一種基于改進(jìn)閾值函數(shù)的小波閾值降噪算法*

倪培峰，胡 雄

（上海海事大學(xué) 物流工程學(xué)院，上海201306）

一種基于改進(jìn)閾值函數(shù)的小波閾值降噪算法*

倪培峰，胡 雄

（上海海事大學(xué) 物流工程學(xué)院，上海201306）

針對小波閾值降噪中硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的不足，結(jié)合現(xiàn)有文獻(xiàn)提出一種新的閾值函數(shù)。新閾值函數(shù)克服了傳統(tǒng)閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，保證了閾值函數(shù)的連續(xù)性，同時(shí)可以通過改變參數(shù)靈活地調(diào)節(jié)函數(shù)。在新閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上結(jié)合改進(jìn)的閾值確定方法，提出一種新的降噪算法。通過MATLAB仿真，對幾種小波降噪算法進(jìn)行了試驗(yàn)分析，利用信噪比和均方根誤差兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行評價(jià)。結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)的降噪算法，新降噪算法取得了更好的降噪效果。

小波降噪；閾值函數(shù)；閾值選??；信噪比；均方根誤差

0　引言

實(shí)際的工程測量測試中，工程信號在采集和傳輸過程中，總會因外界的干擾引入噪聲，為了準(zhǔn)確地獲得有用信號，降噪是信號分析前必須經(jīng)過的預(yù)處理環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)降噪方法的不足在于使信號變換后的熵增高，無法刻畫信號的非平穩(wěn)特性并且無法得到信號的相關(guān)性[1]。而小波變換在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，并且小波變換具有眾多優(yōu)良的特性，如多分辨率特性、低熵性、去相關(guān)性和選基靈活性等。這些特性很好地克服了傳統(tǒng)方法的不足，使得小波變換適用于信號的降噪處理。因此利用小波變換進(jìn)行降噪，已經(jīng)成為近幾年研究的熱點(diǎn)。

運(yùn)用小波變換處理噪聲的方法主要分為3類：MATLAB提出的模極大值處理算法[2]；XU提出的空域相關(guān)降噪算法[3]；DONOHO提出的閾值降噪算法[4]。其中，以閾值降噪算法最為常用。閾值降噪算法中，通過對分解后的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理以達(dá)到降噪的目的。最常用的閾值函數(shù)是由DONOHO在1995年提出的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)，但這兩種函數(shù)也存在不足之處。采用硬閾值函數(shù)時(shí)，由于硬閾值函數(shù)的不連續(xù)，導(dǎo)致重構(gòu)信號可能出現(xiàn)局部震蕩；采用軟閾值函數(shù)時(shí)，與真實(shí)小波系數(shù)之間存在恒定的偏差，導(dǎo)致重構(gòu)后信號的精度下降[5]。針對軟、硬閾值函數(shù)存在的缺點(diǎn)和不足，本文提出一種新的閾值函數(shù)。新閾值函數(shù)既保證了閾值函數(shù)的連續(xù)性，又能避免軟閾值固定偏差的缺點(diǎn)。并通過MATLAB仿真分析驗(yàn)證了改進(jìn)的小波閾值降噪算法優(yōu)于傳統(tǒng)閾值算法。

1　小波閾值降噪原理

假設(shè)一維離散含噪信號由式(1)表示：

其中，X(k)是含噪信號；S(k)是原始標(biāo)準(zhǔn)信號；E(k)是疊加的高斯白噪聲，其服從N(0，σ2)分布。

小波變換后，有用信號的能量集中于幅值較大的小波系數(shù)，而噪聲能量則分布在整個(gè)小波域中[6]。因此，較大的小波系數(shù)是由有用信號引起的，較小的小波系數(shù)則代表噪聲?；谛〔ㄏ禂?shù)的特征，DONOHO和 JOHNSTONE[7]提出了閾值降噪算法。首先確定一個(gè)閾值，即選擇一個(gè)合適的數(shù)，當(dāng)小波分解系數(shù)小于閾值時(shí)，認(rèn)為這部分系數(shù)主要是由噪聲引起的，予以舍棄；當(dāng)系數(shù)大于閾值時(shí)，認(rèn)為這是由信號引起的小波分解系數(shù)，就把這一部分進(jìn)行閾值處理，然后用閾值處理后的量化系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，即為降噪后的信號。小波閾值降噪的基本步驟如圖1所示。

圖1　小波閾值降噪步驟

2　改進(jìn)閾值算法

閾值的確定直接影響著小波閾值降噪的效果。如果閾值取得太小，噪聲依然存在；如果閾值取得太大，那么有用信號的重要信息也可能被濾除。最常選用的通用閾值可用式(2)表示：

其中，N為信號的長度，σ為噪聲的均方差估計(jì)值，由式(3)給出：

因?yàn)橥ㄓ瞄撝涤羞^扼殺有用信號的風(fēng)險(xiǎn)，文獻(xiàn)[6]提出一種基于層間相關(guān)性的閾值選取方法。本文在此基礎(chǔ)上結(jié)合分層閾值的思想對該閾值算法進(jìn)行改進(jìn)，如式(4)所示：

其中，r為常數(shù)，Tj，n為小波分解第j層位置 n處的閾值，λj為第j層的閾值，其表達(dá)式如式(5)所示：

式中，Wj，k為第j層上的小波系數(shù)，j為分解層數(shù)。

K(n)為定義的一個(gè)參數(shù)，用來表征小波系數(shù)的層間相關(guān)性，其定義如式(6)所示：

式中，W(:，n)表示點(diǎn)n處的所有小波系數(shù)。

當(dāng) K(n)∈[0，r)，點(diǎn) n處的小波系數(shù)相關(guān)性較強(qiáng)，點(diǎn)n處可能是一個(gè)信號點(diǎn)；當(dāng) K(n)∈[r，+∞)，點(diǎn) n處的相關(guān)性較差，該點(diǎn)可能是由噪聲引起的。由式(4)可知，新閾值方法通過比較小波系數(shù)層間相關(guān)性，對不同點(diǎn)n的閾值進(jìn)行修正。當(dāng)K(n)∈[0，0.5r)時(shí)，小波系數(shù)間的相關(guān)性很大，該點(diǎn)非常有可能是純信號點(diǎn)，對閾值進(jìn)行收縮，取為 0.7λj；當(dāng) K(n)∈[0.5r，0.8r)時(shí)，小波系數(shù)的相關(guān)性比較大，該點(diǎn)有可能是信號點(diǎn)，該點(diǎn)的閾值取為 0.8λj；當(dāng)K(n)∈[0.8r，r)時(shí)，相關(guān)性較大，該點(diǎn)依舊可能是信號點(diǎn)，減小閾值收縮程度，取為0.9λj；當(dāng)K(n)∈[r，+∞)時(shí)，認(rèn)為小波系數(shù)的相關(guān)性較小，該點(diǎn)幾乎不可能是純信號點(diǎn)，將閾值取為λj。

K(n)在計(jì)算時(shí)，要求不同層上的小波分解系數(shù)的數(shù)目一致，因此需要采用平穩(wěn)小波變換(SWT)。r是測量小波系數(shù)相關(guān)性的一個(gè)重要參數(shù)，取值太小，可能會過扼殺有用信號，取值過大，可能會保留較多的噪聲信息。通過相關(guān)實(shí)驗(yàn)，r取為 0.5～1.5之間時(shí)，降噪效果比較好。本文中，r取為1。

3　構(gòu)造新閾值函數(shù)

傳統(tǒng)的閾值函數(shù)是由DONOHO提出的軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)定義如式(7)所示，硬閾值函數(shù)定義如式(8)所示。

硬閾值函數(shù)在小波域內(nèi)存在間斷點(diǎn)，在重構(gòu)信號時(shí)會出現(xiàn)局部震蕩現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)雖然在小波域內(nèi)連續(xù)，但是閾值處理后的小波系數(shù)與真實(shí)小波系數(shù)存在恒定偏差，會造成信號高頻有用信息的丟失。

本文結(jié)合文獻(xiàn)[8]與文獻(xiàn)[9]中的方法，構(gòu)造了一個(gè)新的閾值函數(shù)，如式(9)所示：

由式(9)可知，當(dāng)|Wj，k|→±λ時(shí)，j，k→0，即新閾值函數(shù)在 Wj，k=±λ處是連續(xù)的，克服了硬閾值函數(shù)不連續(xù)的缺陷，重構(gòu)信號不會有震蕩產(chǎn)生；當(dāng) Wj，k→±∞ 時(shí)，j，k/Wj，k→1，即當(dāng)小波系數(shù)足夠大時(shí)，新閾值函數(shù)等同于硬閾值函數(shù)，從而克服了軟閾值函數(shù)j，k與 Wj，k之間具有恒定偏差的問題；同時(shí)新閾值函數(shù)具有高階可導(dǎo)性。從表達(dá)式中可以看出，當(dāng)α→0且β→0時(shí)，新閾值函數(shù)即為軟閾值函數(shù)；當(dāng) α→+∞時(shí)，u→1，新閾值函數(shù)即為硬閾值函數(shù)；適當(dāng)選取α和β的值，新閾值函數(shù)可以在硬閾值函數(shù)與軟閾值函數(shù)之間進(jìn)行調(diào)整，靈活性更強(qiáng)。硬、軟閾值函數(shù)的圖形如圖2(a)、圖2(b)所示，選取不同的α和β的新閾值函數(shù)如圖2(c)、圖2(d)所示。

圖2　新閾值函數(shù)與硬、軟閾值函數(shù)比較

4　仿真分析

為了驗(yàn)證本文降噪算法的有效性，用MATLAB對其進(jìn)行仿真試驗(yàn)。選用 Matlab自帶的 Heavy sine信號，對其加入一定的高斯白噪聲，并用軟閾值降噪算法、硬閾值降噪算法、本文新閾值降噪算法分別對其做降噪處理，其結(jié)果如圖3所示。其中，選用sym4小波基，分解層數(shù)選為3層，新閾值函數(shù)中將α取為0.1，β取為7。

圖3　不同降噪算法降噪結(jié)果

從視覺上，降噪效果很難評價(jià)，為了量化地評價(jià)降噪性能，采用信噪比和均方根誤差[10]作為評價(jià)指標(biāo)。信噪比指原始信號能量與噪聲能量的比值，記為SNR，其值越大，信號中噪聲含量越少，降噪效果越好；均方根誤差指重構(gòu)信號與原始信號的均方誤差，記為 RMSE，均方根誤差體現(xiàn)了原始信號和降噪之后的信號間的差異，均方根誤差越小，表示重構(gòu)信號與原始信號的差異越小，即降噪效果越好。其表達(dá)式分別如式(10)和式(11)所示。

各種降噪方法的性能指標(biāo)如表1所示。從表中可以看出，改進(jìn)的閾值降噪算法相比于其他算法，降噪后信噪比最大，均方根誤差最小，所以改進(jìn)的閾值降噪算法優(yōu)于其他算法。

表1　不同閾值函數(shù)降噪后結(jié)果對比

5　總結(jié)

本文分析了小波閾值降噪的原理，針對軟、硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)，提出了一種新的閾值函數(shù)，該閾值函數(shù)可以通過調(diào)整α和β參數(shù)來調(diào)整閾值函數(shù)，進(jìn)而獲得最佳的降噪效果。本文基于改進(jìn)的新閾值函數(shù)，并結(jié)合改進(jìn)的閾值確定方法，提出了一種新的閾值降噪算法。利用MATLAB進(jìn)行仿真分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本閾值降噪算法降噪性能優(yōu)于其他常用算法。

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A new wavelet threshold de-noising method based on improved threshold function

Ni Peifeng，Hu Xiong
(College of Logistics Engineering，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China)

Aiming at the defects of hard threshold function and soft threshold function in wavelet threshold de-noising algorithm,a new threshold function was proposed combining with the existing literatures.The new threshold function can overcome the weakness of traditional threshold functions,and guarantee the continuity of threshold function.At the same time,the function can be flexibly adjusted by changing the parameters.Based on the new threshold function,a new wavelet threshold de-noising algorithm was proposed combing with an improved threshold selection method.Though MATLAB simulation,several kinds of wavelet de-noising algorithm were tested and analyzed,using signal-to-noise ratio and root-mean-square-error as two indicators for evaluation.The results showed that the new noise reduction algorithm proposed obtained better noise reduction effect compared to the traditional denoising algorithm.

wavelet de-noising；threshold function；threshold selection；SNR；RMSE

TP391

A

10.16157/j.issn.0258-7998.2016.08.024

上海海事大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（YXR2015122）

倪培峰（1992-），通信作者，男，碩士研究生，主要研究方向：機(jī)電系統(tǒng)故障診斷、信號處理，E-mail：summitnpf@163.com。

胡雄（1962-），男，博士，教授，主要研究方向：機(jī)電系統(tǒng)故障診斷與系統(tǒng)集成。

中文引用格式：倪培峰，胡雄.一種基于改進(jìn)閾值函數(shù)的小波閾值降噪算法[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2016，42(8)：98-100，104.

英文引用格式：Ni Peifeng，Hu Xiong.A new wavelet threshold de-noising method based on improved threshold function[J].Application of Electronic Technique，2016，42(8)：98-100，104.