一種用定積分證明泰勒中值定理的方法

張康宇， 吳茂全

(沈陽化工大學(xué) 數(shù)理系， 遼寧 沈陽 110142)

?

一種用定積分證明泰勒中值定理的方法

張康宇， 吳茂全

(沈陽化工大學(xué) 數(shù)理系， 遼寧 沈陽 110142)

介紹一種從拉格朗日中值定理出發(fā)，通過重復(fù)的定積分運(yùn)算，直接推導(dǎo)出泰勒中值定理的方法.首先通過定義函數(shù)，將拉格朗日中值定理的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為可積的形式，之后在定義域的任一閉區(qū)間上對(duì)其進(jìn)行定積分；得到的結(jié)果通過定義第二個(gè)函數(shù)再次轉(zhuǎn)化為可積的形式，繼續(xù)進(jìn)行定積分.如此循環(huán)n-1次，得到一個(gè)類似于泰勒中值定理的n次多項(xiàng)式.通過對(duì)在定積分過程當(dāng)中所定義的n個(gè)函數(shù)的值域進(jìn)行討論，便可將此n次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為泰勒中值定理的形式.這種方法不需要泰勒公式作為推導(dǎo)的基礎(chǔ)，因此，它能較好地揭示泰勒中值定理的本質(zhì)，建立泰勒中值定理與拉格朗日中值定理之間的有機(jī)關(guān)聯(lián).

拉格朗日中值定理； 泰勒中值定理； 定積分

1 問題的提出

泰勒中值定理與拉格朗日中值定理同是兩個(gè)重要的微分學(xué)中值定理.僅從形式上看，拉格朗日中值定理是泰勒中值定理的特殊形式，文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]都提到了這一點(diǎn).不過，正如文獻(xiàn)[3]所表述的“泰勒定理不妨看成是拉格朗日中值定理在導(dǎo)數(shù)的階數(shù)上的一個(gè)推廣.”通過幾何意義明確的拉格朗日中值定理引出并證明泰勒中值定理，顯然有助于對(duì)泰勒中值定理的理解.

但是，文獻(xiàn)[3]并沒有給出一種直接由拉格朗日中值定理推廣至泰勒中值定理的方法，而是與文獻(xiàn)[1]、[2]和[4]中的方法的出發(fā)點(diǎn)相同，是在泰勒公式的基礎(chǔ)之上，討論了如何通過構(gòu)造函數(shù)來證明泰勒中值定理.因此，本文以拉格朗日中值定理為基礎(chǔ)，直接推導(dǎo)出泰勒中值定理.

2 對(duì)問題的討論

設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n階的導(dǎo)數(shù).任取t0∈(a,b)，設(shè)t>t0，則由拉格朗日中值定理，在(a,b)上有

f(n-1)(t)-f(n-1)(t0)=

f(n)(ξ)(t-t0) (ξ∈[t0,t])

文獻(xiàn)[3]中表述：“拉格朗日中值定理給出了函數(shù)與其一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，而泰勒定理卻給出了函數(shù)與其高階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.”因此，由拉格朗日中值定理推導(dǎo)泰勒中值定理的關(guān)鍵是：通過上式，得到f(n)(t)與f(t)的函數(shù)關(guān)系.若通過定積分運(yùn)算可以使上式左端f(t)導(dǎo)數(shù)的階降低，同時(shí)保持右端f(t)導(dǎo)數(shù)的階不變，則重復(fù)對(duì)上式作n-1次的定積分運(yùn)算，問題得解.

記f(n)(t)在其定義域(a,b)上的值域?yàn)镸.任取(a,b)內(nèi)一點(diǎn)t0，則由拉格朗日中值定理，對(duì)任一t∈(a,b)，設(shè)t>t0,均存在ξ0∈(t0,t)?(a,b)，使得

f(n-1)(t)-f(n-1)(t0)=f(n)(ξ0)(t-t0)

對(duì)于任一t≠t0，f(n)(ξ0)∈M由t唯一確定，故將區(qū)間(a,b)上的t與f(n)(ξ0)的函數(shù)關(guān)系記作

故h0(t)在t=t0處連續(xù).記h0(t)在(a,b)上的值域?yàn)镸0，顯然M0?M.由于[f(n-1)(t)-f(n-1)(t0)]與(t-t0)均在(a,b)上連續(xù)，且h0(t)在t=t0處連續(xù)，故h0(t)在(a,b)上連續(xù)，并且在(a,b)的任一閉子區(qū)間上可積.由此，任取t∈(a,b)，作第一次定積分

(1)

設(shè)t>t0，故在[t0,t]上，(s-t0)不改變符號(hào)，h0(s)連續(xù).故由積分平均值定理[5]，存在ξ1∈[t0,t]，使得

故式(1)變?yōu)?/p>

f(n-2)(t)-f(n-2)(t0)-f(n-1)(t0)(t-t0)=

(2)

由于t為(a,b)上的任取值，而式(2)中的閉區(qū)間[t0,t]僅用作定積分運(yùn)算，且[t0,t]?(a,b)，故式(2)可寫作

f(n-2)(t)-f(n-2)(t0)-f(n-1)(t0)(t-t0)=

(3)

由洛必達(dá)法則

f(n-1)(t0)(s-t0))ds=

仿照上面的步驟，易得

(4)

由洛必達(dá)法則

f(n)(t0)，

故h2(t)在t=t0處連續(xù).記h2(t)在(a,b)上的值域?yàn)镸2，顯然M2?M1?M0?M,故式(4)可記作

仿照上面重復(fù)進(jìn)行定積分，當(dāng)進(jìn)行了k次這樣的定積分之后，將得到

其中，(a,b)上的連續(xù)函數(shù)hk(t)的值域?yàn)镸k，Mk?Mk-1?…?M0?M，故當(dāng)k=n-1時(shí)，得到

(5)

其中hn-1(t)在(a,b)上的值域?yàn)镸n-1.由于Mn-1?Mn-2?…?M0?M，故對(duì)于任意t∈(a,b)，必存在至少一個(gè)ξ∈(a,b)，使得hn-1(t)=f(n)(ξ)∈M，因此，可將式(5)記作

(ξ∈(a,b))

此結(jié)果所表述的正是泰勒中值定理.

3 結(jié) 論

從上面的推導(dǎo)過程可以看出：本文的直接引出同時(shí)證明泰勒中值定理的方法與文獻(xiàn)[1-4]中單純證明泰勒中值定理的方法有著本質(zhì)的不同.文獻(xiàn)[1-4]中的方法，是在已知泰勒公式的具體形式的前提下，求出拉格朗日余項(xiàng)，從而證明定理.而本文的方法，是從拉格朗日中值定理出發(fā)，通過定積分層層還原，最終自然地得到泰勒中值定理，即證明了定理.

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版：北京:高等教育出版社，2007:141.

[2] 吳紀(jì)桃，魏光美，李翠萍，等.高等數(shù)學(xué)[M].2版.北京:清華大學(xué)出版社，2011:112.

[3] 閔蘭,陳曉敏.幾個(gè)微分中值定理之異同：從羅爾定理到泰勒定理[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,34(6):197-199.

[4] 陸偉,劉佳依,王帥.泰勒中值定理的證明及應(yīng)用探析[J].學(xué)園,2013(23):57-58.

[5] 常庚哲,史濟(jì)懷.數(shù)學(xué)分析教程(上冊(cè))[M].3版.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2012:246.

A Proof of Taylor′s Theorem Using Definite Integral

ZHANG Kang-yu， WU Mao-quan

(Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China)

With Lagrange′s theorem been treated as the starting point,a method includes repeated definite integral can work out Taylor′s theorem directly.Transform the expression of Lagrange′s theorem to make it integrable using the function defined in the first place.Then do the integral on any closed interval of the domain of definition; transform the result to make it integrable by defining the second function,then do the integral again.Cycle forn-1 times like this,an-order polynomial which is similar to the expression of Taylor′s theorem will be gained.By discussing the range of thesenfunctions,the polynomial can be transformed into the form of Taylor′s theorem.The Taylor′s formula is not the foundation of this method,so this method can reveal the essence of Taylor′s theorem,can build an organic relationship between Lagrange′s theorem and Taylor′s theorem.

Lagrange′s theorem; Taylor′s theorem; definite integral

2015-06-08

張康宇(1995-),男,江蘇贛榆人,本科生在讀,主要從事化學(xué)工程與工藝的研究.

吳茂全(1963-),男,河北冀縣人,副教授,碩士,主要從事代數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)及工程數(shù)學(xué)的教學(xué)及科研研究.

2095-2198(2016)03-0275-03

10.3969/j.issn.2095-2198.2016.03.018

O13

A