對(duì)角線元為冪等矩陣的2×2分塊方陣的數(shù)量冪等性

于明明，吳 炎

(海南熱帶海洋學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 海南 三亞 572022)

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對(duì)角線元為冪等矩陣的2×2分塊方陣的數(shù)量冪等性

于明明，吳 炎

(海南熱帶海洋學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 海南 三亞 572022)

設(shè)G是對(duì)角線元為冪等矩陣的2×2分塊方陣,利用矩陣?yán)碚摵头椒?研究并得到了對(duì)角線元為冪等矩陣的2×2分塊方陣G的k次數(shù)量冪等性,確定了方程Gk=λG有解的充要條件,其中k=2,3.

數(shù)量冪等矩陣;分塊矩陣;數(shù)量冪等性

1 引言與預(yù)備知識(shí)

2×2分塊矩陣的特殊性質(zhì)(包括矩陣塊獨(dú)立性的結(jié)果)，對(duì)于矩陣的廣義逆的研究，以及線性統(tǒng)計(jì)估計(jì)與等式約束二次規(guī)劃問題的研究均有重要理論意義和應(yīng)用價(jià)值[1-3]，特別是分塊矩陣的加權(quán)M-P逆在線性統(tǒng)計(jì)推斷、預(yù)報(bào)理論、控制系統(tǒng)分析、曲線擬合、數(shù)值分析等領(lǐng)域均有很好的實(shí)際應(yīng)用[2].

文獻(xiàn)[1-3]主要研究分塊矩陣g一逆和加權(quán)M-P逆的塊獨(dú)立性，得到兩個(gè)和三個(gè)復(fù)矩陣塊獨(dú)立的充分必要條件,并揭示了不同定義下的塊獨(dú)立性定義之間的聯(lián)系.文獻(xiàn)[4]主要對(duì)冪等和n階k次冪等矩陣的一些秩性質(zhì)進(jìn)行研究，而文獻(xiàn)[5]利用矩陣方法給出了局部環(huán)上高次冪等矩陣的偽標(biāo)準(zhǔn)型和3次冪等矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形及其在廣義逆中的應(yīng)用.文獻(xiàn)[6]研究了m次數(shù)量冪等矩陣線性組合的可逆條件.文獻(xiàn)[7]則從另一方面研究并得到了局部環(huán)上3個(gè)冪等矩陣線性組合的廣義逆之間的關(guān)系，以及這些廣義逆之間包含關(guān)系成立的條件.文獻(xiàn)[8]主要研究了在一定條件下，復(fù)分塊矩陣是冪等矩陣且某些性質(zhì)成立時(shí)，關(guān)于復(fù)分塊矩陣的廣義Schur補(bǔ)的性質(zhì).文獻(xiàn)[9]利用矩陣?yán)碚撗芯苛讼嗨谱儞Q下的冪零矩陣的{2,3}-逆問題,而文獻(xiàn)[10]利用矩陣?yán)碚摵途仃囉?jì)算技巧研究了對(duì)角線元為數(shù)量冪等矩陣的高階上三角分塊矩陣的數(shù)量冪等性，并給出了2×2分塊上三角矩陣的{1,3}-逆表示式.

然而，上述文獻(xiàn)都沒有考慮關(guān)于對(duì)角線元為數(shù)量冪等矩陣的非上、下三角的一般2×2分塊矩陣的特殊性質(zhì)(如冪等性等)的研究，因此其實(shí)質(zhì)性問題仍待需要進(jìn)一步的探討.本文利用矩陣?yán)碚摵途仃囉?jì)算方法，特別是冪等矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形理論,在實(shí)數(shù)域上研究了對(duì)角線元為冪等矩陣的一般2×2分塊方陣的低階數(shù)量冪等性質(zhì)，得到若干個(gè)比較整齊的充要條件和結(jié)果.

為了使用方便,本文中用R表示實(shí)數(shù)域,用Rn×n表示R上所有n×n階矩陣的集合,用En表示n階單位矩陣,用r(A)表示矩陣A的秩,用N+表示全體正整數(shù)集,用A⊕B表示對(duì)角矩陣diag{A,B}.

定義1[6]設(shè)A∈Rn×n,λ∈R(λ≠0).若存在最小正整數(shù)k∈N+,使得Ak=λA,則稱A為k次冪等矩陣.

在本文中，不失一般性假設(shè)A∈Rn×n,D∈Rs×s,A2=A,D2=D(A≠0,D≠0;n,s∈N+),且不妨設(shè)r(A)=r,r(D)=t,則由文獻(xiàn)[5]易知,存在P1∈GLn(R)和P2∈GLs(R),使得

利用上述非零的冪等矩陣A,D和矩陣B∈Rn×s,C∈Rs×n構(gòu)作如下2×2分塊方陣

(1)

令P=P1⊕P2,則有

(2)

其中可設(shè)

(3)

而

B11∈Rr×t,B12∈Rr×(s-t),B21∈R(n-r)×t,B22∈R(n-r)×(s-t)，

C11∈Rt×r,C12∈Rt×(n-r),C21∈R(s-t)×r,C22∈R(s-t)×(n-r).

在本文中，我們主要研究(1)式中的矩陣所確定的方程Gk=λG(k=2,3)有解的充要條件，以及相應(yīng)的一些性質(zhì).

2 對(duì)角線元為冪等矩陣的2×2分塊方陣的數(shù)量冪等性

本節(jié)運(yùn)用了冪等矩陣的相關(guān)性質(zhì)，并通過一系列的計(jì)算得到以下兩個(gè)定理.

(4)

其中:B12,B21,C12,C21滿足B21C12=0,B12C21=0,C21B12=0,C12B21=0;P1∈GLn(R),P2∈GLs(R).

或者λ=2,且

(5)

其中:B11,C11滿足B11C11=Er,C11B11=Et;P1∈GLn(R),P2∈GLs(R).

(6)

由式(3)分別代入式(6)中各式，依次得到

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

首先，當(dāng)λ=1時(shí)，由(11)式得到B11=0,B22=0,C11=0,C22=0,將之代入式(7)和式(10)，就得到

B21C12=0,B12C21=0,C21B12=0,C12B12=0 .

(12)

其中B12,B21,C12,C21滿足式(12)條件.

其次，當(dāng)λ=2時(shí)，同樣由式(11)得到B12=0,B21=0,C21=0,C12=0,C22=0.將之代入式(7)和式(10)，就得到

B11C11=Er,C11B11=Et.

(13)

其中B11,C11滿足式(13)條件.

綜上討論可得，定理1結(jié)論成立.

(14)

其中,P1∈GLn(R),P2∈GLs(R),且Bij,Cij滿足如下條件

B11C11=0,C11B11=0,B11C12=0,C11B12=0,C21B11=0,B21C11=0,B22=B22C22B22,C22=C22B22C22.

或者λ=4,且

其中：P1∈GLn(R),P2∈GLs(R),且Bij,Cij滿足如下條件

(15)

由式(3)分別代入式(16)、(19)、(17)和式(18)，依次得到如下四個(gè)等式組

將(II1)中式(20)、(21)和(II2)中式(26)代入式(28)得到

將(II1)中式(20)代入上式并整理得到

(36)

類似地，利用(II1)中式(21)和(II2)中式(25)、(27)代入式(29)并整理得到

(37)

利用(II1)中式(22)、(23)和(II2)中式(26)代入式(30)并整理得到

(38)

利用(II1)中式(22)、(23)和(II2)中式(27)代入式(31)并整理得到

λB22=B22C22B22.

(39)

因此等式組(II3)等價(jià)于

(40)

同理，利用(II1)和(II2)中的關(guān)系式，可以將等式組(II4)得到變?yōu)槿缦碌葍r(jià)的等式

(41)

由于等式組(I)等價(jià)于四個(gè)等式組(II1)-(II4)因此等式組(I)等價(jià)與如下等式組(II)

下面對(duì)等式組(II)分λ=1,或λ=4,或λ≠1且λ≠4的情況討論如下：

1)λ≠1且λ≠4，由(44)中第1式和(45)中第1式得到

(46)

由此得到

B11C11=0,C11B11=0,B11C12=0,C11B12=0.

(47)

將式(47)分別代入式(44)和式(45)中的第2和第3式，得到

B12=0,B21=0,C12=0,C21=0.

(48)

由此及式(46)得到

B11=0，C11=0.

(49)

將式(48)和式(49)分別代入式(42)和式(43)中的第1式，得到如下兩個(gè)矛盾方程

2)當(dāng)λ=1時(shí),由(44)和(45)中第1式得到

(50)

注意到式(42)和式(43)中B21C22=0,C21B12=0,由此及式(50)得到

B11C11=0,C11B11=0,B11C12=0,C11B12=0,C21B11=0,B21C11=0.

(51)

注意到式(42)和式(43)中有B12C22=-2B11C12,C12B22=-2C11B12,由此及式(50)、式(51)得到

B11=0,C11=0.

(52)

因此方程(II)等價(jià)于

也即G3=λG成立時(shí)有本定理中λ=1時(shí)的結(jié)論成立.

3)當(dāng)λ=4,類似2)的討論，可得到式(5)的結(jié)果.

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(編校：曾福庚)

Scalar-idempotent Properties of 2×2 Square Matrix of All Diagonal Elements in the Set of Idempotent Matrices

YU Ming-ming, WU Yan

(Department of Mathematics， Hainan Tropical Ocean University, Sanya Hainan 572022, China)

Let G be the 2×2 square matrix whose diagonal elements are idempotent matrices. By the matrix theory and methods, the k scalar-idempotent properties of the matrix G were studied, and the necessary and sufficient conditions for the existence of solution of equationsGk=λGwere obtained ,where k=2,3.

scalar-idempotent matrix; block matrix; scalar-idempotent property

2016-04-12

三亞市院地科技合作項(xiàng)目(2015YD24)

吳炎(1964-)，男，海南樂東人，海南熱帶海洋學(xué)院教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)矩陣論及其應(yīng)用.

O151.21

A

1008-6722(2016) 05-0050-05

10.13307/j.issn.1008-6722.2016.05.10