有現(xiàn)金流追加的具有隨機時域的均值-方差投資策略的研究

梁雪，付文豪，陸晨曦

（蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）

有現(xiàn)金流追加的具有隨機時域的均值-方差投資策略的研究

梁雪，付文豪，陸晨曦

（蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009）

考慮有隨機現(xiàn)金流追加情形下隨機時域的均值-方差投資選擇問題。首先，建立一個均值-方差模型，用一個隨機過程來表示隨機現(xiàn)金流；然后，將模型轉(zhuǎn)化為一個確定時域的均值-方差模型；最后，用動態(tài)規(guī)劃的方法得到了最優(yōu)策略，并進(jìn)行了數(shù)值計算。

M-V模型；動態(tài)規(guī)劃；隨機現(xiàn)金流

1952年，馬柯維茨證券組合理論的產(chǎn)生標(biāo)志著現(xiàn)代組合投資理論的開端[1-2]，由此，數(shù)理化方法真正進(jìn)入到投資領(lǐng)域，并迅速發(fā)展起來，均值-方差模型因此也成為現(xiàn)代主流金融學(xué)的理論基石。可是該模型與實際市場情況還是有一定的差距，計算結(jié)果與實際最優(yōu)策略還是有偏差。為了更貼近證券投資市場的實際情況，許多學(xué)者考慮了更加復(fù)雜的均值-方差模型，例如郭文旌[3]考慮投資者可能隨時終止投資和具有特殊消費的均值-方差模型，王艷萍[4]等提出了多因子結(jié)構(gòu)下的靜態(tài)均值-方差模型，劉利敏[5]等考慮了基準(zhǔn)過程的均值-方差最優(yōu)投資策略問題，李臘生[6]等考慮了不同類型的投資者對投資策略的影響，伍慧玲[7]等在機制轉(zhuǎn)換模型中用一個隨機過程來刻畫投資者在投資過程中可能發(fā)生的資金的抽出或追加的情況。受此啟發(fā)，筆者將在隨機時域模型中考慮有隨機現(xiàn)金流追加情況下的均值-方差投資選擇問題。

1 模型的建立

假設(shè)一投資者從0時刻開始進(jìn)市場投資，到T時刻結(jié)束，該投資者的初始財富值為x0，xt為t時刻的財富值，t=0，1，2，…，T-1。設(shè)該市場上一共有n+1種證券，其中第0種為無風(fēng)險證券，其余n種為風(fēng)險證券，其在t階段的收益分別為：，t=1，2，…，T，令，投資者在t階段投資到第i個證券的資金比例為，令，稱ut為t階段的一個投資組合，各個階段的投資組合的集合稱為投資策略，記為u。投資者隨時可能停止投資，因而可能只進(jìn)行了r（≤T）個階段的投資，假定r的分布概率為：p0=P（r＝0），pi=P（r＝i），（i=1，2，…，T），記r的分布函數(shù)為F（t），，t=0，1，2，…，T，pT=1-F（T-1）。除此之外，文中還在t時刻追加一筆隨機財富St且與et、ut獨立（t=0，1，2，…，T-1），設(shè)S0=0。

2 模型的求解

投資者的目的是在隨機時域[0，r]內(nèi)找一個投資策略，使得最終期望最大、風(fēng)險最小，為此建立模型

E（ω）：maxE（xr）-ωVar（xr），其中

引理1u*∈∏ω，那么u*∈∏A。

引理2如果u*∈∏A，那么u*∈∏ω，其中λ*=1+2ωE（xr）|u*。

由引理1，引理2，可以通過求解問題A（λ，ω）來求得E（ω）的最優(yōu)策略，A（λ，ω）則通過動態(tài)規(guī)劃來求解。首先，將這個不確定時域的問題轉(zhuǎn)化為確定時域的問題

于是A（λ，ω）就等價于以下確定時域的模型

于是

求uT-1的值使FT-1，T（xT-1）達(dá)到最大

由后往前重復(fù)上述過程，反復(fù)迭代計算得到

對（1）式兩邊取期望

對（2）式反復(fù)迭代

由引理2可知，如果λ*=1+2ωE（xr）|λ＝λ*，即時，u*∈π（λ，ω），u*∈π（ω）。對于給定的參數(shù)ω，原問題的最優(yōu)策略為。其中：。最終財富。

3 數(shù)值計算

假設(shè)，某投資者要進(jìn)行為期三年的投資，他的初始資金為20萬元，有四種可選擇的證券，一種證券是無

風(fēng)險的，它的利率為1.05，另外三種是風(fēng)險證券，它的平均收益率與風(fēng)險分別為

在上面設(shè)定的參數(shù)下進(jìn)行數(shù)值計算，考慮隨機現(xiàn)金流對各階段投資策略的影響，結(jié)果如圖1-圖4。前三個圖的橫坐標(biāo)均表示追加現(xiàn)金流的期望值，縱坐標(biāo)均表示個資產(chǎn)的最優(yōu)投資比例，第四個圖是有隨機時域的均值-方差問題的有效前沿。從這四個圖可以看出追加的現(xiàn)金流確實對最優(yōu)投資策略、有效前沿產(chǎn)生影響。

圖1 不同現(xiàn)金流，1時刻下的投資方案

圖2 不同現(xiàn)金流，2時刻下的投資方案

圖3 不同現(xiàn)金流，3時刻下的投資方案

圖4 有效前沿

[1]朱書尚，李端，周迅宇，等.論投資組合與金融優(yōu)化——對理論研究和實踐的分析與反思[J].管理科學(xué)學(xué)報，2004，7（6）：1-12.

[2]鄭振龍，陳志英.現(xiàn)代投資組合理論最新進(jìn)展評述[J].廈門大學(xué)學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2012（2）：17-24.

[3]郭文旌.M-V最優(yōu)投資組合選擇與最優(yōu)投資消費決策[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2003：43-55.

[4]王艷萍，陳志平，陳玉娜.多因子投資組合選擇模型研究[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2012，29（6）：807-814.

[5]劉利敏，肖慶憲.基于基準(zhǔn)過程的動態(tài)均值-方差最優(yōu)投資組合選擇[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2013，43（1）：1-8.

[6]李臘生，劉磊，李婷.基于投資者異質(zhì)性的投資組合選擇與證券市場價格[J].統(tǒng)計研究，2013，30（2）：40-48.

[7]WU Huiling，LIZhongfei.Multi-period mean-variance portfolio selection with regime switching and a stochastic cash flow[J].Insurance：Mathematics and Economics，2012，50：371-384.

[8]LIDuan，NG Wanlung Ng.Option dynamic portfolio selection:multiperiod Mean-Variance formulation[J].Mathematical Finance，2000，10（3）：387-406.Study on investing strategies of mean-variance selection with a stochastic cash flow and random time horizon

LIANG Xue，F(xiàn)U Wenhao，LU Chenxi
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

In this paper，we have studied the multi－period mean－variance portfolio selection with a stochastic cash flow and random time horizon.Firstly,we built a mean－variance model,and represented the stochastic cash flow by a stochastic process.Then，we transformed the model into one with determined time domain.Finally，we obtained the analytical optimal multi－period portfolio strategy with the method of dynamic programming and provided the numerical results.

M－V model；dynamic planning；stochastic cash flow

O224MR（2000）Subject Classification：91B28；91B70

A

1672－0687（2016）04－0009－04

責(zé)任編輯：謝金春

2014－07－16

國家自然青年科學(xué)基金資助項目（11401419）；江蘇省自然科學(xué)青年基金資助項目（BK20140279）；本科生“實踐創(chuàng)新訓(xùn)練計劃項目”（201410332060X）；“本科教學(xué)工程”教學(xué)改革與研究項目（2013JGZ-10）

梁雪（1978-），女，湖北麻城人，副教授，博士，研究方向：金融數(shù)學(xué)。