基于AR（1）模型的純保費(fèi)的Monte Carlo模擬研究

關(guān)清元，洪夢瑩

（武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山354300）

基于AR（1）模型的純保費(fèi)的Monte Carlo模擬研究

關(guān)清元，洪夢瑩

（武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山354300）

把隨機(jī)利率，轉(zhuǎn)化成年利率，然后用AR（1）模型進(jìn)行擬合，并利用SPSS軟件對擬合做出檢驗(yàn)。經(jīng)檢驗(yàn)擬合效果比較好，模型可用。以當(dāng)前熱銷的前海人壽保險(xiǎn)有限公司的萬能保險(xiǎn)為實(shí)證分析，用Monte Carlo模擬的方法，借助MATLAB軟件求出了躉繳純保費(fèi)，并預(yù)測了在3σ原則下的純保費(fèi)區(qū)間。

年平均加權(quán)利率；AR（1）模型；SPSS軟件；Monte Carlo模擬；3σ原則

在國內(nèi)，運(yùn)用MonteCarlo技術(shù)對純保費(fèi)所做的研究不多。1997年蔣慶榮[7]在《隨機(jī)利率下的終身壽險(xiǎn)》中得到了終身壽險(xiǎn)的純保費(fèi)的計(jì)算公式；2001年，良艷懷,瑪恩民[8]在《隨機(jī)利率下綜合人壽保險(xiǎn)模型》中，考慮了隨機(jī)過程函數(shù)，給出了綜合人壽保險(xiǎn)模型；2003年王麗艷,柳揚(yáng)[9]在《隨機(jī)利率下的準(zhǔn)備金與壽險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)分析》中采用了Bayes方法，得到了死亡率的經(jīng)驗(yàn)分布；2005年東明[10]在《申匯養(yǎng)老保險(xiǎn)中隱性債務(wù)的雙隨機(jī)模型》中采用了Wiener Process model對養(yǎng)老保險(xiǎn)隱性債務(wù)進(jìn)行建模。

以上這些論文沒有考慮用AR過程來模擬,運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明了用AR過程來建模，在現(xiàn)實(shí)生活中是可行的，然后采用Monte Carlo模擬的方法得到了特定條件下純保費(fèi)的分布區(qū)間。在實(shí)證分析中，運(yùn)用Matlab軟件并結(jié)合Spss軟件，首次對萬能保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)，進(jìn)行了大量快速的模擬，對提高萬能保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的精度進(jìn)行了新的嘗試。

1 隨機(jī)利率下的AR(1)模型

1.1 數(shù)據(jù)處理

中國人民銀行官方網(wǎng)站：一年期定期存款利率的調(diào)整如表1所示：

表1 存款利率

由于每次調(diào)整，都會相應(yīng)的維持一個時(shí)間區(qū)間，即可以把這些時(shí)間點(diǎn)看成是一個連續(xù)的時(shí)點(diǎn)序列。所以下面采用按照時(shí)間段加權(quán)的方法[11]，將其轉(zhuǎn)化為一個整數(shù)年的利率，公式為,其中表示當(dāng)年的平均利率水平，ik表示當(dāng)年第k個利率水平，fk則表示第k個利率水平所維持的天數(shù)。由此計(jì)算可得各年的年平均利率如表2所示：

表2 年平均利率

1.2 利率模型的擬合

根據(jù)設(shè)定的情景條件，對5個影響因素每隔0.5 h采集一次樣本數(shù)據(jù)，采用調(diào)查問卷法得到影響因素的定性判定數(shù)據(jù)。各因素風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)劃分為強(qiáng)+(A)，強(qiáng)(B)，中等(C)，弱(D)，弱-(E)5個狀態(tài)。

由于AR（1）模型是回歸模型的范疇，用SPSS軟件做散點(diǎn)圖如下：

圖1 前一年利率Xt-1與后一年利率Xt的關(guān)系散點(diǎn)圖

從圖1可以看出：Xt-1與Xt在較大程度上呈線性關(guān)系。所以初步判斷對其用AR（1）模型來擬合是可行的。

下面用SPSS軟件對Xt-1與Xt的數(shù)量關(guān)系來進(jìn)一步地求解，從而求出AR（1）模型的參數(shù)。以下為SPSS的分析結(jié)果表：

表3 回歸變異圖

由表3可以看出，Regression為184.028，Residual Total為26.597，對應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量的值為152.219，且152.219fF0.05（1，22）=4.30,又因?yàn)轱@著性水平sig.= 0.000?0.05所以可以認(rèn)為所建立的回歸方程有效。

表4 回歸系數(shù)表

由表4可以看出，非標(biāo)準(zhǔn)化的Regression coefficient的估計(jì)值為0.920，標(biāo)準(zhǔn)Error為0.075，標(biāo)準(zhǔn)化的Regression coefficient為0.935，回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量的值為且12.338，且12.338?t0.025（22）= 2.074,對應(yīng)的顯著性水平sig.=0.000?0.05,故可以認(rèn)為方程是顯著的。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)化殘差直方圖

圖2，反映了殘差的分布情況，根據(jù)圖形來看，殘差項(xiàng)基本符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

綜上所述，可得利率模型為：

2 前海人壽萬能保險(xiǎn)的montecarlo模擬實(shí)證

考慮到現(xiàn)在大多數(shù)人傾向于購買萬能保險(xiǎn)，且據(jù)一些保險(xiǎn)公司透露，在銷售的所有保險(xiǎn)產(chǎn)品中，萬能險(xiǎn)的比例已經(jīng)達(dá)到了30%～40%。萬能保險(xiǎn)既能夠提供人身保障，又能夠作為投資。

以前海人壽保險(xiǎn)股份有限公司銷售的萬能險(xiǎn)為例，由于萬能險(xiǎn)的保險(xiǎn)額度設(shè)計(jì)有多種，本文特根據(jù)《萬能保險(xiǎn)精算規(guī)定》做出如下假設(shè)：提供2.5%的結(jié)算收益率保底。

某男50歲投保前海人壽萬能保險(xiǎn)，保險(xiǎn)期間是10年，該男在保險(xiǎn)期內(nèi)身故，在年末公司支付1萬元的身故保險(xiǎn)金；如生存至期滿，同樣可獲得1萬元的滿期保險(xiǎn)金。試分析該男的躉繳純保費(fèi)[12]。以當(dāng)前2.38%的利率水平為基礎(chǔ)，對未來10a的利率情形進(jìn)行隨機(jī)模擬，得出躉繳純保費(fèi)的可能值，對上述過程進(jìn)行6000次MonteCarlo模擬，得出結(jié)果。

根據(jù)萬能保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)公式：

而在每年是變化利率的情況下，此式演變?yōu)?

根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)男性經(jīng)驗(yàn)生命表（2000～2003）可得：

前海人壽10年期萬能保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)Monte Carlo仿真的MATLAB代碼為:

forj=1:6000;

fori=1:9;

x(1)=2.38;

x(i+1)=x(i)*0.920+0.142+randn(1,1);

end;

y(j)=0.002666/(1+x(1)/100)+0.002872/(1+x(1)/100)/(1+x (2)/100)+0.003068/(1+x(1)/100)/(1+x(2)/100)/(1+x(3)/ 100)+0.003272/(1+x(1)/100)/(1+x(2)/100)/(1+x(3)/100)/ (1+x(4)/100)+0.003503/(1+x(1)/100)/(1+x(2)/100)/(1+x(3) /100)/(1+x(4)/100)/(1+x(5)/100)+0.003792/(1+x(1)/100)/ (1+x(2)/100)/(1+x(3)/100)/(1+x(4)/100)/(1+x(5)/100)/(1+x (6)/100)+0.004141/(1+x(1)/100)/(1+x(2)/100)/(1+x(3)/ 100)/(1+x(4)/100)/(1+x(5)/100)/(1+x(6)/100)/(1+x(7)/100) +0.004583/(1+x(1)/100)/(1+x(2)/100)/(1+x(3)/100)/(1+x (4)/100)/(1+x(5)/100)/(1+x(6)/100)/(1+x(7)/100)/(1+x(8)/ 100)+0.005146/(1+x(1)/100)/(1+x(2)/100)/(1+x(3)/100)/ (1+x(4)/100)/(1+x(5)/100)/(1+x(6)/100)/(1+x(7)/100)/(1+x (8)/100)/(1+x(9)/100)+0.005861/(1+x(1)/100)/(1+x(2)/ 100)/(1+x(3)/100)/(1+x(4)/100)/(1+x(5)/100)/(1+x(6)/100)/ (1+x(7)/100)/(1+x(8)/100)/(1+x(9)/100)/(1+x(10)/100)+ 0.9646/(1+x(1)/100)/(1+x(2)/100)/(1+x(3)/100)/(1+x(4)/ 100)/(1+x(5)/100)/(1+x(6)/100)/(1+x(7)/100)/(1+x(8)/100)/ (1+x(9)/100)/(1+x(10)/100)

end;

y

mean(y)

std(y)

通過此代碼，可以得到在Monte Carlo模擬下的平均躉繳純保費(fèi)mean（y）=8162元，標(biāo)準(zhǔn)差std(y)= 1070,則根據(jù)正態(tài)分布的3σ原則，可得躉繳純保費(fèi)以68.26%的概率落在區(qū)間[7092,9232]上,以99.74%的概率落在區(qū)間[4952,11372]上。又根據(jù)此險(xiǎn)種的保底收益率，可得實(shí)際躉繳純保費(fèi)以68.26%的概率落在區(qū)間[5540,7212]上,以99.74%的概率落在區(qū)間[3 868,8883]上。

3 小結(jié)

根據(jù)每個時(shí)間點(diǎn)的利率數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間加權(quán)平均、AR(1)模型的構(gòu)建以及用spss去做擬合的檢驗(yàn)。最后用Monte Carlo模擬的方法對前海人壽保險(xiǎn)公司一款熱銷的萬能保險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行躉繳純保費(fèi)的實(shí)證分析，此測算是借助MATLAB軟件平臺所做。對人壽保險(xiǎn)公司的其他的一些產(chǎn)品，可以類似的進(jìn)行擬合化的控制預(yù)測，對保險(xiǎn)公司定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)的控制提供了新的思路，對于保險(xiǎn)公司產(chǎn)品設(shè)計(jì)、運(yùn)營和監(jiān)控具有一定的借鑒意義。

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（責(zé)任編輯：夏婷婷）

Simulation of Pure Premium of Carlo Monte Based on AR(1)M ode

GUAN Qingyuan，HONG Mengyin
(School of Mathematics and Computer Science,Wuyi University,Wuyishan,Fujian 354300)

In this paper,it changes random interest rate into annual interest rate.Then it uses the AR(1)model to fit the rate.And it tests the fitting by using the SPSS Software model.lt calculates the net single premium by using matlab software and it predicts the pure premium interval of the principle of“three”,taking for example universal life insurance,hotly sold by sea life insurance company, by using the method of Monte Carlo simulation.

average weighted interest rate;AR(1)model;SPSS software;Monte Carlo simulation;threeσprinciple

F224；F842

A

1674－2109(2016)09－0073－04

2016-03-24

武夷學(xué)院科技類項(xiàng)目(XD201405)；國家級大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目(201410397002)。

關(guān)清元(1981-)，男，漢族，講師，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)、保險(xiǎn)精算方向研究。