具有隔離策略的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型周期解*

宋利民，張子振

(1. 聊城教育學(xué)院計算機系，山東聊城 252004；2. 安徽財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

?

具有隔離策略的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型周期解*

宋利民1，張子振2

(1. 聊城教育學(xué)院計算機系，山東聊城 252004；2. 安徽財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

研究一類具有隔離策略的時滯SIQR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的動力學(xué)行為.以殺毒軟件查殺網(wǎng)絡(luò)病毒所需要的時間周期時滯為分岔參數(shù)，給出模型局部漸近穩(wěn)定的充分條件，并確定了模型產(chǎn)生Hopf分岔的時滯臨界點.利用中心流形定理和規(guī)范型理論推導(dǎo)出確定模型周期解性質(zhì)的顯性計算公式.最后給出仿真示例，驗證了所得理論結(jié)果的正確性.

SIQR 模型； Hopf分岔；穩(wěn)定性；周期解

引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)和信息技術(shù)的發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)的應(yīng)用越來越廣泛.與此同時，互聯(lián)網(wǎng)的應(yīng)用也給網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播提供了諸多途徑，給互聯(lián)網(wǎng)用戶帶來巨大的損失.因此，如何研究網(wǎng)絡(luò)病毒傳播規(guī)律并有效控制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播，成為目前研究的熱門課題.考慮到網(wǎng)絡(luò)病毒在計算機之間的傳播和生物病毒在個體之間的傳播的共性，Kephart和White[1～2]首次利用SIS傳染病模型研究了網(wǎng)絡(luò)病毒在互聯(lián)網(wǎng)上的傳播規(guī)律.隨后，國內(nèi)外不少研究學(xué)者提出了許多不同的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型[3-5].Piqueira和Araujo[3]提出了一類改進的SIR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，得到模型局部和全局漸近穩(wěn)定的充分條件.Gan等[5]提出一類具有免疫和非線性發(fā)生率的SIRS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，并證明了無病毒平衡點和有病毒平衡點的全局漸近穩(wěn)定性.

但是，任何網(wǎng)絡(luò)病毒都有一定的潛伏期，殺毒軟件查殺病毒需要一定的時間周期.考慮到網(wǎng)絡(luò)病毒傳播過程中的這些延遲因素，具有時滯的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的動力學(xué)性質(zhì)受到國內(nèi)外研究學(xué)者的關(guān)注[6～8].楊在文獻[6]中提出了下列具有隔離策略的時滯SIQR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型：

(1)

其中，S(t) ，I(t) ，Q(t) 和R(t) 分別表示易感主機、已感染主機、被隔離主機和處于恢復(fù)狀態(tài)主機在時刻t 的數(shù)量；τ為網(wǎng)絡(luò)病毒潛伏期時滯；p ，b，β，d，δ，α1，γ，ε和α2均為模型(1)的參數(shù)，具體意義可以參看文獻[6]. 楊[6]研究了模型(1)的全局吸引性和持續(xù)性.對于動力學(xué)模型而言，其動力學(xué)性質(zhì)，除了全局吸引性以外，還有諸如分岔和周期解等性質(zhì).基于此，并考慮到殺毒軟件查殺病毒的時間周期，本文研究另外一種情形的時滯SIQR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的周期解：

(2)

其中，τ為殺毒軟件查殺網(wǎng)絡(luò)病毒所需要的時間周期時滯.本文主要研究時滯τ對模型(2)穩(wěn)定性的影響.

1 模型穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性

因此，可得模型(2)在正平衡點D*(S*,I*,Q*,R*)處的特征方程為：

λ4+m3λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n3λ3+n2λ2+n1λ+n0)e-λτ+(p2λ2+p1λ+p0)e-2λτ=0.

(3)

其中，

m0=(a11a22-a12a21)a33a44, m1=(a12a21-a11a22)(a33+a44)-a33a44(a11+a22),

m2=a11a22+a33a44-a12a21+(a11+a22)(a33+a44), m3=-(a11+a22+a33+a44),

n0=(a11a22-a12a21)a44b33+a11a33a44b22, n1=a12a21b33-b22(a11a33+a11a44+a33a44)-b33(a11a22

+a11a44+a22a44),

n2=b22(a11+a33+a44)+b33(a11+a22+a44),n3=-(b22+b33),

p0=b22b33,p1=-b22b33(a11+a44),p2=a11a44b22b33.

當(dāng)τ=0時，方程(3)變?yōu)?/p>

λ4+m03λ3+m02λ2+m01λ+m00=0.

(4)

其中，

m03=m3+n3,m02=m2+n2+p2,m01=m1+n1+p1,m00=m0+n0+p0.

根據(jù)Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)可知，如果條件(H1)成立，則當(dāng)τ=0時模型(2)局部漸進穩(wěn)定.

當(dāng)τ>0時，方程(3)左右兩邊同時乘以eλτ，方程(3)變?yōu)橄铝行问?/p>

n3λ3+n2λ2+n1λ+n0+(λ4+m3λ3+m2λ2+m1λ+m0)eλτ+(p2λ2+p1λ+p0)e-λτ=0.

(5)

令λ=iω(ω>0)為方程(5)的根，得到

(6)

其中，

g1(ω)=(m1+p1)ω-m3ω3,g2(ω)=ω4-(m2+p2)ω2+m0+p0,g3(ω)=n2ω2-n0,

g4(ω)=g1(ω),g5(ω)=ω4-(m2-p2)ω2+m0-p0,g6(ω)=n3ω3-n1ω.

進而可以得到關(guān)于ω的下列代數(shù)方程

sin2τω+cos2τω=1.

(7)

如果模型(2)的所有參數(shù)值給定，則方程(7)的根可以利用Matlab軟件直接求得.因此，為了得到本文的主要結(jié)果，給出下列假設(shè).

(H2) 方程(7)至少存在一個正實根.

如果條件(H2)成立，則存在ω0>0使得方程(3)存在一對純須根±iω0.對于ω0有，

對于方程(5)，左右兩邊同時求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)，得到

定理1 如果條件(H1)～(H3)成立，則當(dāng) τ∈[0,τ0)時模型(2)的正平衡點D*(S*,I*,Q*,R*)是局部漸進穩(wěn)定的.當(dāng)τ=τ0時模型 (2) 失去穩(wěn)定并產(chǎn)生Hopf分岔，并且在D*(S*,I*,Q*,R*)附近產(chǎn)生一簇分岔周期解.

2 模型周期解性質(zhì)

做下列轉(zhuǎn)換t→(t/τ),u1(t)=S(t)-S*, u2(t)=I(t)-I*,u3(t)=Q(t)-Q*, u4(t)=R(t)-R*,τ=τ0+μ, μ∈R. 則μ=0是模型(2)產(chǎn)生Hopf分岔的臨界點，并且模型(2)可以轉(zhuǎn)化為下列形式

(8)

其中，

ut=(u1(t),u2(t),u3(t),u4(t))T∈C=C([-1,0],R4)，

(9)

(10)

根據(jù)Riesz表示定理可知，存在有界變差函數(shù)η(θ,μ),θ∈[-1,0]使得

(11)

可以選取

(12)

對于φ∈C([-1,0]),R4)，定義

(13)

和

(14)

則模型(8)可以轉(zhuǎn)化為下列算子方程形式

15)

對于φ∈C1([-1,0]),(R4)*)，定義A(0)的伴隨算子A*

(16)

以及雙線性內(nèi)積

(17)

其中η(θ)=η(θ,0).

根據(jù)A(0)和A*的定義，可以計算得到A(0)的對應(yīng)于+iω0τ0的特征向量ρ(θ)和A*的對應(yīng)于-iω0τ0的特征向量ρ*(θ),

其中，

接下來，利用文獻[11]中的算法和相似的計算步驟，可以得到下列影響模型(2)的分岔周期解性質(zhì)的重要參數(shù)表達式：

其中，

(18)

(19)

E1和E2的表達式可以由下列方程計算得到:

(20)

(21)

其中，

最后，可以計算得到下列參數(shù)的表達式：

β2=2Re{C1(0)},

(22)

最后，可以得到如下關(guān)于分岔周期解的結(jié)論.

定理2 對于模型 (2), 如果μ2>0(μ2<0) , 則Hopf分岔是超臨界(次臨界)的；如果β2<0(β2>0),則分岔周期解是穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的；如果T2>0(T2<0), 則分岔周期解的周期是遞增(遞減)的.

3 仿真示例

選取p=0.2,β=0.1, d=0.01,α1=0.01, γ=0.5,δ=0.1, ε=0.1, α2=0.02, b=10得到模型 (2)的下列示例:

(23)

經(jīng)過直接計算可得R0=129.032 3>1，模型(23)存在唯一正平衡點D*(6.200 0, 12.803 2, 9.848 6,938.646 0). 進而可以驗證條件(H1)～(H3)成立.最后，計算得到ω0=1.602 2, τ0=1.785 2.根據(jù)定理1，當(dāng)τ∈[0,τ0=1.785 2)時，模型(23)的正平衡點D*是局部漸近穩(wěn)定的.仿真效果如圖1所示.當(dāng)τ=τ0時，D*將失去穩(wěn)定性，并產(chǎn)生一簇分岔周期解.仿真效果如圖2所示.

另外，經(jīng)過計算得到，C1(0)=-82.092 1+16.131 4i，λ′(τ0)=1.870 2+9.325 5i.根據(jù)公式(22)可得μ2=43.894 8>0,β2=-164.184 2<0,T2=-148.753 7<0.根據(jù)定理2可知，模型(23)在τ0=1.785 2處所產(chǎn)生的Hopf分岔是超臨界的，分岔周期解是穩(wěn)定的并且分岔周期解的周期是遞減的.

4 小結(jié)

基于文獻[6]所提出的時滯SIQR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，并考慮到殺毒軟件對網(wǎng)絡(luò)病毒進行查殺時所需要的時間周期，本文研究了另外一種形式的時滯SIQR網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型.以時滯τ為分岔參數(shù)，通過分析相應(yīng)特征方程根的分布情況，給出模型局部漸近穩(wěn)定和產(chǎn)生Hopf分岔的充分條件，并確定時滯臨界點τ0的計算公式.研究表明，當(dāng)時滯τ取值足夠小時(τ<τ0),模型是局部漸近穩(wěn)定的，此時模型處于理想的穩(wěn)定狀態(tài)，便于采取有效措施控制網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播.當(dāng)時滯τ=τ0時，模型將失去穩(wěn)定性并產(chǎn)生Hopf分岔.此時，網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播規(guī)律難以把控，很難采取有效措施對網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播進行控制.另外，利用中心流形定理和規(guī)范型理論對模型的分岔周期解的性質(zhì)進行了研究，給出了影響分岔周期解性質(zhì)的參數(shù)的詳細(xì)計算公式.最后，利用仿真示例驗證了所得結(jié)果的正確性.

圖1 當(dāng)τ=1.652 7<τ0=1.785 2，初值” 10.05, 10.29, 9.6, 937.665”時模型(23)的相圖

圖2 當(dāng)τ=1.853 5>τ0=1.785 2，初值” 10.05, 10.29, 9.6, 937.665”時模型(23)的相圖

[1]J.O.Kephart,S.R.White.Measuringandmodelingcomputervirusprevalence[C].in:IEEEComputerSecuritySymposiumonResearchinSecurityandPrivacy,IEEE, 1993, 2-15.

[2] J. O. Kephart, S. R. White.Directed-graph epidemiological models of computer viruses[C]. in: IEEE Symposium on Security and Privacy, 1991, 343-361.

[3] J. R. C. Piqueira, V. O. Araujo.A modified epidemiological model for computer viruses[J].Applied Mathematics and Computation, 2009,213(2):355-360.

[4] H. Yuan and G. Chen.Network virus-epidemic model with the point-to-group information propagation[J].Applied Mathematics and Computation, 2008, 206(1):357-367.

[5]C. Gan, X. Yang,W. Liu, Q. Zhu, X. Zhang.An epidemic model of computer viruses with vaccination and generalized nonlinear incidence rate[J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 222(5):265-274.

[6]楊斌.具有時滯的SIQR計算機病毒模型分析[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013, 30(9): 70-73:

[7]L. Feng, X. Liao, H. Li, Q. Han.Hopf bifurcation analysis of a delayed viral infection model in computer networks[J].Mathematical and Computer Modelling, 2012,56(7-8) 167-179.

[8]尹發(fā)，張子振，王麗葉.一類時滯SIQRS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的穩(wěn)定性和Hopf分支[J].菏澤學(xué)院學(xué)報，2015, (5):2327

[9]Hassard B. D, Kazarinoff N. D, Wan Y. H.Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge University Press, Cambridge, 1981.

[11]T. K. Kar, A. Ghorai.Dynamic behaviour of a delayed predator-prey model with harvesting[J].Applied Mathematics and Computation, 2011,217(22):9085-9104.

SIQ Periodic Solution of Network Virus Propagation Model with Isolation Strategy

SONG Li-min1, ZHANG Zi-zhen2

(1.Department of Computer Science, Liaocheng Institute of Education, Liaocheng Shandong 252004, China;2. School of Management Science and Engineering, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu Anhui 233030, China)

The dynamic behavior of a delay SIQR network virus propagation model with isolation strategy is studied. First, taking time periodic delay to network virus killing anti-virus software as the bifurcation parameter, sufficient conditions for local asymptotic stability of the model is given, and the delay critical point of Hopf bifurcation is determined. Then, by using the center manifold theorem and the normal form theory, the explicit formula for determining the periodic solution of the model is derived. Finally, a simulation example is given to verify the correctness of the theoretical results.

R model; Hopf bifurcation; stability; periodic solution

1673-2103(2016)05-0056-07

2016-06-20

安徽省自然科學(xué)基金項目(1608085QF151)

宋利民(1982-)，男，山東聊城人，講師，研究方向：計算機網(wǎng)絡(luò)安全.

O175.12

A