Bloch型空間上廣義加權復合算子的本性范數(shù)*

徐輝明， 張四法

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

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Bloch型空間上廣義加權復合算子的本性范數(shù)*

徐輝明， 張四法

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

研究了單位圓盤上Bloch型空間之間廣義加權復合算子,選擇適當?shù)臏y試函數(shù),通過積分算子Iμ和Jμ,給出了單位圓盤上Bloch型空間之間廣義加權復合算子μCφDm本性范數(shù)的一個估計,并得到了μCφDm是緊算子的充要條件.

Bloch型空間;廣義加權復合算子;緊性;本性范數(shù)

0 引 言

設D?C是單位圓盤,用H(D),H(D,D)分別表示D上的全純函數(shù)與全純自映射全體.對?α>0,D上α-Bloch空間(也稱為Bloch型空間)用Bα表示,定義為

在‖5‖B α范數(shù)下,Bα成為Banach空間.當α=1時,B1=B是經(jīng)典的Bloch空間.有關Bloch型空間上復合算子的性質(zhì)可以參考文獻[1-2].

設φ∈H(D,D),μ∈H(D),定義H(D)上的積分算子為

定義H(D)上的加權復合算子為

當μ=1時,Cφ即為復合算子.對m∈N,定義微分算子Dm為

當m=0時,D0f(z)=f(z).

定義H(D)上的廣義加權復合算子為

當μ=1時,CφDm即為廣義復合算子.有關Bloch型空間上廣義復合算子的性質(zhì)可以參考文獻[3-4].

設T是一個有界的線性算子,算子T的本性范數(shù)記為‖T‖e,是指T到緊算子的距離,即

(1)

易知‖T‖e=0當且僅當T是緊算子.許多學者[4-8]研究了Bloch型空間上復合算子、加權復合算子和廣義復合算子的本性范數(shù).

文獻[4]討論了Bloch型空間上廣義復合算子CφDm的有界性與本性范數(shù),得到了以下2個結果:

定理1 設0<α,β<∞,m為非負整數(shù),φ∈H(D,D),則CφDm:Bα→Bβ是有界的當且僅當

定理2 設0<α,β<∞,m為非負整數(shù),φ∈H(D,D),CφDm:Bα→Bβ是有界的,則CφDm:Bα→Bβ的本性范數(shù)可表示為

同時文獻[4]還給出了CφDm:Bα→Bβ是緊的充要條件.

記號A≈B,AB,AB分別表示存在不同的正常數(shù)C,使得≤A≤CB,A≤CB,CB≤A.此外,文獻[9]討論了Bloch型空間上廣義加權復合算子μCφDm的有界性與緊性,給出了相應的等價條件.

本文利用積分算子Iμ和Jμ,給出了廣義加權復合算子μCφDm本性范數(shù)的一個估計.

1 主要結果和證明

要估計μCφDm:Bα→Bβ的本性范數(shù),首先考慮其有界性,需要以下引理:

引理1 設α>0,m∈N+,n≥m,定義函數(shù)

則Hn,α(x)具有以下性質(zhì)：

(2)

2)當n≥m+1時,Hn,α(x)在[0,rn]上單調(diào)遞增,在[rn,1]上單調(diào)遞減.

(3)

證明 由簡單計算可得,故略.

2)定義集合Tn={z∈D:sn≤|φ(z)|≤sn+1},其中,

引理2[10]設α>0,f∈H(D),m∈N+,則

(4)

且 ‖f‖*≈‖f‖B α.

對于廣義加權復合算子,有以下定理：

定理3 設0<α,β<∞,m∈N+,φ∈H(D,D),μ∈H(D),μCφDm:Bα→Bβ是有界的,則

(5)

證明 假設μCφDm:Bα→Bβ是有界的,首先證明

(6)

易知fw∈Bα,且‖fw‖B α≤C.經(jīng)簡單計算可得

即J1<∞.

另一方面,由μCφDm的有界性及zm,zm+1∈Bα,易得μ∈Bβ,μφ∈Bβ,因而

(7)

所以

故式(6)成立.

(8)

(9)

因為

(10)

注2 可以證明,式(5)也是μCφDm:Bα→Bβ有界的充分條件.

引理3[5]設0<α<1,則

引理4[6-7]設α≥1,則

引理5[2]設0<α,β<∞,m∈N+,φ∈H(D,D),μ∈H(D),則μCφDm:Bα→Bβ是緊的當且僅當:

1)μCφDm:Bα→Bβ是有界的;

2)對于Bα中任意有界序列{fk},若{fk}在D上內(nèi)閉一致收斂于0,則‖μCφDmfk‖B β→0(k→∞).

定理4 設0<α,β<∞,m∈N,φ∈H(D,D),μ∈H(D),μCφDm:Bα→Bβ是有界的,則μCφDm的本性范數(shù)可表示為

(11)

(12)

(13)

經(jīng)過簡單計算可得

(14)

f(m)k(φ(ak))=0,f(m+1)k(φ(ak))=(φ(ak))m+1(1-|φ(ak)|2)α+m.

(15)

(16)

(17)

(18)

由式(16)～式(18)得,‖μCφDm‖e‖Iμ(φn-m)‖B β.用

代替fk(z),類似可證

從而‖μCφDm‖e‖‖Jμ(φn-m)‖B β.

(19)

設{Ln}為引理3和引理4中的算子序列.因為Ln是Bα上的緊算子,所以μCφDmLn:Bα→Bβ也是緊算子.因此,

(20)

令

(21)

由引理1知,存在C>0和N1>max{l+1,m+1},當i≥N1及z∈Ti時,有

(22)

(23)

(24)

由引理3、引理4及式(24)可以得到

(25)

(26)

因此,由式(23)、式(25)及式(26)知

(27)

令

(28)

再由引理1知,存在C>0和N2>max{j+1,m+1},當i≥N2及z∈Di時,有

(29)

(30)

(31)

由引理3、引理4及式(31)可得

(32)

(33)

又由式(28)、式(32)及式(33)得

(34)

利用Cauchy積分公式類似可以得到

(35)

最后,由式(20)、式(27)、式(34)和式(35)得

定理4證畢.

推論1 設0<α,β<∞,m∈N+,φ∈H(D,D),μ∈H(D),μCφDm:Bα→Bβ是有界的,則μCφDm是緊算子的充要條件為

2 結 語

本性范數(shù)是線性算子的一個重要性質(zhì),它度量了一個有界線性算子與緊算子類的距離,從而可解答有界算子何時為緊算子的問題.本文在單位圓盤上Bloch型空間之間廣義加權復合算子有界的條件下,利用積分算子Iμ和Jμ,通過估計其本性范數(shù)的上界和下界,得到本性范數(shù)的一種刻畫,從而也得到了緊性的一個充要條件.

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[8]Manhas J S,Zhao R.New estimates of essential norms of weighted composition operators between Bloch type spaces[J].J Math Anal Appl,2012,389(1):32-47 .

[9]Zhu Xiangling.Generalized weighted composition operators on Bloch-type spaces[J].J Ineq Appl,2015,2015(1):1-9.

[10]Zhu K.Bloch type spaces of analytic functions[J].Rocky Mountain J Math,1993,23(3):1143-1177.

(責任編輯 陶立方)

The essential norm of the generalized weighted composition operators between Bloch-type spaces

XU Huiming, ZHANG Sifa

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

It was investigated the generalized weighted composition operatorsμCφDmbetween Bloch-type spaces in the unit disk by selecting an appropriate test function, an estimate of the essential norm for the generalized weighted composition operatorsμCφDmacting on Bloch-type spaces was presented in terms of the integral operatorsIμandJμ, from which the sufficient and necessary condition of compactness of the operatorμCφDmfollowed immediately.

Bloch-type spaces; generalized weighted composition operators; compactness; essential norm

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.04.002

2015-09-13；

2016-04-03

國家自然科學基金資助項目(11271332；11271124)；浙江省自然科學基金資助項目(LY14A010013；LY16A010004)

徐輝明(1963-),男,江西豐城人,教授.研究方向:多復變數(shù)函數(shù)空間及算子理論.

O174.56;O177.2

A

1001-5051(2016)04-0367-08