用數(shù)學(xué)方法點(diǎn)亮物理思維

徐飛翔

(靈璧縣第一中學(xué) 安徽 宿州 234200)

(收稿日期：2016-04-06)

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用數(shù)學(xué)方法點(diǎn)亮物理思維

徐飛翔

(靈璧縣第一中學(xué) 安徽 宿州 234200)

(收稿日期：2016-04-06)

在具體的物理問(wèn)題中，注重啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)與物理相結(jié)合的能力.根據(jù)物理場(chǎng)景，靈活運(yùn)用歸納法、曲線(xiàn)方程、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)，提煉出數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建數(shù)學(xué)方程.運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)科融合，發(fā)展學(xué)生智力，滲透STEM教育.

數(shù)學(xué)方法 物理思維 歸納法 曲線(xiàn)方程 STEM教育

在自然科學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，物理和數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系相互滲透.物理教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力.在物理習(xí)題教學(xué)中，要注意滲透數(shù)學(xué)思維方法.數(shù)學(xué)方法與物理場(chǎng)景結(jié)合，能夠激發(fā)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S習(xí)慣.

1 理論依據(jù)

在《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定課程具體目標(biāo)時(shí)強(qiáng)調(diào)：通過(guò)物理概念和規(guī)律的學(xué)習(xí)過(guò)程，了解物理學(xué)的研究方法，認(rèn)識(shí)物理實(shí)驗(yàn)、物理模型和數(shù)學(xué)工具在物理學(xué)發(fā)展過(guò)程中的作用[1].這里明確提出物理模型與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合的思維訓(xùn)練.在物理高考考試說(shuō)明中規(guī)定：(1)能夠根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；(2)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析[2].在近年興起的STEM(科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué))教育中[3],也強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與物理工程科學(xué)的融合對(duì)學(xué)生未來(lái)發(fā)展的重要作用.

2 應(yīng)用舉例

【例1】一般指針式鐘表中的時(shí)針、分針與秒針都可視為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，分針與秒針從第一次重合至第二次重合，中間經(jīng)歷的時(shí)間為( )

解析：本題是一道經(jīng)典的圓周運(yùn)動(dòng)的追及問(wèn)題.常規(guī)思路是秒針再次和分針重合，必定秒針比分針多轉(zhuǎn)了一周即2π弧度，設(shè)秒針的角速度為ω1，分針的角速度為ω2，則

這里n→∞.此式中第1項(xiàng)到第 n項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，聯(lián)系等比數(shù)列求和的通項(xiàng)公式

代入數(shù)據(jù)

此題運(yùn)用邏輯推理的方法，歸納出兩針再次相遇時(shí)間的表達(dá)式，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，分析解決物理問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的思辨能力.

【例2】如圖1，一質(zhì)點(diǎn)以速度v從傾角為θ的斜面底端斜向上拋出，速度v的水平分量為v0,落到斜面上的M點(diǎn)且速度水平向右.現(xiàn)將該質(zhì)點(diǎn)以2v的速度從斜面底端朝相同方向拋出，落在斜面上的N點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是( )

A．從出發(fā)點(diǎn)到M點(diǎn)和從出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)所用的時(shí)間之比為1∶2

B．落到M和N兩點(diǎn)時(shí)速度之比為1∶1

C．M和N兩點(diǎn)的高度之比為1∶2

D．落到N點(diǎn)時(shí)速度方向水平向右

圖1 質(zhì)點(diǎn)從斜面底端斜向上拋

解析：由于落到斜面上M點(diǎn)時(shí)速度水平向右，故可把質(zhì)點(diǎn)在空中的運(yùn)動(dòng)逆向看成從M點(diǎn)向左的平拋運(yùn)動(dòng).如圖2所示，從斜面上的M點(diǎn)以初速度v0平拋一物體，以M 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不計(jì)空氣阻力，經(jīng)時(shí)間t，物體落在斜面上時(shí)其速度為v,水平位移和豎直位移分別為x，y.

圖2 質(zhì)點(diǎn)從斜面上M點(diǎn)水平拋出

可得

(1)

則有

(2)

對(duì)落點(diǎn)處分解速度如圖3所示.

圖3 在落點(diǎn)處分解速度

則有

(3)

α=arctan(2tan θ)-θ

(4)

可見(jiàn)，從斜面上任意位置水平拋出物體落到斜面上時(shí)速度方向與斜面的夾角都相同，角度為α.反之，逆向思維，若從斜面底端與斜面夾角為α，斜向上拋出物體落到斜面上時(shí)達(dá)到最高處，速度方向剛好水平.依本題意，若物體以2v的速度從斜面底端朝相同方向拋出，則落到N點(diǎn)時(shí)速度方向水平向右,可知D正確.又根據(jù)

又由

vy=gt

(5)

得出

(6)

又由落點(diǎn)的速度公式

(7)

小結(jié)：本題的一個(gè)重要思路是斜上拋運(yùn)動(dòng)的逆向思維.斜上拋運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程逆看為平拋運(yùn)動(dòng).那么，換一種思維方式，對(duì)上圖1用斜上拋運(yùn)動(dòng)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)再來(lái)分析這一題會(huì)怎樣呢？

如圖4所示，假設(shè)物體斜上拋的速度與水平方向的夾角為β且β=α+θ.由斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)，取水平、豎直方向?yàn)閤軸、y軸，t 時(shí)刻物體的坐標(biāo)為

圖4 對(duì)斜上拋物體進(jìn)行分析

由以上兩式聯(lián)立消去參數(shù)t,可得到斜拋物體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程

由拋物線(xiàn)方程得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

兩式相除可得

所以有

上式表明沿同一方向拋出的各個(gè)物體所到達(dá)的最高

tan(α+θ)=tan β=2tan θ

在教學(xué)中結(jié)合具體物理問(wèn)題，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，注重滲透“STEM”教育，對(duì)理科學(xué)生的思維能力發(fā)展是大有幫助的.

1 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn).北京:人民教育出版社,2004

2 中華人民共和國(guó)教育部.2016年高考考試說(shuō)明——理科綜合.北京:人民教育出版社,2015

3 朱學(xué)彥,孔寒冰.科技人力資源開(kāi)發(fā)探究——美國(guó)STEM 學(xué)科集成戰(zhàn)略解讀.高等工程教育研究, 2008(2)

4 楊榕楠.更高更妙的物理.杭州:浙江大學(xué)出版社,2013.42

徐飛翔(1975- ),男,本科，中教一級(jí)，主要從事中學(xué)物理教學(xué)與研究.