追及問題中錯(cuò)解分析

孫恒啟

在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，追及問題是比較容易出錯(cuò)的，尤其在我們初學(xué)的時(shí)候，總是不經(jīng)意間就陷入題目所設(shè)置的“陷阱”中。結(jié)合平時(shí)的學(xué)習(xí)，我們一起來(lái)探討一下關(guān)于追及過程中勻減速直線運(yùn)動(dòng)的問題。

一、追及和相遇

1.定義：指同一時(shí)刻到達(dá)同一位置。

2.兩個(gè)關(guān)系：一是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位移關(guān)系。若同地出發(fā)，則相遇時(shí)位移相等。二是相遇物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也存在一定的關(guān)系：若物體甲、乙同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等；若甲比乙早出發(fā)Δt，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為t=t+Δt。

要使兩物體相遇，就必須同時(shí)滿足位移關(guān)系和運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系。

3.一個(gè)條件：兩者速度相等，這往往是物體間能否追上、追不上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)。

例1 甲、乙兩輛汽車在一條平直的公路上同向行駛，甲在前，乙在后，甲的速度為v=8 m/s，乙的速度為v=16 m/s，當(dāng)兩車相距為L(zhǎng)=8 m時(shí)，甲車突然以a=2 m/s的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)乙車立即剎車，為了避免兩車相撞，乙車的加速度至少應(yīng)為多少？

分析 解答本題時(shí)要注意相遇的條件：當(dāng)乙車追上甲車時(shí)，若兩車的速度恰好相等，則乙車剎車時(shí)加速度為最小值。再根據(jù)位移關(guān)系求出時(shí)間，根據(jù)速度相等條件求出加速度。

解 設(shè)乙車剎車時(shí)加速度的最小值為a，當(dāng)乙車追上甲車且兩車的速度恰好相等時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為t，此時(shí)兩車的速度為v，

根據(jù)位移關(guān)系，有s-s=L ①，

對(duì)甲，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，

有s=vt-at ②，

對(duì)乙，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，

有s=vt-at？搖 ③，

又因?yàn)関=v-at ④，

v=v-at ⑤，

由①、②、③、④、⑤并代入數(shù)據(jù)，解得：a=6 m/s 。

乙車的加速度至少為6 m/s。

點(diǎn)評(píng) 本題是追及問題，關(guān)鍵是尋找臨界條件。

拓展1 對(duì)于例1，若L=16 m，其他條件不變，則乙車的加速度至少應(yīng)為多少？

解答過程如例1，只需將L=8 m換成L=16 m，即可求得a=4 m/s，即乙車的加速度至少為4 m/s。

拓展2 對(duì)于例1，若L=32 m，其他條件不變，則乙車的加速度至少應(yīng)為多少？

解答過程如例1，只需將L=8 m換成L=32 m，即可求得a=3 m/s，即乙車的加速度至少為3 m/s。

仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，拓展2的答案不妥。結(jié)合拓展1分析可知，對(duì)甲而言，4 s時(shí)已經(jīng)停了，對(duì)乙來(lái)說(shuō)，則需要 s方能停止。究其原因，是出現(xiàn)了反向加速運(yùn)動(dòng)的情況，與實(shí)際情況不符，不符合題意。

對(duì)于拓展2的正確解答：

設(shè)乙車剎車時(shí)加速度的最小值為a。當(dāng)乙車追上甲車速度恰好相等時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為t，此時(shí)兩車的速度為v。

根據(jù)位移關(guān)系，

有s-s=L ①，

對(duì)甲，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，

有v=2as ？搖②，

對(duì)乙，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，

有v=2as ③，

聯(lián)立解得：a= m/s

根據(jù)圖像亦可得到同樣的結(jié)論。

分析 如圖，例1圖所示陰影部分的面積表示L=8 m，速度相等時(shí)剛好相遇，如果乙的加速度小些，則相遇時(shí)乙的速度仍大于甲的速度，不符合題意，即乙車的加速度至少為6 m/s。

拓展1圖所示陰影部分的面積表示L=16 m，速度相等且為零時(shí)剛好相遇，如果乙的加速度小些，則乙追上甲時(shí)乙的速度仍大于0，而此時(shí)甲剛好停止，不符合題意，即乙車的加速度至少為4 m/s。

拓展2圖所示陰影部分的面積表示L=32 m，甲的速度為0時(shí)乙不可能追上甲，因此必須當(dāng)乙剛好追上甲時(shí)速度也是0才符合題意，即乙車的加速度至少為 m/s。

如何利用追及中的“兩關(guān)系、一條件”是避免錯(cuò)誤的核心內(nèi)容，被追及的物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)一定要注意“停而復(fù)返”和“停而止”的問題，相信結(jié)合圖像分析能使我們更充分地理解。通過下面的例題，再來(lái)感受一下這一思想的巧妙之處。

例2 如圖，A、B兩物體相距為s=7 m，物體A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以v=4 m/s的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)。而物體B此時(shí)的速度v=10 m/s，方向向右，由于摩擦力的作用向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度為a=-2 m/s，那么物體A追上物體B所用的時(shí)間為（ ）。

A.7 s？搖 B.8 s？搖 C.9 s？搖 D.10 s

拓展 對(duì)于例2，若改“由于摩擦力的作用”為“在外力和摩擦力的作用下”，其他條件不變，則應(yīng)選哪一項(xiàng)？

我們可以看到原題是“停而止”，而拓展則是“停而復(fù)返”，故答案分別為B和A。

通過這樣的學(xué)習(xí)我們以后的學(xué)習(xí)中一定要注意多角度、多方法、多情景、多拓展地分析和解決運(yùn)動(dòng)學(xué)類的題目。