對重力加速度幾種測量方法的比較研究

胡 飛 黃邦蓉

(云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650500)

(收稿日期：2016-04-29)

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對重力加速度幾種測量方法的比較研究

胡 飛 黃邦蓉

(云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650500)

(收稿日期：2016-04-29)

重力加速度g是物理學中的一個重要物理量，它受物體所處位置的緯度、海拔以及地質構造等因素影響.因此，不同地區(qū)的g值一般都不相同.就本科階段的g值測量方法進行歸納總結，結合實驗室所能提供的儀器，從單擺法、自由落體運動法、傾斜氣墊導軌法以及平衡法4個測量g值的實驗出發(fā)，通過對其實驗原理、器材選擇、實驗數據處理以及誤差分析等方面進行比較和研究，找出適合昆明地區(qū)實驗室測量g值的最佳方法.

重力加速度 單擺法 自由落體運動法 傾斜氣墊導軌法 平衡法

1 引言

重力加速度是物體受重力作用的情況下所具有的加速度，也稱為自由落體加速度，通常指地球表面附近物體受地球引力作用在真空中下落的加速度，在物理學中用g來表示.重力加速度g的方向總是豎直向下的，在同一位置，任何物體的重力加速度g值都是相同的.事實上，由于不同地區(qū)的地理緯度、海拔高度以及地質構造等存在差異，導致不同地區(qū)的重力加速度g值不相同.一般來說，重力加速度g的數值會隨海拔高度的升高而減小.當物體距離地面高度遠遠小于地球半徑時，重力加速度g的數值變化不大，但是當物體距離地面高度遠遠大于地球半徑時，重力加速度g的數值將顯著減小，此時就不能認為g是一個常量[1].另外，處于相同海拔高度的物體的重力加速度g值也會隨著地理緯度的增大而增大，通常地球赤道處的重力加速度最小，地球兩極處的重力加速度最大.由于不同地區(qū)的重力加速度g值不同，使得重力加速度g成為一個重要的地球物理學參數.

在地震預報、地質勘探、空間氣象和大地物理學等領域的研究中都需要精確測量重力加速度g值.目前，國內外對重力加速度g值的測量已經向著高精度的方向發(fā)展，隨著冷原子物理技術的發(fā)展與成熟，原子干涉儀被應用在了高精度重力加速度g值測量領域[2].1999年，朱棣文小組利用原子干涉儀獲得的絕對重力加速度精度為3×10-9g[2,3].2002年，耶魯大學的Kasevich小組使用兩個原子干涉儀測得重力加速度梯度的精度為40E(1E=10-9/s2)[2,4].但是現代普通生產技術條件下所使用的重力加速度g值對精度要求不高，一般使用經典力學物理實驗室常用測量手段就可以滿足.經典力學物理實驗室條件下測量重力加速度g值的常見方法有以下幾種：基于阿基米德定律測量重力加速度、利用多普勒效應測定重力加速度、單擺法、自由落體運動法(落球法)、傾斜氣墊導軌法、平衡法等.本文將結合我院普通力學實驗室基本設施，針對這些經典力學物理實驗室測量重力加速度g值的常用方法以及自主設計的測量方法進行探討，通過實驗操作，數據記錄與處理計算得出昆明地區(qū)的重力加速度g值，最后從測量方法的可行性、操作的復雜程度、實驗數據處理的難易程度以及實驗結果的誤差大小等方面來進行綜合比較和研究，并最終找出在經典力學物理實驗室中測量昆明地區(qū)重力加速度g值的最佳方法.

2 測量重力加速度g的方法

2.1 單擺法

2.1.1 實驗原理

將一根不可伸長的輕繩一端固定，在輕繩的另一端上懸掛一金屬小球.若輕繩的質量遠遠小于金屬小球的質量，并且金屬小球的直徑又比輕繩長度小得多，金屬小球做幅角θ很小的擺動，這樣的裝置就是一個單擺.在忽略空氣阻力、擺線質量和伸長等因素對實驗結果的影響，同時單擺幅角很小(θ<5°)的情況下，單擺擺動可看作簡諧振動，該簡諧振動的振動周期為

(1)

式中l(wèi)是單擺的擺長(擺線長加金屬小球半徑)，g是重力加速度，T是單擺擺動周期.因此，只要測出單擺的擺長l和擺動周期T，就可以計算得出重力加速度g.

實驗中，只測量一個周期時的相對誤差較大，通常需要通過測量連續(xù)擺動n個周期的時間t來確定擺動周期T，即t=nT，代入式(1)中整理得重力加速度g的計算公式為

(2)

2.1.2 實驗儀器和用具

單擺，鋼卷尺，游標卡尺，停表.

2.1.3 實驗步驟

(1)安裝實驗儀器，用游標卡尺測量出金屬小球直徑，記為d，反復測量6次，取平均；

(2)用鋼卷尺測出擺線長度，記為L，反復測量6次，取平均；

(3)拉開單擺的金屬小球，使單擺自由擺動.測量在幅角θ<5°的情況下單擺連續(xù)擺動n=50次所需要的時間，記作t，重復測量6次，取平均；

(4)根據測量數據，計算得出擺長l，最后參照式(2)計算得到重力加速度g值.

2.1.4 實驗記錄與結果

實驗數據如表1所示.

表1 單擺法測重力加速度

2.2 自由落體運動法(落球法)

2.2.1 實驗原理

忽略空氣阻力不計，物體只受重力作用由靜止開始下落的運動，叫作自由落體運動.自由落體運動是初速度為零、加速度為g的勻加速直線運動.

測量時，設兩光電門1和2之間的距離為s，金屬球下落至光電門1時的速度為v1，通過兩光電門的時間為t，由勻加速直線運動規(guī)律得

(3)

兩邊同除以t，得

(4)

(5)

g=2b

(6)

2.2.2 實驗儀器和用具

自由落體裝置，數字毫秒計，光電門(2個)，金屬小球.

2.2.3 實驗步驟

(1)調節(jié)實驗裝置立柱成鉛直，使金屬小球能通過光電門1和2的中點；

(2)將上面的光電門1調節(jié)至離小球下落起點0.1 m處，即x1=0.1 m；

(3)將下面的光電門2調節(jié)至離小球下落起點0.6 m處，無初速度釋放金屬小球，使用毫秒計0.1 ms擋測6次時間t.然后，將光電門2依次下移0.2 m，每次測6次時間t，直至光電門2移到x2=1.0 m為止;

(4)計算各組測量的s和t對應的x和y值，采用最小二乘法作直線擬合，計算得出斜率b，最后參照式(6)求出重力加速度g值.

2.2.4 實驗記錄與結果

實驗數據如表2所示.

表2 自由落體運動法測量重力加速度

采用最小二乘法對數據進行處理

計算b的標準偏差為

由式(6)求得重力加速度g值為

g=2b=9.639 40 m·s-2

u(g)=2sb=0.236 16 m·s-2

2.3 傾斜氣墊導軌法

2.3.1 實驗原理

滑塊在傾斜導軌上的加速度a和重力加速度g的關系：設導軌傾斜角為θ，滑塊質量為m，則

ma=mgsin θ

(7)

(8)

上式中的比例系數b，稱為等效粘性阻尼系數.考慮此阻力后，式(7)改為

(9)

整理后，重力加速度g等于

(10)

實驗中參照式(10)去求重力加速度g.

2.3.2 實驗儀器和用具

氣墊導軌,滑塊,數字毫秒計,游標卡尺,墊塊.

2.3.3 實驗步驟

(1)導軌調平.調平導軌本應是將平直的導軌調成水平方向，但是實驗室現有的導軌都存在一定的彎曲，因此,此處“調平”的意義是指將光電門A和B所在兩點，調到同一水平線上.檢查調平的要求：1)滑塊從A向B運動時，vA>vB；相反時，vA

(11)

(3)測量加速度a.保持m,s,d不變，將導軌一端墊高H，測出兩支點間的距離為L，如圖1所示.

圖1 傾斜氣墊導軌法測量重力加速度

(12)

(13)

(4)參照式(10)計算得出昆明地區(qū)的重力加速度g值及其標準不確定度.

2.3.4 實驗記錄與結果

(1)粘性阻尼系數b

測粘性阻尼系數b相關數據如表3所示.

表3 測量氣墊導軌的粘性阻尼系數b

注：根據式(11)計算得出氣墊導軌的粘性阻尼系數b.

參照表3可得

代入數據得

(2)重力加速度g

測量重力加速度g實驗數據如表4所示.

表4 傾斜氣墊導軌法測量重力加速度

參照式(10)，計算得出昆明地區(qū)的重力加速度g為

g=9.852 m·s-2

2.4 平衡法

2.4.1 實驗原理

用彈簧測力計和已知質量的鐵塊測量重力加速度g，將已知質量為m的鐵塊懸掛在彈簧測力計上，保證彈簧測力計和鐵塊的重心在同一鉛垂線上，待彈簧測力計平衡后，讀出彈簧測力計示數為F=G=mg.即物體的重力加速度g為

(14)

2.4.2 實驗儀器和用具

彈簧測力計(2 N),分析天平,鐵塊.

2.4.3 實驗步驟

(1)使用分析天平測出鐵塊的質量m；

(2)對彈簧測力計調零，然后將鐵塊豎直懸掛在彈簧測力計上，待彈簧測力計平衡后，讀出彈簧測力計示數F；

(3)參照式(14)，求出重力加速度g.

2.4.4 實驗記錄與結果

平衡法測重力加速度數據如表5所示.

表5 平衡法測重力加速度

3 實驗誤差分析

3.1 昆明地區(qū)重力加速度g標準值的獲取

計算物體重力加速度g值在地球表面引力場中的分布主要有兩種理論模型.一種是應用在精密的地球科學和軍事領域內的模型計算，它需要考慮到地球內部各處密度的差異以及陸地與海洋的差異等諸多因素，然后建模計算.另一種是由潘留仙教授提出來的，其理論將地球近似看成一個圓形的球體，不考慮地球各處的密度及其表面的陸地海洋的分布差異，認為地球是一個質量分布均勻的球體，通過建立模型推導計算得出不同海拔高度和緯度處的重力加速度g值，公式為

(15)其中g0表示地球標準重力加速度，公認值為9.806 65 m·s-2；φ表示測量點的地球緯度；H表示測量點的海拔高度；R表示地球的平均半徑，其公認值為6 370 km.經查閱資料得知昆明地區(qū)的緯度為φ=25°02′11″，相對海拔高度為H=1 891 m，參照式(15)，計算可得知昆明地區(qū)的標準重力加速度g值，記作g標=9.783 6 m·s-2.

3.2 單擺法測量誤差分析

3.2.1 理論分析

在用單擺法測重力加速度的測量過程中，誤差的主要來源大致有如下幾個方面：

(1)在測量細繩長度時，鋼卷尺會彎曲，導致測量結果偏大.停表本身也不準確；

(2)對儀器的操作不準確；

(3)儀器測量讀數不準確；

(4)理想單擺的擺線質量要求為零，但是事實上擺線質量不為零；

(5)理想單擺的擺球要求可看作一質點，但事實上擺球體積不為零；

(6)單擺測量重力加速度的周期為

事實上其應該為

在θ<5°時，才能忽略公式中的高次項，但實際操作中很難保證幅角θ每次都小于5°，所以幅角θ大小引入測量結果的誤差是不可忽略的；

(7)理論上，單擺實驗要求無外力作用，但事實上實驗環(huán)境中存在空氣阻力和空氣浮力；

(8)支點狀態(tài)不理想；

(9)支架震動或空氣流動.

3.2.2 不確定度的計算

單擺法測重力加速度g的不確定度傳遞公式為

(16)

(1)求l的u(l)：鋼卷尺Δins=0.001 m；游標卡尺Δins=0.000 02 m，經計算

最后參照式(16)，求得

3.3 自由落體運動法測量誤差分析

3.3.1 理論分析

在用自由落體運動法測重力加速度的測量過程中，測量誤差主要來源有如下幾個方面：

(1)實驗儀器自身引入的系統誤差；

(2)實驗裝置的鉛直程度調節(jié)不到位；

(3)支架震動和空氣流動引入的誤差；

(4)吹氣皮球吸住小球時，小球在重力作用下掉落，事實上小球并不是無初速度下落，因為吹氣皮球中剩余的空氣對小球存在推力，使小球下落時就具有一定的初速度，此時引入的誤差不可忽略；

(5)人為因素引入的誤差，即儀器測量讀數不準確；

(6)小球下端的位置和光電門上指示的位置不一致而使測得的s有比較大的誤差.

3.3.2 不確定度的計算

計算b的標準偏差為

g=2b=9.639 40 m·s-2

3.4 傾斜氣墊導軌法測量誤差分析

3.4.1 理論分析

在用傾斜氣墊導軌法測重力加速度的實驗過程中，測量誤差主要來源有如下幾個方面：

(1)光電計時系統的光電轉換不等時性[6]；

(2)滑塊在運動過程中所受的各種阻尼.導軌和滑塊之間由于氣流的相對運動而產生的一種內摩擦力(粘滯性阻力)的影響，使得實驗結果往往和理論上所預期的結果偏離較大[6]；

(4)氣源提供的空氣流量、氣壓不穩(wěn)定造成空氣膜(氣墊)不均勻而引起的系統誤差；

(5)氣墊導軌彎曲帶來的系統誤差.理想氣墊導軌實驗中，總是將導軌看成一根平直的導軌來看待，但在現有實驗室條件下由于長時間使用導軌，導軌有不同程度的損壞，都存在一定的彎曲，對實驗結果造成了不容忽視的系統誤差.

3.4.2 不確定度的計算

參照式(10)推導得出傾斜氣墊導軌法測重力加速度g的不確定度傳遞公式為

u(g)=

(17)直接計算比較復雜，可先計算間接結果.

最后參照式(10)和式(17)求得重力加速度g值和不確定度u(g)為

g=(9.852±0.031) m·s-2

u(g)=0.031 m·s-2

3.5 平衡法測量誤差分析

3.5.1 理論分析

平衡法測量重力加速度實驗原理簡單，實驗儀器也比較常見，但是誤差較大，主要誤差來源有：

(1)彈簧測力計老化，導致彈簧的勁度系數發(fā)生變化，致使測量得到的F不準確；

(2)分析天平稱量不準確，致使測量得到的小鐵塊m不準確；

(3)人為讀數誤差對實驗結果影響也比較大.

3.5.2 不確定度的計算

參照式(14)推導得出平衡法測重力加速度g的不確定度傳遞公式為

(18)

(1)求m的u(m)：Δins=0.00 001 kg，經計算

代入數據得

u(m)=2.40×10-6kg

(2)求F的u(F)：Δins=0.01 N，經計算

代入數據得

u(F)=4.36×10-3N

最后參照式(18)，求出

0.000 27 m·s-2

4 4種重力加速度g的測量方法的比較與評價

4.1 實驗結果比較與評價

在實驗環(huán)境相似的條件下，通過規(guī)范實驗操作，保證上述測量結果都具有較高的可信度.現將4種測量結果與昆明地區(qū)的重力加速度標準值g標=9.783 6 m·s-2進行比較，如表6所示.

表6 實驗結果比較表

參照表6，可以看出使用平衡法測量重力加速度的數據離散程度最大，實驗結果誤差最大，所以平衡法只適合用來對g進行粗測；自由落體運動法測重力加速度實驗中的理論模型為理想化模型，但是實驗環(huán)境中存在空氣阻力、浮力，其對實驗結果的影響不容忽視，同時處理數據時采用最小二乘法，只能近似使用，也會導致計算結果存在偏差，整體而言，自由落體運動法測量不確定度較大，誤差也較大；雖然單擺法和傾斜氣墊導軌法的測量結果誤差相近，但是單擺法的測量數據離散程度較小，測得的重力加速度也更接近標準值，所以使用單擺法來測量重力加速度的實驗結果更精確、可靠.

4.2 測量方法的比較與評價

將上述4種重力加速度測量方法從實驗原理的難易程度，器材選擇的簡便程度，實驗數據獲取和處理的復雜程度以及測量結果的可信度等多方位來進行綜合比較評價，結果如表7所示.

表7 測量方法綜合比較表

參照表7，綜合考量，選擇單擺法測量重力加速度是昆明地區(qū)實驗室中測量重力加速度最佳的一種實驗方法.

5 結束語

本文結合經典力學物理實驗室中常用的重力加速度的測量方法，借助我院力學實驗室基本設施，對單擺法、自由落體運動法、傾斜氣墊導軌法、平衡法4種測量方法進行綜合比較與分析，得到以下幾點結論：

(1)使用單擺法測量g值時操作相對簡單，誤差最小，并且可重復性高；

(2)平衡法測量g值最簡單，但實驗誤差較大，只適合對g值進行粗測或估測；

(3)自由落體運動法和傾斜氣墊導軌法測量過程較為復雜，并且測量結果受實驗環(huán)境和儀器自身的影響較大.

綜合考量，推薦昆明地區(qū)實驗室測量重力加速度時采用單擺法.

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Comparative Study on Several Methods of Measuring Acceleration of Gravity

Hu Fei Huang Bangrong

(Physical and Electronic Information College, Yunnan Normal University,Kunming,Yunnan 650500)

Gravitational acceleration (g) is an important physical quantity which is influenced by various factors such as location, latitude and geological structure and other factors of the object. It varies in different regions. In article it is summarized g value measurement adopted by an undergraduate course, considering equipments laboratory could offer, We utilized methods of simple pendulum, free-fall motion, inclined air cushion guide rail, to compare and research on the experiment principle, equipment selection, data processing and error analysis, in order to find out a most suitable laboratory measurement of g value in Kunming region.

acceleration of gravity;simple pendulum method; the free fall motion method;inclined air cushion guide rail;equilibrium method

胡飛(1994- )，男，本科在讀，物理學專業(yè).

黃邦蓉(1974- )，女，碩士，講師，主要從事大學物理相關專業(yè)課的教學及研究.