動態(tài)需求下的損耗品生產(chǎn)—零售庫存優(yōu)化

伏開放，陳志祥

動態(tài)需求下的損耗品生產(chǎn)—零售庫存優(yōu)化

伏開放，陳志祥

（中山大學(xué)管理學(xué)院，廣州510275）

研究一類需求與庫存相關(guān)的動態(tài)需求下?lián)p耗品生產(chǎn)—零售庫存優(yōu)化問題。針對分散決策低效率問題，建立數(shù)量折扣契約，使得制造商與零售商在各自獨立決策時獲得集中決策時的優(yōu)勢。引入某連鎖蛋糕店的銷售數(shù)據(jù)，進(jìn)行模型的應(yīng)用。結(jié)果表明：當(dāng)生產(chǎn)成本過高時，制造商發(fā)生虧損；當(dāng)零售價格過低時，零售商減少訂貨量導(dǎo)致制造商發(fā)生虧損；單位存儲費(fèi)越高，雙方利潤越低；當(dāng)訂貨費(fèi)或生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)增加時，制造商與零售商呈現(xiàn)相反的利潤變化趨勢；雙方均對反映動態(tài)需求率的規(guī)模參數(shù)與形狀參數(shù)變化敏感，但對形狀參數(shù)的變化更敏感；采用的數(shù)量折扣契約可以協(xié)調(diào)生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)，但由于話語權(quán)的不同，制造商依然獲得協(xié)調(diào)后的大部分利潤。

動態(tài)需求；損耗品；分散決策；集中決策；數(shù)量折扣

由于庫存的選擇效應(yīng)和廣告效應(yīng)，市場上存在這樣的產(chǎn)品，產(chǎn)品在貨架上擺放的數(shù)量越多，需求越旺盛，如農(nóng)貿(mào)市場中果蔬、生鮮、肉類、面包、奶制品等產(chǎn)品，此類產(chǎn)品的需求均表現(xiàn)出與庫存相關(guān)的特點，需求隨庫存的變化而動態(tài)變化。同時，此類產(chǎn)品由于腐蝕、擠壓、顧客揀選等原因?qū)е庐a(chǎn)品損壞、變質(zhì)。損耗產(chǎn)品失去價值退出市場，給商家造成損失，浪費(fèi)大量資源，每年中國損耗的蔬菜與水果的價值高達(dá)89億美元，約占全年產(chǎn)出的30％[1]。損耗帶來的損失已不容忽視。易損耗品的穩(wěn)定供給、供需平衡成為變質(zhì)產(chǎn)品流通環(huán)節(jié)中迫切需要解決的問題。因此，合理的控制需求與庫存相關(guān)的變質(zhì)產(chǎn)品的訂購量對于增加商家利潤和社會福利及節(jié)約社會資源具有重要意義。

一、文獻(xiàn)綜述

產(chǎn)品的需求受多種因素的影響，例如，價格、質(zhì)量、服務(wù)、時間等因素，本文所研究的動態(tài)需求主要指需求隨庫存水平變化而動態(tài)變化的需求，因此僅對關(guān)于需求與庫存相關(guān)的研究進(jìn)行綜述。Dye等（2005）[2]假設(shè)需求是依賴于庫存水平的線性函數(shù)，探討了部分延期供給對最優(yōu)策略的影響。Giri等（1998）[3]研究了依賴于時間與依賴于庫存水平的非線性存儲成本對庫存補(bǔ)給策略的影響。Krommyda等（2015）[4]研究了可替代需求與庫存相關(guān)的產(chǎn)品訂購策略。Yang（2014）[5]在假設(shè)存儲成本依賴于庫存水平的基礎(chǔ)上，探討了需求依賴于庫存水平的訂購策略。Dye和Hsieh（2011）[6]在庫存容量限制條件下，探討了需求同時依賴于價格與庫存水平的訂購策略。

關(guān)于損耗品的庫存模型，Chen（2013）[7]假設(shè)損耗率服從韋伯分布，運(yùn)用泰勒級數(shù)展開的方法得出訂購量的解析表達(dá)式，用模擬退火算法、粒子群優(yōu)化算法、量子行為的粒子群優(yōu)化算法對多目標(biāo)約束下的利潤函數(shù)進(jìn)行了求解。Ouyang等（2006）[8]和Chang等（2015）[9]在給定延期支付策略條件下建立了時滯損耗產(chǎn)品的庫存模型，并得到最優(yōu)的訂購策略。Arcelus等（2003）[10]研究了臨時折扣策略對損耗品庫存的影響。Maihami和Karimi（2014）[11]在隨機(jī)需求及促銷努力條件下建立了損耗品的庫存模型并得到了最優(yōu)的定價及補(bǔ)貨策略。Hwang（1997）[12]構(gòu)建了損耗率服從Weibull分布的EOQ模型。Cheng等（2011）[13]構(gòu)建了梯形需求下?lián)p耗品的庫存模型并得到最優(yōu)補(bǔ)貨策略。Das等（2014）[14]研究了損耗率服從韋伯分布，延遲支付條件下，需求依賴于廣告和零售價格的集成庫存決策模型，該庫存模型假設(shè)供應(yīng)商對零售商的供應(yīng)有限的，并探討延遲支付對供應(yīng)商與零售商的相互影響。徐賢浩等（2007）[15]將需求視為是依賴于時間的時變需求，忽略物理變質(zhì)，考慮無形變質(zhì)，假設(shè)無形變質(zhì)率與需求率成反比，比較分析了3種庫存生產(chǎn)控制模型。

也有諸多學(xué)者在研究庫存模型時同時考慮需求依賴于庫存水平及產(chǎn)品的損耗過程。Chang等（2010）[16]研究證實，當(dāng)需求依賴于庫存水平時，易損耗產(chǎn)品庫存系統(tǒng)會維持一個較低的水平，從而大大降低存儲成本。Teng等（2005）[17]構(gòu)建了損耗率為常數(shù)，需求依賴于庫存水平的庫存系統(tǒng)不允許缺貨的EOQ模型。Wu等（2006）[18]在需求依賴于庫存水平及延期供給條件下，得到了時滯變質(zhì)產(chǎn)品的補(bǔ)貨策略。Hou（2006）[19]在假設(shè)需求依賴于庫存水平，損耗率服從常數(shù)的基礎(chǔ)上，分析了資金的時間成本對訂購策略的影響。國內(nèi)學(xué)者對需求依賴于庫存水平的損耗品的庫存模型也做了深入研究。段永瑞等（2013）[20]基于不同顧客群體面對缺貨時的等待意愿，指出當(dāng)需求依賴于庫存水平時，利潤最大化問題不能簡化為成本最小化問題，證明了最優(yōu)解的存在性和唯一性，并運(yùn)用牛頓迭代法進(jìn)行了求解。黃衛(wèi)來等（2007）[21]在考慮資金時間價值的基礎(chǔ)上，假設(shè)需求為庫存水平的線性函數(shù)，建立了最優(yōu)訂貨批量模型。

生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)中各成員出于自身利益的考慮，做出使自身利益最大化的決策，而該決策往往與整體利益沖突，給生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)的優(yōu)化帶來困難，因此設(shè)計合適的契約機(jī)制來優(yōu)化生產(chǎn)—庫存成為研究的熱點，其中就包括數(shù)量折扣契約機(jī)制。在供應(yīng)鏈環(huán)境下，Saha等（2015）[22]在研究需求依賴于庫存水平和價格的二級供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)問題時，建立了零售價折扣契約、聯(lián)合零售價折扣契約、批發(fā)價折扣契約和成本分擔(dān)契約，通過比較各類契約下制造商與零售商的收益情況，發(fā)現(xiàn)雖然各類契約可以協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈，但不同庫存彈性指數(shù)范圍內(nèi)，制造商與零售商對契約的偏愛并不總是一致。Partha等（2014）[23]將數(shù)量折扣契約與收益分享契約集成為組合契約，在該契約下研究了需求依賴于價格和庫存水平的短生命周期產(chǎn)品的兩層供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題。Mirzaee等（2012）[24]研究了一個由制造商和兩個競爭零售商組成的兩層生產(chǎn)—庫存優(yōu)化問題，零售商面臨的需求依賴于廣告投入量及競爭對手對廣告的投入，通過采用由數(shù)量折扣契約和廣告成本分擔(dān)契約組成的聯(lián)合契約實現(xiàn)生產(chǎn)—零售庫存的優(yōu)化。國內(nèi)學(xué)者陳軍等（2009）[25]針對生鮮產(chǎn)品的損耗，研究了生鮮品訂購與協(xié)調(diào)問題。Zhou等（2008）[26]利用利潤分享契約和數(shù)量折扣契約研究了需求依賴于庫存水平的兩層生產(chǎn)—庫存優(yōu)化問題，但沒有考略產(chǎn)品的損耗過程。

上述文獻(xiàn)關(guān)于需求與庫存相關(guān)的研究往往針對供應(yīng)鏈單一節(jié)點，大多不與供應(yīng)鏈環(huán)節(jié)中的其他節(jié)點結(jié)合；關(guān)于損耗品的最優(yōu)庫存補(bǔ)貨策略，多數(shù)從損耗率本身的性質(zhì)出發(fā)考慮單一利益主體，同時研究需求與庫存水平相關(guān)的損耗品的協(xié)調(diào)問題的較少。在多數(shù)應(yīng)用數(shù)量折扣契約的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的文獻(xiàn)中假設(shè)需求是隨機(jī)變量，而假設(shè)需求是依賴于庫存水平的較少，假設(shè)產(chǎn)品在銷售過程中發(fā)生損耗的就更少。文章探討需求與庫存相關(guān)的動態(tài)需求下的損耗品在常數(shù)損耗率下的生產(chǎn)—零售庫存優(yōu)化問題，應(yīng)用數(shù)量折扣契約，使得制造商與零售商在各自獨立決策時獲得集中決策時的優(yōu)勢，從而實現(xiàn)需求與庫存相關(guān)的變損耗品的生產(chǎn)—零售庫存的優(yōu)化。文章的研究豐富了生產(chǎn)—庫存優(yōu)化理論，同時具有重要的現(xiàn)實意義。

二、模型描述、模型假設(shè)與變量說明

（一）模型描述

生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)由單個制造商與單個零售商構(gòu)成，圖1反映了系統(tǒng)中制造商與零售商的庫存變化。制造商快速生產(chǎn)一類短生命周期易損耗品（例如：蛋糕），并迅速補(bǔ)給零售商。零售商將制造商所運(yùn)送的所有產(chǎn)品展示銷售。零售商面臨的需求是動態(tài)變化的，動態(tài)需求率依賴于展示的產(chǎn)品數(shù)量。

（二）模型假設(shè)與變量說明

本文模型的建立基于如下假設(shè)。

1.生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)單個制造商與單個零售商構(gòu)成；

2.制造商按訂單生產(chǎn)，生產(chǎn)量等于訂單量；

3.制造商與零售商之間的空間距離很近，忽略制造商的運(yùn)輸時間，因此不考慮運(yùn)輸成本；

4.制造商的生產(chǎn)時間極短，不考慮制造商的庫存成本；

5.產(chǎn)品在制造商處不發(fā)生損耗，在零售商處發(fā)生損耗，已經(jīng)損耗的產(chǎn)品無殘值，損耗率θ為常數(shù)；

6.生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)不允許缺貨；

7.零售商將所有產(chǎn)品放在柜臺展示銷售，動態(tài)需求率依賴于當(dāng)前庫存水平I（t），即D（t）=αI（t）β，α>0，0＜β＜1，α為不受零售庫存影響的規(guī)模參數(shù)，β為庫存形狀參數(shù)。

8.制造商與零售商之間的博弈為Stackelberg博弈，制造商為Stackelberg博弈的領(lǐng)導(dǎo)者，零售商為Stackelberg博弈的跟隨者。

本文模型中用到的參數(shù)和變量定義如下。

c為制造商單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本（元）；w為制造商將產(chǎn)品批發(fā)給零售商的批發(fā)價（元）；p為零售商單位產(chǎn)品零售價格（元），滿足c＜w＜p；θ為損耗率；T為一個訂貨周期（天）；Q為零售商期初訂購量（單位）；為集中決策下生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購量；為零售商分散決策下最優(yōu)訂購量（單位）；w*為分散決策下制造商制定的最優(yōu)批發(fā)價（元）；Ar為零售商每次訂購費(fèi)（元）；Am為制造商每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（元）；Ch為單位產(chǎn)品單位時間存儲費(fèi)（元/單位）；Cd為單位變質(zhì)成本（元/單位）；γ為最優(yōu)訂購數(shù)量的倍數(shù)；δ為數(shù)量折扣因子；?為零售商利潤增加百分比。

三、集中決策下的生產(chǎn)-零售庫存模型

依據(jù)假設(shè)條件，零售商庫存水平變化的狀態(tài)方程為

式（1）是一個伯努利方程，根據(jù)伯努利方程的求解公式及邊界條件I（0）=Q有

由于e-（1-β）θt的非線性，對e-（1-β）θt進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，忽略二階及二階以上條件，有e-（1-β）θt=1-θ（1-β）t，則零售商隨庫存模型變?yōu)?/p>

由式（3），令I(lǐng)（T）=0，知零售商的訂貨周期為

零售商一個周期內(nèi)的累計存儲量

零售商一個周期內(nèi)的累計銷售量為

集中決策下，制造商與零售商視為一個聯(lián)盟，從生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)的整體利益出發(fā)，做出使生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)整體利益最大化的庫存決策，集中決策下生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)平均利潤函數(shù)為

將式（4）～式（6）代入式（7）可得

命題1.集中決策下生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)的平均利潤Πc（Q）是Q的凹函數(shù)，當(dāng)pθ（1-β）-cθ（2-β）-Ch＜0時，存在唯一的使得Πc（Q）最大。

證明：對利潤函數(shù)Πc（Q）分別求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)，有

因為0＜β＜1，所以β-2＜0，在Q∈[0，∞）內(nèi)d2Πc（Q）/dQ2＜0，故集中決策下生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)的平均利潤Πc（Q）是關(guān)于Q的凹函數(shù)，dΠc（Q）/dQ是關(guān)于Q的嚴(yán)格遞減函數(shù)。

所以集中決策下生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)的平均利潤Πc（Q）是Q的凹函數(shù)，pθ（1-β）-cθ（2-β）-Ch＜0，存在唯一的使得Πc（Q）最大。證畢。

四、分散決策下的生產(chǎn)—零售庫存模型

分散決策下，零售商與制造商之間的訂貨決策是一個Stackelberg博弈，制造商是Stackelberg博弈的領(lǐng)導(dǎo)者，零售商是跟隨者，制造商先決策批發(fā)價w，零售商后決策訂購數(shù)量Qr，采用逆向遞歸求解法求解子博弈精煉納什均衡，也即先求最優(yōu)訂購量再求批發(fā)價w*。

分散決策下，零售商以自身平均利潤最大化為決策目標(biāo)，此時零售商的平均利潤函數(shù)為

參照命題1的證明過程，易得d2Πr（Q）/dQ2＜0， Πr（Q）是Q的凹函數(shù)，存在唯一的使得Πr（Q）達(dá)到最大。滿足dΠr（Q）/dQ=0，也即

制造商的平均利潤函數(shù)為

分散決策下，制造商作為Stackelberg博弈的領(lǐng)導(dǎo)者，決定最優(yōu)的w*來最大化自身的平均利潤Πm（w）。

命題2.分散決策下，制造商利潤Πm（w）是w的凹函數(shù)，存在唯一的w=w*使得Πm（w）最大。

證明：由（12）式知

根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，有

其中

將w*代入式（12），可得由w*=M/N得w*，進(jìn)一步可得

命題3.由于雙邊際化效應(yīng)的存在，集中決策下的訂購量大于分散決策下的訂購量，即集中決策下的利潤大于分散決策下生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)的利潤，即

證明：由式（9）知

令h1（Q）＝αβ（p-c）Q+α（1-β）（Ar+Am）。

五、基于數(shù)量折扣契約的生產(chǎn)—零售庫存優(yōu)化

由命題3知，雙邊際化效應(yīng)的存在，使得零售商訂購量小于集中決策下的訂購量，降低了生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)的效率，導(dǎo)致了社會福利的損失。通過制定激勵措施，協(xié)調(diào)生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)內(nèi)成員之間的關(guān)系，使協(xié)調(diào)之后的各方的利潤之后達(dá)到集中決策時的水平，即使不能完全實現(xiàn)集中決策時的利潤水平也可實現(xiàn)帕累托改進(jìn)，增加各方收益。數(shù)量折扣就是一種有效的激勵措施，有效的數(shù)量折扣契約通過降低價格、增加銷售量，達(dá)到減少交易成本、降低市場風(fēng)險、提高顧客滿意度、實現(xiàn)各方“共贏”的目的。

通過建立需求與庫存相關(guān)的易損耗產(chǎn)品的數(shù)量折扣契約，達(dá)到優(yōu)化零售商庫存的目的，實現(xiàn)分散決策下獲得集中決策下的優(yōu)勢。制造商向零售商承諾，若零售商訂購量不小于的γ倍，則批發(fā)價為w*的δ；若零售商訂購量小于的γ倍，則批發(fā)價仍為w*。當(dāng)分散情況下與集中決策時訂購量相等時實現(xiàn)生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)的完美優(yōu)化，此時也即

命題4.數(shù)量折扣契約的實施，折扣因子δ須滿足如下條件

證明：分散決策下制造商與零售商接受該契約需滿足的條件是

得折扣因子下限

得折扣因子上限

折扣因子δ存在下限，表明制造商提供的折扣因子不可能無限小，是為了保證制造自身利益；折扣因子δ存在上限，表明折扣因子不可能無限大，是為了維護(hù)零售商的利益。只要在上述區(qū)間內(nèi)，雙方就會接受契約，從而達(dá)到協(xié)調(diào)庫存的目的。

現(xiàn)實中強(qiáng)勢零售商（如7-11、蘇果便利店、沃爾瑪?shù)龋┑脑捳Z權(quán)越來越強(qiáng)。在制定契約時會要求在原有利潤的基礎(chǔ)上百分比至少增加?才會接受契約。

命題5.折扣因子δ須滿足如下條件：數(shù)量折扣契約下，零售商最優(yōu)平均利潤為制造商的最優(yōu)平均利潤為最優(yōu)折扣因子δ*為

證明:制造商作為Stackelberg博弈的領(lǐng)導(dǎo)者，在制定契約時，會使零售商獲得接受該契約的最小收益，也即實行數(shù)量折扣契約后，供應(yīng)鏈系統(tǒng)達(dá)到集成決策時的利潤制造商的最優(yōu)平均利潤為也即

化簡可得δ*。證畢。

六、數(shù)值仿真與敏感性分析

以上建立了生產(chǎn)-零售庫存系統(tǒng)的數(shù)量分析模型，接下來以某連鎖蛋糕店銷售蛋糕產(chǎn)品為例，分析各參數(shù)變化對生產(chǎn)-零售庫存系統(tǒng)利益雙方利潤變化的影響。

（一）基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

根據(jù)經(jīng)驗和以往銷售數(shù)據(jù)，零售價格p=12元/單位，制造商的生產(chǎn)成本為c=8元/單位，零售商每次訂購費(fèi)Ar=20元，制造商每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)Am= 260元（生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用包括生產(chǎn)設(shè)備的清洗和工藝更換，假設(shè)生產(chǎn)準(zhǔn)備時間為1天，需要人工3人，每人每天工資是60元，另加各種輔助費(fèi)用80元，合計260元），零售商放在冷柜中存儲蛋糕產(chǎn)品，每天每單位的存儲費(fèi)為Ch=0.5元/天，因變質(zhì)的蛋糕不能再銷售也無法回收利用，在集中決策下，變質(zhì)成本為生產(chǎn)成本，即Cd=8元/瓶，分散決策下的變質(zhì)成本為批發(fā)價格。對歷史數(shù)據(jù)分析，消費(fèi)者對蛋糕的動態(tài)需求率近似為D（t）=30I（t）0.4，從而有α＝30，β＝0.4，蛋糕在存儲過程中的損耗率為θ＝0.05。

必須說明的是，因為許多成本數(shù)據(jù)對于企業(yè)來說，是商業(yè)保密的數(shù)據(jù)，因此，考慮這樣的情況，本文的成本數(shù)據(jù)并不是真實的數(shù)據(jù)，是一個估算的數(shù)據(jù)，但是不失一般性，我們只是用來模擬決策分析過程。

（二）決策分析

利用Matlab 7.0進(jìn)行求解，得出集中決策下，訂購數(shù)量為單位，整體利潤分散情況下制造商基于自身利益最大化，給予零售商的批發(fā)價為w*=9.94元/單位，零售商每次訂購量為瓶，零售商利潤為元，制造商的利潤為元，在分散決策情況下，生產(chǎn)-零售庫存系統(tǒng)的渠道效率為整個奶制品供應(yīng)鏈系統(tǒng)存在的效率損失。

通過建立數(shù)量折扣契約，零售商在自身利潤增加的情況下，即?=30。如果零售商訂購量不小于2 264單位，即訂購量不小于分散決情況下的4.205 7倍（γ=4.205 7），制造商就在原有批發(fā)價的基礎(chǔ)上給予零售商0.930 06的折扣（δ*=0.930 06）。優(yōu)化之后，零售商的利潤為340.41元，制造商的利潤為522.33元，增加50.43％。雙方協(xié)調(diào)之后利潤均有所增加，但奶制品制造商的利潤增加比例超過零售商，牢牢地掌握著Stackelberg博弈的領(lǐng)導(dǎo)權(quán)。

（三）參數(shù)敏感度分析

為更好地整合資源，實現(xiàn)社會福利的最大化，本部分考察各參數(shù)變化對雙方利潤、渠道效率、訂貨倍數(shù)、折扣參數(shù)的影響，如表1～表3所示。表1～表3中的為優(yōu)化前零售商利潤、制造商利潤、優(yōu)化后零售商利潤、制造商利潤、優(yōu)化前的渠道效率，渠道效率為雙方獨自決策下的利潤之和與集中決策下的利潤之比。

1.規(guī)模參數(shù)α變化對最優(yōu)策略的影響

由表1可知，當(dāng)α＝10時，制造商雖然制定較低的批發(fā)價，但零售商面臨過小的市場規(guī)模，減少訂購量，保證自身不發(fā)生虧損；過小的訂購量使得制造商的收入不足以彌補(bǔ)生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和生產(chǎn)成本，自然發(fā)生虧損。表1中折扣因子對規(guī)模參數(shù)的變化并不敏感，但呈現(xiàn)減少趨勢。由圖3知，隨著市場規(guī)模的擴(kuò)大，各自的利潤均有所增加，并且隨著規(guī)模參數(shù)α的增大，各自的利潤呈現(xiàn)加速增大的趨勢。

表1 規(guī)模參數(shù)α的變化對最優(yōu)策略的影響

2.規(guī)模參數(shù)β變化對最優(yōu)策略的影響

由表2可知，隨著形狀參數(shù)β的變化，各參數(shù)對形狀參數(shù)的變化均比較敏感。隨著β的增加，最優(yōu)批發(fā)價和訂貨倍數(shù)呈現(xiàn)先增加后降低的趨勢。形狀參數(shù)過小，制造商發(fā)生虧損，原因與α值過小相同。協(xié)調(diào)前的渠道效率隨著形狀參數(shù)的增加呈現(xiàn)增加趨勢。折扣因子、各項利潤均隨形狀參數(shù)的增加而增加，但批發(fā)價呈較少趨勢，這是市場規(guī)模帶來的優(yōu)勢。

表2 形狀參數(shù)β對最優(yōu)策略的影響

3.損耗率θ變化對最優(yōu)策略的影響

由表3可知，隨著θ的增大，批發(fā)價與訂購量均減少。零售商訂購量的減少，使得雙方的利潤均減少，如圖4所示。制造商利潤相較于零售商對損耗率θ的變化更加敏感。

表3 損耗率θ變化對最優(yōu)策略的影響

4.生產(chǎn)成本及零售價格p對利潤的影響

由圖5可知，當(dāng)生產(chǎn)成本過高時，奶制品制造商制定過高的批發(fā)價，零售商迫于資金壓力減少訂購量，從而導(dǎo)致制造商整體銷售收入的減少，因成本過高，產(chǎn)生虧損。隨著生產(chǎn)成本的增加，制造商給予零售商的批發(fā)價隨之增加，在高成本的情境下，供應(yīng)鏈雙方的利潤均有所減少，處于供應(yīng)鏈領(lǐng)導(dǎo)地位的制造商應(yīng)設(shè)法降低生產(chǎn)成本，因為隨著生產(chǎn)成本的減少，各自的利潤均有所增加。

由圖6可知，零售價格定的過小，零售商減少訂貨量導(dǎo)致制造商發(fā)生虧損，因此過低的零售價格是不現(xiàn)實的。隨著零售價p的增加，各方利潤均增加，但是過高的零售價是不現(xiàn)實的。

5.存儲費(fèi)ch、訂購費(fèi)Ar與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)Am對利潤的影響

由圖7可知，在零售價格一定的情況下，隨著單位存儲成本的增加，零售商減少訂貨量，導(dǎo)致雙方利潤的較少。利潤減少的趨勢越來越平緩。

由圖8可知，當(dāng)零售商訂購費(fèi)足夠大時，零售商難以承受這么昂貴的訂購費(fèi)而發(fā)生虧損。隨著訂購費(fèi)用的增加，零售商利潤與制造商利潤表現(xiàn)出相反的利潤變化趨勢。由于零售商需要支付增加的訂購費(fèi)，導(dǎo)致利潤減少。

隨著訂購費(fèi)的增加，零售商減少訂購量，進(jìn)一步減少了自身的盈利點，但制造商通過提高批發(fā)價，減弱了訂購量減少帶來的利潤損失，最后反而使自身利潤增加。

由圖9可知，分散決策下隨著生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用的增加，制造商與零售商呈現(xiàn)出相反的利潤變化趨勢，奶制品供應(yīng)商通過降低批發(fā)價，刺激零售商訂購更多的奶制品，因零售商不用承擔(dān)生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，隨著訂購數(shù)量的增加，利潤自然增加，圖9中的零售商利潤呈現(xiàn)上升趨勢；對于制造商而言，雖然通過降價刺激了零售商訂購更多產(chǎn)品，但是依然難以抵消生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的增加額，利潤呈現(xiàn)下降趨勢。

當(dāng)生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)足夠大時，制造商的利潤值為負(fù)值。對于制造商而言，不參與生產(chǎn)更為明智。集中決策下，由零售商和制造商組成的聯(lián)盟來承擔(dān)生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的增加，使得聯(lián)盟的利潤減少，圖9中的集中決策下的利潤呈現(xiàn)下降趨勢。此外，訂貨倍數(shù)、渠道效率隨著Am增大而減小。

圖3～圖9中，協(xié)調(diào)前的制造商與零售商的利潤之和總是小于集中決策時的利潤，進(jìn)一步驗證了命題3的正確性。

七、總結(jié)與展望

本文探討了動態(tài)需求下的損耗品生產(chǎn)-零售庫存優(yōu)化問題。在假設(shè)損耗率為常數(shù)的基礎(chǔ)上，建立了反映庫存水平變化的伯努利方程。在已知期初訂貨量的情況下，利用泰勒級數(shù)展開的方法得到訂貨周期的解析解。通過靈敏性分析，考察各參數(shù)變化對雙方及折扣策略的影響。主要結(jié)論及管理啟示有以下幾點。

1.關(guān)乎動態(tài)需求率的規(guī)模參數(shù)與形狀參數(shù)變化均對利益雙方產(chǎn)生重要影響，但形狀參數(shù)相比規(guī)模參數(shù)對利潤的影響更加敏感；零售商可以改變產(chǎn)品的陳列方式，以增加對顧客的吸引；

2.無論是集中決策情形還是分散決策情形，隨著損耗率的增大，各自利潤均減少；為了增加生產(chǎn)-零售庫存系統(tǒng)的利潤，應(yīng)設(shè)法降低損耗率；對于蛋糕零售商而言，可以采用新的冷藏設(shè)備，在資金不允許采購新的冷藏設(shè)備的條件下，可以通過其他方式來降低損耗或變質(zhì)帶來的不利影響，比如降價促銷，在蛋糕完全變質(zhì)之前，清空庫存量；

3.隨著訂購費(fèi)或生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的增大，制造商與零售商利潤呈現(xiàn)相反的變化趨勢；零售商與制造商應(yīng)當(dāng)設(shè)法降低訂購費(fèi)或生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，而不是互相轉(zhuǎn)嫁自身的成本；

4.雙方在接受契約的條件下，數(shù)量折扣契約可以協(xié)調(diào)生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)，但協(xié)調(diào)之后，作為Stackelberg博弈領(lǐng)導(dǎo)者的制造商依然獲得協(xié)調(diào)后的大部分利潤，零售商需要進(jìn)一步強(qiáng)化自身的話語權(quán)，從而要求獲得更多的利潤。

本文的不足之處是假設(shè)零售價格不變，實際運(yùn)作過程中，在保質(zhì)期臨近之前，會采用臨時價格折扣，以清空庫存，加速資金周轉(zhuǎn)；文章假設(shè)損耗率為常數(shù)，實際上損耗率受多種因素的影響，現(xiàn)實中的損耗率往往更為復(fù)雜；僅研究了一對一的生產(chǎn)—零售庫存，但不失一般性?，F(xiàn)實當(dāng)中的需求，既受貨架展示量的影響，又受價格影響，后續(xù)研究可擴(kuò)展到需求同時受這兩類因素影響的生產(chǎn)-零售庫存優(yōu)化問題；可拓展到損耗率為時變情況下的生產(chǎn)—零售庫存問題；亦可拓展到多個制造商和一個零售商組成的生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)，也可進(jìn)行縱向延伸，考慮多層生產(chǎn)—零售庫存系統(tǒng)。

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Optimization of Dynamic Demand and Deterioration Products Production-inventory Model

FU Kaifang，CHEN Zhixiang
（School of Business，Sun Yat-Sen University，Guangzhou 510275，China）

In this article，we study the problem of optimization of Production-inventory model of one manufacturer and one retailer，in which the manufacturer produces deterioration products and the retailer’s demand is stock-dependent demand.Aiming at the problem of low efficiency of decentralized decision making，a quantity discount contract is established to make the manufacturer and retailer obtain the advantage of centralized decision in their independent decision-making.Products sales data from a cake shop was used to carry out?the application of the model;?the results showed that when the production cost was too high，the manufacturer took a loss;when the retail price was too low，the retailer reduced order quantities，thus making the manufacturer take a loss.The higher storing cost，the lower profit of the manufacturer and the retailer.When ordering cost or production cost increase，the profit of the manufacturer and the retailer shows opposite trend.Both sides of the manufacturer and the retailer were sensitive to the change of the scale parameter and shape parameter，but were more sensitive to the change of the shape parameter.With the increase of the rate of loss，the profit of the manufacturer and the retailer decreased.The quantity discount contract could coordinate the productioninventory system，because of different discourse power，the manufacturer still got most profit after coordination.

dynamic demand；deterioration products；decentralized decision；centralized decision；quantity discount

F406；O22

A

1009-3370（2016）06-0070-10

10.15918/j.jbitss1009-3370.2016.0609

[責(zé)任編輯：宋宏]

2016-02-22

國家自然科學(xué)基金資助項目（71372154）

伏開放（1988—），男，博士研究生，E-mail：kaifangfu@sina.com；陳志祥（1965—），男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：mnsczx@mail. sysu.edu.cn