于過程Yt的不變分布的積分.

由于布朗運動Wt和的相關(guān)系數(shù)是則存在另外一個與Wt獨立的布朗運動Zt,使得

假設(shè)存在一個等價鞅測度P*(γ),在P*(γ)下,貼現(xiàn)股票價格是鞅,其中r是利率.令

這里,適應(yīng)過程γt和滿足Novikov條件[11],使得P*(γ)是有定義的概率測度,特別地,當(dāng)f(y)是不為零的有界函數(shù)且γt有界時,顯然滿足上述條件,稱過程γt為隨機部分Zt的風(fēng)險市場價格.因為波動率σt不是可交易資產(chǎn),所以等價鞅測度并不唯一,它依賴于γ.在P*(γ)下,得到下面的SDEs

1.2永久美式向下敲出看漲期權(quán)滿足的偏微分方程(PDE)

本研究以隨機波動率下永久美式向下敲出看漲期權(quán)為例,該期權(quán)沒有精確解,下面使用擾動法求其漸近解.

假設(shè)市場選定了一等價鞅測度P*(γ),則永久美式向下敲出看漲期權(quán)的價格V(x,y)為

其中,過程(Xt,Yt)在P*(γ)下滿足式(1)～(2),為給定障礙.

在上面的假設(shè)下,永久美式向下敲出看漲期權(quán)的定價歸結(jié)于求解下面的自由邊界問題:

過程Yt是快速均值回復(fù)的,也就是說,α是很大的數(shù),因此∈是很小的數(shù).根據(jù)∈,得

其中ν是Yt的不變分布的標(biāo)準(zhǔn)差.

將式(4)和(5)直接代入式(3)的PDE中,得

定義算子:

則式(6)簡化為

由系數(shù)的假設(shè)可知,對給定的∈＞0,這個方程有唯一解V.由式(6),可以看出V是關(guān)于∈的函數(shù).再由∈是很小的數(shù),使用擾動法,將V和按的冪進行展開,得

其中V0,V1,V2,…是關(guān)于(x,y)的待定函數(shù),x0, x1,x2,…是關(guān)于y的待定函數(shù).式(8)代入式(7),可得

從而得到一組Poisson方程

定價問題歸結(jié)于求一組Poisson方程,下一節(jié)的目的是解出方程組(12)中的V0,V1,…,然后,根據(jù)V0,V1,…,解出式(9)中的x0,x1,….

2 漸近公式

首先重述一下文獻[12]中的引理3.1及相關(guān)結(jié)果,這在后面的推導(dǎo)過程中起到關(guān)鍵的作用.

引理1 設(shè)ζ(x,y)∈Cl,l(R×R)且是有界的.則Poisson方程

有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)

其中p(y)是關(guān)于L0的平穩(wěn)密度函數(shù).此外,方程(13)解的形式為

其中P0(x,y)是方程(13)滿足條件〈P0(x,y)〉= 0的唯一解,C(x)關(guān)于變量y是常數(shù).

2.10-階項V0(x)

Poisson方程組(12)的第1個方程L0V0=0和L0僅是關(guān)于變量y的算子,蘊含了V0對于變量y是常數(shù),即V0只是關(guān)于變量x的函數(shù):

再由算子L1的定義知L1V0=0.從而方程組(12)的第2個方程簡化為L0V1=0.

使用同樣的方法,顯然有

故L1V1=0.從而方程組(12)的第3個方程化簡為

引理1蘊含了Poisson方程(15)是無解的,除非該方程滿足條件

由于O-U過程Yt的不變分布是

又由式(14),有

基于式(10)和(11),可得V0滿足下面Black-Scholes方程

總結(jié)上面的結(jié)論得到以下命題:

命題1 波動率服從快速均值回復(fù)O-U過程的情形下,永久美式障礙期權(quán)的價格展開式首項V0是波動率為常數(shù)的對應(yīng)永久美式障礙期權(quán)Black-Scholes定價公式.

下面求解V0,設(shè)

是方程(17)的解,其中C1和C2是待定系數(shù),以及λ1,λ2是下面特征方程的兩個根

解得

其中

為求C1和C2,使用障礙條件,

再用永久美式向下敲出看漲期權(quán)的邊界條件U(x0) =x0-K,其中x0是最優(yōu)執(zhí)行價格xfb的0階項,即

聯(lián)立式(19)和(20),解得

把式(21)代入式(18),得

其中x是t時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格.

選取x0使得U(x)達到最大值,則對式(22)關(guān)于x0求導(dǎo)數(shù),并令結(jié)果表達式為0,則得到了關(guān)于x0的方程:

從而,得到了在隨機波動率下永久向下敲出看漲期權(quán)的價格漸近展開式(8)中的首項V0(x)

其中最優(yōu)執(zhí)行價格xfb的0階項x0滿足方程(23).

2.21-階項V1(x)

由式(16),得

根據(jù)Poisson方程(15),計算2階項V2:

其中C(x)對于變量y是常數(shù),Φ(y)是下面Poisson方程的唯一解

同樣,式(12)的第4個方程是V3關(guān)于算子L0的Poisson方程,因此這個方程有解也必須滿足條件

于是得到

其中

定義

注意到,V1滿足的PDE(27)對應(yīng)滿足邊界條件的齊次方程

僅有零解.因此,僅需求一個特解即可.

對式(24)直接計算得

則式(26)改寫為

其中

由常微分方程的常數(shù)變易法,解得

其中

(關(guān)于V1(x)使用的常數(shù)變易法可參考文獻[13]).

此外,根據(jù)V0(x)和V1(x)的表達式,直接計算可得最優(yōu)執(zhí)行價格xfb的1階項

其中,

從而,得到了在隨機波動率下永久美式向下敲出看漲期權(quán)和最優(yōu)執(zhí)行價格的一階漸近公式.總結(jié)上邊的結(jié)論作為下面的定理,此定理是本文中的主要結(jié)論.

定理1 在快速均值回復(fù)O-U過程的隨機波動率下永久美式向下敲出看漲期權(quán)的一階漸近公式為

其中V0(x)和V1(x)分別滿足式(24)和(28).該期權(quán)的最優(yōu)執(zhí)行價格的一階漸近公式為

這里,x0和x1分別滿足式(23)和(29).

注1 本研究得到了在快速均值回復(fù)O-U過程的隨機波動率下永久美式向下敲出看漲期權(quán)的一階漸近公式,該漸近公式并不是對所有的x都是有意義的.當(dāng)x非常接近于最優(yōu)執(zhí)行價格時,該漸近公式是不精確的,這是因為持該期權(quán)的合同可能沒有足夠長的時間使得快速均值回復(fù)波動率的“平均效應(yīng)”得以實現(xiàn),這時就需要考慮邊界層.要得到期權(quán)的2階漸近項V2(x,y),僅需求解式(25)中的C(x)即可.在求解C(x)的過程中,就需要考慮邊界層,這是一個非常復(fù)雜的問題.因而,本研究只考慮一階漸近公式.

注2 使用Fouque等[14]類似的方法,通過小的改動可證明一階漸近公式是收斂的:

3 結(jié) 論

本研究考慮在快速均值回復(fù)O-U過程的隨機波動率下永久美式障礙期權(quán)的定價問題,以永久美式向下敲出看漲期權(quán)為例進行討論的.使用擾動法,得到了永久美式向下敲出看漲期權(quán)價格和最優(yōu)執(zhí)行價格的漸近公式.使用同樣方法可以討論其他情況的障礙期權(quán)的漸近公式.在本研究中,隨機波動率是關(guān)于O-U過程Yt的一般函數(shù)f(y),也可以討論特殊函數(shù).

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The Asymptotic Formula of the Perpetual American Barrier Option Under Stochastic Volatility

ZHANG Jiaojiao1,BI Xiuchun2*,LI Rong2,ZHANG Shuguang2

(1.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China; 2.The School of Management,University of Science and Technology of China,Hefei 230026,China)

This study considers a stochastic volatility model for pricing perpetual American barrier options where the volatility is driven by a fast mean reversion Ornstein-Unlenbeck(O-U)process.It takes the case of the perpetual down-and-out call option for example,pricing problem of which can be formulated as a free boundary problem.Using the perturbation method,we first expand the price and the optimal exercise price of this option in the power of the length of mean reversion time.Then,by solving a set of Poisson equations,two asymptotic formulae are derived for this option price and the optimal exercise price,respectively.

stochastic volatility;perpetual American barrier options;partial differential equation;perturbation method;Poisson equation

O 211.9;O 29

A

0438-0479(2016)06-0912-06

10.6043/j.issn.0438-0479.201603009

2016-03-03 錄用日期:2016-09-01

國家自然科學(xué)基金(11401556,11471304);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項(WK 2040000012)

xcbi@mail.ustc.edu.cn

張嬌嬌,畢秀春,李榮,等.隨機波動率下永久美式障礙期權(quán)的漸近式[J].廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,55(6): 912-917.

ZHANG JJ,BI X C,LI R,et al.The asymptotic formula of the perpetual American barrier option under stochastic volatility[J].Journal of Xiamen University(Natural Science),2016,55(6):912-917.(in Chinese)