El-Nabulsi模型下基于非標準Lagrange函數的動力學系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量

周小三，張毅

（1.蘇州科技大學數理學院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技大學土木工程學院，江蘇蘇州215011）

El-Nabulsi模型下基于非標準Lagrange函數的動力學系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量

周小三1，張毅2*

（1.蘇州科技大學數理學院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技大學土木工程學院，江蘇蘇州215011）

研究El-Nabulsi模型下基于非標準Lagrange函數的動力學系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量。提出了基于非標準Lagrange函數的變分問題，得到了系統(tǒng)的Euler-Lagrange方程；由廣義加速度的不變性，給出了基于非標準Lagrange函數的滿足Lie對稱性的確定方程，建立了結構方程與守恒量；并舉例說明。

非標準Lagrange函數；Lie對稱性；守恒量；El-Nabulsi模型

1979年，Lutzky[1]將Lie理論應用于動力學系統(tǒng)的運動微分方程，開始研究力學系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量。趙躍宇[2]將Lie對稱性理論拓展到非保守力學系統(tǒng)。梅鳳翔教授在其著作[3]中詳細地研究了約束力學系統(tǒng)的Lie對稱性和守恒量。張毅[4]研究了非完整約束系統(tǒng)的Lie對稱性并給出了由Lie對稱性直接導致的守恒量。關于Lie對稱性與守恒量的研究已經取得了一系列重要成果[5-7]，但研究尚限于基于標準Lagrange函數的動力學系統(tǒng)。1978年，Arnold在其著作[8]中將基于標準Lagrange函數的系統(tǒng)稱為自然動力系統(tǒng)，為研究基于非標準Lagrange函數的動力學系統(tǒng)做了鋪墊。相較于標準Lagrange函數，非標準Lagrange函數形式更一般，有指數形式、對數形式等，可能依賴于時間，也可能不依賴于時間。最近發(fā)現，這種不規(guī)則的函數在量子場論、宇宙學、非線性微分方程等[9-16]領域發(fā)揮重要作用。關于非標準Lagrange函數的動力學研究還是開放的課題。

筆者將研究El-Nabulsi模型下基于非標準Lagrange函數的動力學系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量。建立了兩類非標準Lagrange函數系統(tǒng)的Euler-Lagrange方程，研究系統(tǒng)在無限小變換下的不變性，建立了Lie對稱變換的確定方程，給出了結構方程與守恒量。

1 基于指數Lagrange函數的動力學系統(tǒng)的Lie對稱性

1.1 Euler-Lagrange方程

假設系統(tǒng)的位形由n個坐標qs（s=1，2，…，n）確定，El-Nabulsi模型下基于指數Lagrange函數的變分問題定義為求積分泛函

在給定邊界條件

上述問題為El-Nabulsi模型下基于指數Lagrange函數的變分問題，泛函（1）為El-Nabulsi模型下基于指數Lagrange函數的Hamilton作用量。

根據變分學理論，有

由式（3），容易得到

方程（4）稱為El-Nabulsi模型下基于指數Lagrange函數的動力學系統(tǒng)的Euler-Lagrange方程。

假設方程（4）非奇異，即

則將式（4）展開可求得廣義加速度，記作

1.2 Lie對稱性

引進時間和廣義坐標的無限小單參數變換群

展開后，有

其中ε是無限小參數，ζ和ξs是無限小生成元或稱為生成函數。引入無限小生成元向量

式（9）的一次擴展及二次擴展分別為

在無限小變換（7）下，方程（6）的不變性歸結為滿足如下確定方程

定義1如果生成元ζ和ξs滿足確定方程（12），則變換（7）稱為El-Nabulsi模型下基于指數Lagrange函數的動力學系統(tǒng)（4）的Lie對稱變換。

1.3 結構方程與守恒量

定理1對于El-Nabulsi模型下基于指數Lagrange函數的動力學系統(tǒng)（4），如果無限小生成元ζ，ξs相應于系統(tǒng)的Lie對稱性，且存在規(guī)范函數G＝G（τ，q，q˙）滿足結構方程

則系統(tǒng)的Lie對稱性導致守恒量，形如

證明

1.4 算例

例1設El-Nabulsi模型下基于指數Lagrange函數的Hamilton作用量為

試求系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量。

由式（4）得系統(tǒng)的運動微分方程為

根據確定方程（12），有

由結構方程（13）得

將式（18）代入（19）式，有

式（22）為El-Nabulsi模型下基于指數Lagrange函數的動力系統(tǒng)（16）的Noether型守恒量。

2 基于Lagrange函數冪函數的動力學系統(tǒng)的Lie對稱性

2.1 Euler-Lagrange方程

基于Lagrange函數冪函數的動力學系統(tǒng)在El-Nabulsi模型下的變分問題定義為求積分泛函[12]

在給定邊界條件

上述問題稱為El-Nabulsi模型下基于Lagrange函數冪函數的變分問題，泛函（23）為El-Nabulsi模型下基于Lagrange函數冪函數的動力學系統(tǒng)的Hamilton作用量。

根據變分學理論，有

由式（25），容易得到

方程（26）稱為El-Nabulsi模型下基于Lagrange函數冪函數的動力學系統(tǒng)的Euler-Lagrange方程[12]。

假設方程（26）非奇異，即

則將式（26）展開可求得廣義加速度，記作

2.2 Lie對稱性

在無限小變換（7）下，方程（28）的不變性歸結為滿足如下確定方程

定義2如果生成元ζ和ξs滿足確定方程（29），則稱變換（7）為基于Lagrange函數冪函數的動力系統(tǒng)（26）的Lie對稱變換。

2.3 結構方程與守恒量

定理2對于El-Nabulsi模型下基于Lagrange函數冪函數的動力學系統(tǒng)（26），如果無限小生成元ζ，ξs相應系統(tǒng)的Lie對稱性，且存在規(guī)范函數滿足結構方程

則系統(tǒng)的Lie對稱性導致守恒量，形如

2.4 算例

例2設El-Nabulsi模型下基于Lagrange函數冪函數的Hamilton作用量為

試求系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量。

由式（26）得系統(tǒng)的運動微分方程為

取γ＝1時，有

根據確定方程（29），有

由結構方程（30）得

將式（36）代入（37）式，有

式（40）為El-Nabulsi模型下基于Lagrange函數冪函數的動力學系統(tǒng)（34）的Noether型守恒量。

3 結語

非標準Lagrange函數相對于標準Lagrange函數形式多樣，其沒有動能與勢能的明顯區(qū)分，可以更好地描述非線性問題[11]，依據非標準Lagrange函數導出耗散系統(tǒng)的運動微分方程[12]更容易。筆者研究了El-Nabulsi模型下基于指數形式與冪函數形式的Lagrange函數的動力學系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量。文中方法和結果可進一步推廣應用于Hamilton系統(tǒng)、非完整約束系統(tǒng)等，也可進一步研究基于非標準Lagrange函數的動力學系統(tǒng)的Lie對稱性導致的Hojman守恒量以及Mei對稱性等。

[1]LUTZKY M.Dynamical symmetries and conserved quantities[J].Journal of Physics A：Mathematical and General，1979，12（7）：973-981.

[2]趙躍宇.非保守力學系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量[J].力學學報，1994，30（4）：380-384.

[3]梅鳳翔.李群和李代數對約束力學系統(tǒng)的應用[M].北京：科學出版社，1999.

[4]ZHANG Y，XUE Y.Conserved quantities from Lie symmetries for nonholonomic systems[J].Journal of Southeast University，2003，19（3）：289-292.

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[8]ARNOLD VI.Mathematical Methods of Classical Mechanics[M].New York：Springer，1978.

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[10]MUSIELAK Z E.General conditions for the existence of non-standard Lagrangians for dissipative dynamical systems[J].Chaos，Solitons&Fractals，2009，42（5）：2645-2652.

[11]EL-NABULSIA R.Non-linear dynamics with non-standard Lagrangians[J].Qualitative Theory of Dynamical Systems，2013，12（2）：273-291.

[12]EL-NABULSIA R.Non-standard fractional Lagrangians[J].Nonlinear Dynamics，2013，74（1/2）：381-394.

[13]EL-NABULSIA R.Fractional oscillators from non-standard Lagrangians and time-dependent fractional exponent[J].Computational and Applied Mathematics，2014，33（1）：163-179.

[14]EL-NABULSIA R.Non-standard Lagrangians in rotational dynamics and the modified Navier-Stokes equation[J].Nonlinear Dynamics，2014，79（3）：2055-2068.

[15]EL-NABULSIA R.Quantum field theory from an exponential action functional[J].Indian Journal of Physics，2013，87（4）：379-383.

[16]EL-NABULSIA R.Modified Proca equation and modified dispersion relation from a power-law Lagrangian functional[J].Indian Journal of Physics，2013，87（5）：465-470.Lie symmetries and conserved quantities for dynamical systems with non-standard Lagrangians based on El-Nabulsi models

ZHOU Xiaosan1，ZHANG Yi2
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

We studied the Lie symmetries and conserved quantities of dynamical systems with non-standard Lagrangians based on El-Nabulsi models.With the proposition of the variational problem with non-standard Lagrangians,we obtained the Euler-Lagrange equations of the system.By the invariance of generalized acceleration, we gave the determining equations of Lie symmetries with non-standard Lagrangians,and established the structure equations and conserved quantities.Finally,two examples were given to illustrate the application of the results.

non-standard Lagrangians；Lie symmetry；conserved quantity；El-Nabulsi model

O316MR（2000）Subject Classification：70H33；70F25

A

1672-0687（2016）04-0013-05

責任編輯：謝金春

2015-07-17

國家自然科學基金資助項目（11272227）

周小三（1990-），女，安徽宿州人，碩士研究生，研究方向：力學中的數學方法。

*通信聯系人：張毅（1964-），男，教授，博士，博士生導師，E-mail：zhy@mail.usts.edu.cn。