關(guān)注核心概念進行數(shù)學(xué)教學(xué)

高勝霞

當(dāng)前，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于教師對數(shù)學(xué)理解不夠，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認知規(guī)律了解不夠，再加上“應(yīng)試教育”的影響，教學(xué)中往往不能圍繞數(shù)學(xué)核心概念進行教學(xué)，數(shù)學(xué)課堂缺乏數(shù)學(xué)思想的主線；教師經(jīng)常是在學(xué)生沒有對數(shù)學(xué)概念有基本了解的情況下進行大量解題訓(xùn)練.結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生沒有經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展過程、缺乏自己獨立思考而概括出概念和原理的機會，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解不到位，達不到對數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)性理解.因此，提高對中學(xué)數(shù)學(xué)的理解水平，提高把握中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律的能力，是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教師發(fā)展中的兩個關(guān)鍵性問題.本文就以人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第十九章第一節(jié)第一課時《平行四邊形》為例加以闡述.

一、剖析數(shù)學(xué)核心概念和思想方法

關(guān)于平行四邊形的性質(zhì).平行四邊形的性質(zhì)是本章的第一課時，

其內(nèi)容包括平行四邊形的定義和平行四邊形的性質(zhì).由于小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)平行四邊形的知識，學(xué)生曾經(jīng)通過動手測量和觀察，知道平行四邊形的定義和性質(zhì)，因此，本節(jié)課如何處理平行四邊形概念和性質(zhì)應(yīng)該成為教師充分關(guān)注的教學(xué)問題.盡管在小學(xué)階段學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念和有關(guān)性質(zhì)，但更多是從平行四邊形的整體上獲得的感性的認識.這節(jié)課要從平行四邊形與一般四邊形的關(guān)系入手，通過對平行四邊形的特殊屬性：兩組對邊分別平行的分析，揭示它與一般四邊形之間的屬種關(guān)系，進而向?qū)W生滲透給概念下定義的一種重要方式：屬加種差.這種定義概念的方式將在本章中反復(fù)出現(xiàn)，因此，在第一課時中明晰這種定義方式有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維方法.

這樣本節(jié)課的核心數(shù)學(xué)概念就是平行四邊形的定義和性質(zhì)，涉及三個重要的問題，一是如何給一個新概念下定義，即屬加種差，在小學(xué)感性認識的基礎(chǔ)上給學(xué)生一個科學(xué)的思維方式，平行二字是從邊的位置出發(fā)的，所以用邊平行定義；二是要強調(diào)推理論證，滲透推理必要性；三是平行四邊形向三角形轉(zhuǎn)化的思想，輔助線如何添加是課堂教學(xué)實踐的問題.那么明確了本節(jié)課核心概念，我們采用怎樣的教學(xué)策略呢？是把重點放在學(xué)生的動手操作還是放在對性質(zhì)的證明上.奧蘇貝爾有句名言“如果要我只用一句話說明教育心理學(xué)的要義，我認為影響學(xué)生學(xué)習(xí)的首要因素，是他的先備知識；研究并了解學(xué)生學(xué)習(xí)新知識之前具有的先備知識，進而配合設(shè)計教學(xué)，以產(chǎn)生有效的學(xué)習(xí)，就是教育心理學(xué)的任務(wù).”警示我們：既然在小學(xué)階段，通過動手活動，學(xué)生已經(jīng)對平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)有所了解，因此，這節(jié)課不應(yīng)該把動手探究過程作為一個重要內(nèi)容處理，而是在回顧所學(xué)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，把教學(xué)重點放在對性質(zhì)的證明上.這樣處理的理由是，通過證明過程，一方面可以著重對學(xué)生進行演繹推理能力的訓(xùn)練，另一方面，可以滲透證明中蘊含重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化.

二、教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索平行四邊形的概念和性質(zhì)的過程，使學(xué)生理解平行四邊形的概念和性質(zhì).

2.探索平行四邊形的對邊相等、對角相等的性質(zhì)并能掌握應(yīng)用它解決問題

教學(xué)重點：平行四邊形定義和性質(zhì)

教學(xué)過程：

（一）溫故知新導(dǎo)入新課

1.回憶小學(xué)對平行四邊形的學(xué)習(xí)，復(fù)述平行四邊形的概念.

2.生列舉生活中的平行四邊形.

3.師多媒體演示如下圖并提示：正方形、長方形屬于平行四邊形，平行四邊形、梯形屬于四邊形.從而導(dǎo)入新課板書課題“平行四邊形”.

（二）新課學(xué)習(xí)

1.探究性質(zhì)

問題1 回憶我們的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，研究幾何圖形的一般思路是什么？

引導(dǎo)學(xué)生回顧全等三角形的學(xué)習(xí)過程，得出研究的一般過程：先給出定義，再研究性質(zhì)和判定.強調(diào)：性質(zhì)的研究，其實就是對邊、角等基本要素的研究.

（設(shè)計意圖：對圖形性質(zhì)的研究，重在解決研究什么和怎么研究的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過類比全等三角確定平行四邊形性質(zhì)的研究目標(biāo)和研究思路）

問題2 平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除具有四邊形的性質(zhì)和兩組對邊分別平行外，還有什么特殊的性質(zhì)呢？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、度量、提出猜想.

猜想1 四邊形ABCD是平行四邊形AB=CD，AD=BC.

猜想2 四邊形ABCD是平行四邊形∠A=∠C，∠B=∠D.

追問1：你能證明這些結(jié)論嗎？

師生活動：一般地，學(xué)生會先考慮分別證明這兩個結(jié)論，利用平行線的性質(zhì)證明對角相等，教師引導(dǎo)添加輔助線，利用三角形全等證明對邊相等.證后會發(fā)現(xiàn)用全等可以同時證明這兩個結(jié)論.

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生領(lǐng)悟，證明線段相等或角相等通常采用證明三角形全等的方法.而圖形中沒有三角形，只有四邊形，我們需要添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決，突破難點.進而總結(jié)提煉出化四邊形問題化三角形問題的基本思路）

追問2：通過證明，發(fā)現(xiàn)上述兩個猜想正確.這樣得到平行四邊形的兩個重要性質(zhì).你能說出這兩個命題的題設(shè)與結(jié)論，并運用這兩個性質(zhì)進行推理嗎？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生辨析定理的題設(shè)和結(jié)論，明確應(yīng)用性質(zhì)進行推理的基本模式：

∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）

∴AB=CD，AD=BC（平行四邊形的對邊相等）

∠A=∠C，∠B=∠D（平行四邊形的對角相等）

（設(shè)計意圖：把性質(zhì)由文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言）

2.應(yīng)用知識，解決問題

問題3 如圖，在ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E、F.求證：AE=CF.

師生活動：師生交流，要證明線段相等，我們可以利用全等三角形性質(zhì)，而全等的條件可由平行四邊形的性質(zhì)得到.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生寫出證明過程，并組織學(xué)生進行點評.本題也可以先用定義證明四邊形DEBF是平行四邊形，得到BE=DF，再證AE=CF.

（設(shè)計意圖：應(yīng)用性質(zhì)進行推理，體會得到證明思路的方法）

追問：DE=BF嗎？如圖，直線a∥b，A、D為直線a上任意兩點，點A到直線b的距離和點D到直線b的距離相等嗎？為什么？

師生活動：結(jié)合前面分析，可以得出如果兩條直線平行，那么一條直線上所有點到另一條直線的距離都相等.此時教師適時介紹兩條平行線間的距離的概念.

（設(shè)計意圖：結(jié)合例題的進一步追問，自然引出平行線間距離的概念）

問題4 如圖，在ABCD中，AE=CF.

求證：AF=CE.

師生活動：師生交流，要證AF=CE，需證△ADF≌△CBE，由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根據(jù)等式性質(zhì)，可得BE=DF.由“邊角邊”可得出所需要的結(jié)論.引導(dǎo)學(xué)生寫出證明過程.

（設(shè)計意圖：應(yīng)用平行四邊形邊、角的性質(zhì)進行推理，引導(dǎo)學(xué)生體驗分析解題的思路方法，訓(xùn)練學(xué)生演繹推理能力）

3.開放探究 發(fā)散思維

問題5 在ABCD中， AC是平行四邊形ABCD的對角線.

（1）請你說出圖中的相等的角、相等的線段；

（2）對角線AC需添加一個什么條件，能使平行四邊形ABCD的四條邊相等？

師生活動：學(xué)生認真讀題、思考、分析、討論，得出有關(guān)結(jié)論.

因為平行四邊形的對邊相等，對角相等.所以AB=CD，AD=BC，∠DAB=∠BCD，∠B=∠D.又因為平行四邊形的兩組對邊分別平行，∠DAC=∠BCA，∠DCA=∠BAC.

教師根據(jù)學(xué)生回答，板書有關(guān)正確的結(jié)論.

解決第（2）個問題時，學(xué)生思考、交流、討論得出：只要添加AC平分∠DAB即可.并說明理由：因為平行四邊形的兩組對邊分別平行，所以∠DCA=∠BAC.而∠DAC=∠BAC，所以∠DCA=∠DAC，所以AD=DC.又因為平行四邊形的對邊相等，所以AB=DC=AD=BC.

（設(shè)計意圖：第（1）問，培養(yǎng)學(xué)生運用平行四邊形邊、角性質(zhì)的能力，提升思維的深刻性和廣闊性，第（2）問，開放性問題的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力.）

4.反思與小結(jié)

（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？

（2）你覺得對一個幾何圖形的研究的一般思路是什么？

（3）對于平行四邊形，你覺得還需要進一步研究什么？

5.布置作業(yè).